Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Alegeri una după alta: înmulțim
Când un rezultat se formează din mai multe alegeri făcute una după alta, de exemplu o bluză și apoi o fustă, numărăm variantele fiecărei alegeri și le înmulțim. Aceasta este regula produsului.
Înmulțim pentru că fiecare variantă a primei alegeri se poate potrivi cu oricare variantă a celei de-a doua. Cu 3 bluze și 2 fuste, fiecare bluză are 2 fuste potrivite: 3·2.
🧮 De ținut minte
alegeri succesive: m·n variante
✏️Exemplu cu alte date
Un sandviș are o pâine (albă sau neagră) și o umplutură dintre 4. Câte sandvișuri diferite poți face?
1Alegem întâi pâinea: 2 variante.
2Apoi umplutura: 4 variante, pentru fiecare pâine.
3Înmulțim: 2·4 = 8 sandvișuri.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Numărarea de la zero: alegeri și factorial: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.
Alegeri una după alta: înmulțim
Când un rezultat se formează din mai multe alegeri făcute una după alta, de exemplu o bluză și apoi o fustă, numărăm variantele fiecărei alegeri și le înmulțim. Aceasta este regula produsului.
Înmulțim pentru că fiecare variantă a primei alegeri se poate potrivi cu oricare variantă a celei de-a doua. Cu 3 bluze și 2 fuste, fiecare bluză are 2 fuste potrivite: 3·2.
alegeri succesive: m·n variante
Exemplu cu alte date
Un sandviș are o pâine (albă sau neagră) și o umplutură dintre 4. Câte sandvișuri diferite poți face?
Alegem întâi pâinea: 2 variante.
Apoi umplutura: 4 variante, pentru fiecare pâine.
Înmulțim: 2·4 = 8 sandvișuri.
Ori una, ori alta: adunăm
Când alegem un singur lucru, dar îl putem lua din două grupe care nu au nimic comun, adunăm numărul variantelor din fiecare grupă. Aceasta este regula sumei.
Cuvântul «sau» din enunț, ca în «un film sau o carte», arată de obicei cazuri separate. Dacă ar trebui să alegem și un film, și o carte, am înmulți.
cazuri separate: m + n variante
Exemplu cu alte date
Pentru seară alegi un film dintre 6 sau un joc dintre 3. Câte alegeri ai?
Alegi un singur lucru: fie un film, fie un joc.
Grupele nu au elemente comune: 6 filme și 3 jocuri.
Adunăm: 6 + 3 = 9 alegeri.
Factorialul: produsul până la 1
n!, citit «n factorial», este produsul numerelor naturale de la 1 la n: 4! = 4·3·2·1. Prin convenție, 0! = 1.
Factorialul crește foarte repede. Îl calculăm înmulțind pe rând de la stânga la dreapta, ca să nu pierdem niciun factor.
n! = n·(n − 1)·…·2·1
0! = 1
Exemplu cu alte date
Calculează 4!.
Scriem produsul: 4! = 4·3·2·1.
Înmulțim pe rând: 4·3 = 12, apoi 12·2 = 24.
Înmulțirea cu 1 nu schimbă nimic, deci 4! = 24.
Împărțim factoriale fără să le calculăm
Un factorial mare conține în el un factorial mai mic: 9! = 9·8·7!. Dacă apare 7! și la numărător, și la numitor, îl simplificăm și rămâne doar 9·8.
Așa evităm numerele uriașe. Scriem factorialul mare până ajungem la cel mic, simplificăm, apoi înmulțim ce a rămas.
n! = n·(n − 1)!
n!(n − 2)! = n·(n − 1)
Exemplu cu alte date
Calculează 9!7!.
Scriem 9! = 9·8·7!.
Simplificăm 7! cu 7!: rămâne 9·8.
9·8 = 72.
Exerciții rezolvate din lecție (15)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Ai 3 tricouri și 2 perechi de pantaloni. Câte ținute poți forma?
Vezi rezolvarea
O ținută cere două alegeri succesive: un tricou și o pereche de pantaloni.
Pentru fiecare dintre cele 3 tricouri există 2 continuări.
Aplicăm principiul înmulțirii: 3 · 2 = 6 ținute.
Răspuns: 3·2=6
Exercițiul 2
Poți merge la școală cu unul dintre 2 autobuze sau cu unul dintre 3 tramvaie. Câte opțiuni ai?
Vezi rezolvarea
Cele două categorii sunt alternative: mergi ori cu autobuzul, ori cu tramvaiul.
Cazurile nu se suprapun, deci le adunăm.
Aplicăm principiul adunării: 2 + 3 = 5 opțiuni.
Răspuns: 2+3=5
Exercițiul 3
Când folosim principiul înmulțirii?
Vezi rezolvarea
Înmulțirea apare când un rezultat complet se construiește pas cu pas.
Numărul de continuări ale fiecărui pas se înmulțește.
Exemplu: 4 feluri principale și 3 deserturi dau 4 · 3 meniuri.
Răspuns: Când facem alegeri succesive
Exercițiul 4
Când folosim principiul adunării?
Vezi rezolvarea
Adunarea numără posibilități din cazuri separate.
