Matrice, determinant și inversă · nivel M3

Lecția M3 exersează operațiile cu matrice, determinantul, inversa și ecuațiile matriceale de tip AX = B.

Înainte de a scrie inversa, verifică întotdeauna dacă determinantul este diferit de zero.

Cum citim și scriem o matrice

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere. În această lecție scriem matricele pe linii, separate prin punct și virgulă: înseamnă prima linie a, b și a doua linie c, d. Folosește același format și când introduci răspunsul.

M₂,₃(ℝ): matrice cu 2 linii și 3 coloane

a_ij: elementul de pe linia i și coloana j

I₂ = — matricea unitate

O₂ = — matricea nulă

Egalitate: A = B ⇔ aceeași dimensiune și elemente egale pe aceleași poziții

Numără întotdeauna întâi liniile, apoi coloanele.
Adunarea și scăderea se fac numai între matrice de aceeași dimensiune.
Înmulțirea cu un scalar afectează fiecare element.

Produsul a două matrice

La produs nu se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții. Elementul din linia i și coloana j a produsului se obține combinând linia i a primei matrice cu coloana j a celei de-a doua.

(AB)_ij = linia i din A · coloana j din B

Condiție: numărul de coloane al lui A = numărul de linii al lui B

A² = A·A, nu pătratul fiecărui element

A·I₂ = I₂·A = A

În general AB ≠ BA: produsul matricelor nu este comutativ.
Nu schimba ordinea factorilor într-o ecuație matricială.
Verifică dimensiunile înainte de a începe calculul.

Determinantul și inversa

det() = ad − bc

A este inversabilă ⇔ det(A) ≠ 0

A⁻¹ = (1ad − bc)·

det(AB) = det(A)·det(B), deci det(Aⁿ) = det(A)ⁿ

Pentru ordinul 2: det(kA) = k²·det(A)

Verifică det(A) ≠ 0 înainte de a scrie inversa.
La inversă, elementele de pe diagonala principală își schimbă locul, iar celelalte două își schimbă semnul.
O matrice cu determinantul 0 se numește singulară și nu are inversă.

Ecuații matriceale

Ordinea factorilor decide dacă inversa se pune la stânga sau la dreapta. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la acest capitol.

Din AX = B rezultă X = A⁻¹B (inversa la stânga)

Din XA = B rezultă X = BA⁻¹ (inversa la dreapta)

Ecuațiile cu adunare se rezolvă direct: X + A = B ⇒ X = B − A

Metoda identificării: notezi X = și egalezi elementele

Dacă matricea nu este inversabilă, folosește metoda identificării.
Când X apare de mai multe ori, dă factor comun cu grijă la poziția lui X.
Verifică soluția înlocuind-o în ecuația inițială.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · inversa unei matrice

Calculați A⁻¹ pentru A = .

1.Pasul 1 — verificăm condiția de existență: inversa există numai dacă det(A) ≠ 0.
2.Pasul 2 — calculăm determinantul: det(A) = 2·1 − 1·1 = 1, diferit de 0, deci A este inversabilă.
3.Pasul 3 — scriem formula: A⁻¹ = (1det)·.
4.Pasul 4 — schimbăm locul elementelor de pe diagonala principală: 2 și 1 devin 1 și 2.
5.Pasul 5 — schimbăm semnul celorlalte două elemente: b = 1 devine −1, iar c = 1 devine −1.
6.Pasul 6 — împărțim la determinant: A⁻¹ = (11)· = . Verificare: A·A⁻¹ = I₂.

Algoritmul universal în 7 pași

Identifică dimensiunea: numără liniile și coloanele.
Verifică operația: adunare pe poziții sau produs linie cu coloană.
Pentru determinant, scrie ad − bc înainte de a înlocui numerele.
Pentru inversă, verifică mai întâi det(A) ≠ 0.
Pentru ecuații, păstrează ordinea factorilor când înmulțești cu inversa.
Pentru puteri, calculează A² și A³, caută tiparul, apoi justifică prin inducție.
Verifică: înmulțește A cu A⁻¹ sau înlocuiește rezultatul în relația inițială.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Citirea matriceiM3 · Tehnologic
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a₂₃ = 6 (linia 2, coloana 3)
Ex. 2EgalitateM3 · Tehnologic
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1,−4
Ex. 3AdunareM3 · Tehnologic
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 4ScădereM3 · Tehnologic
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 5Înmulțire cu scalarM3 · Tehnologic
Calculați 3A pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 6Matricea unitateM3 · Tehnologic
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 7ProdusM3 · Tehnologic
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB =
Ex. 8Produs necomutativM3 · Tehnologic
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BA = (diferit de AB)
Ex. 9PutereM3 · Tehnologic
Calculați A² pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² =
Ex. 10DeterminantM3 · Tehnologic
Calculați det(A), unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = 2 · 4 − 3 · 1 = 5
Ex. 11Determinant cu parametruM3 · Tehnologic
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3m − 2 = 4, deci m = 2.
Ex. 12MixtM3 · Tehnologic
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² = = 2I₂
Ex. 25ProdusM3 · Tehnologic
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB =
Ex. 26DeterminantM3 · Tehnologic
Calculați determinantul matricei A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 1 − 3 · 2 = −2
Ex. 27InversăM3 · Tehnologic
Calculați inversa matricei A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = 1, deci A⁻¹ = .
Ex. 28VerificareM3 · Tehnologic
Verificați că · = I₂. Scrieți matricea produsului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Produsul este = I₂.
Ex. 29Ecuație matricialăM3 · Tehnologic
Determinați X din AX = B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X = A⁻¹B, cu A⁻¹ = : X = .
Ex. 30Determinant nulM3 · Tehnologic
Determinați x pentru care det() = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x − 6 = 0, deci x = 1.
Ex. 31IdentitateM3 · Tehnologic
Pentru A(x) = , arătați că A(x)A(y) = A(x + y). Scrieți elementul de pe linia 1, coloana 2 al produsului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(x)A(y) = = A(x + y); elementul este x + y.
Ex. 32Matrice nilpotentăM3 · Tehnologic
Pentru N = , calculați N².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
N² = O₂ (matricea nulă)
Ex. 33Inversa unei diagonaleM3 · Tehnologic
Calculați inversa matricei D = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
D⁻¹ =
Ex. 34Determinantul unui multipluM3 · Tehnologic
Pentru A = , calculați det(2A).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(2A) = 2² · det(A) = 4 · (−2) = −8
Ex. 35Ecuație matricialăM3 · Tehnologic
Determinați X dacă 2X − A = I₂, unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2X = A + I₂ = , deci X = .
Ex. 36InversabilitateM3 · Tehnologic
Pentru A = , scrieți determinantul lui A