Dacă poți alege 4 variante din primul caz sau 5 din al doilea, ai 4 + 5.
Cazurile trebuie să fie disjuncte, ca să nu numărăm aceeași variantă de două ori.
Răspuns: Când împărțim în cazuri alternative care nu se suprapun
Exercițiul 5
Ce înseamnă 4!?
Vezi rezolvarea
Semnul ! se citește «factorial».
4! = 4 · 3 · 2 · 1.
Prin calcul, 4! = 24.
Răspuns: 4 · 3 · 2 · 1
Exercițiul 6
Calculează 3!.
Vezi rezolvarea
3! = 3 · 2 · 1.
3 · 2 · 1 = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 7
Calculează 5!.
Vezi rezolvarea
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1.
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Răspuns: 120
Exercițiul 8
Care este valoarea lui 0!?
Vezi rezolvarea
Prin definiție, 0! = 1.
Această convenție face ca formule precum Ann = n!0! să rămână corecte.
Reține: atât 0!, cât și 1! sunt egale cu 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 9
Calculează 6!5!.
Vezi rezolvarea
6! = 6 · 5!.
Fracția devine 6 · 5!5!.
Simplificăm 5! și rămâne 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 10
Calculează 7!5!.
Vezi rezolvarea
7! = 7 · 6 · 5!.
Simplificăm 5! de sus cu 5! de jos.
Rămâne 7 · 6 = 42.
Răspuns: 7·6=42
Exercițiul 11
Un meniu conține o supă, un fel principal și un desert. Sunt 2 supe, 4 feluri principale și 3 deserturi. Câte meniuri există?
Vezi rezolvarea
Alegem pe rând o supă, un fel principal și un desert.
Aplicăm principiul înmulțirii.
2 · 4 · 3 = 24 meniuri.
Răspuns: 2·4·3=24
Exercițiul 12
O parolă are două simboluri. Primul se alege dintre A, B, C, iar al doilea dintre 1, 2, 3, 4. Câte parole sunt?
Vezi rezolvarea
Pentru primul loc avem 3 alegeri.
Pentru al doilea loc avem 4 alegeri.
În total sunt 3 · 4 = 12 parole.
Răspuns: 3·4=12
Exercițiul 13
Într-o vitrină alegi o carte dintre 5 romane sau o carte dintre 4 volume de poezie. Câte alegeri ai?
Vezi rezolvarea
Categoriile sunt alternative și nu se suprapun.
Adunăm numărul de romane și numărul de volume de poezie.
5 + 4 = 9 alegeri.
Răspuns: 5+4=9
Exercițiul 14
Calculează singur 6!.
Vezi rezolvarea
6! = 6 · 5!.
5! = 120.
Așadar 6! = 6 · 120 = 720.
Răspuns: 720
Exercițiul 15
Calculează singur 8!6!.
Vezi rezolvarea
8! = 8 · 7 · 6!.
Simplificăm factorul 6!.
Obținem 8 · 7 = 56.
Răspuns: 8·7=56
Fișă progresivă · întâi recunoști, apoi calculezi (15)
1. Pornim de la zero
Ai 3 tricouri și 2 perechi de pantaloni. Câte ținute poți forma?
Vezi răspunsul
3 × 2 = 6 ținute
2. Pornim de la zero
Poți merge la școală cu unul dintre 2 autobuze sau cu unul dintre 3 tramvaie. Câte opțiuni ai?
Vezi răspunsul
2 + 3 = 5 opțiuni
3. Pornim de la zero
Când folosim principiul înmulțirii?
Vezi răspunsul
Când alegerea are mai multe etape și fiecare variantă dintr-o etapă se combină cu toate variantele din celelalte („și”).
4. Pornim de la zero
Când folosim principiul adunării?
Vezi răspunsul
Când alegi o singură variantă dintre grupuri care nu se suprapun („sau”).
5. Exersăm cu ajutor
Ce înseamnă 4!?
Vezi răspunsul
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
6. Exersăm cu ajutor
Calculează 3!.
Vezi răspunsul
3! = 6
7. Exersăm cu ajutor
Calculează 5!.
Vezi răspunsul
5! = 120
8. Exersăm cu ajutor
Care este valoarea lui 0!?
Vezi răspunsul
0! = 1
9. Exersăm cu ajutor
Calculează 6!5!.
Vezi răspunsul
6!5! = 6
10. Exersăm cu ajutor
Calculează 7!5!.
Vezi răspunsul
7!5! = 7 · 6 = 42
11. Exersăm cu ajutor
Un meniu conține o supă, un fel principal și un desert. Sunt 2 supe, 4 feluri principale și 3 deserturi. Câte meniuri există?
Vezi răspunsul
2 · 4 · 3 = 24 de meniuri
12. Rezolvi singur
O parolă are două simboluri. Primul se alege dintre A, B, C, iar al doilea dintre 1, 2, 3, 4. Câte parole sunt?
Vezi răspunsul
3 · 4 = 12 parole
13. Rezolvi singur
Într-o vitrină alegi o carte dintre 5 romane sau o carte dintre 4 volume de poezie. Câte alegeri ai?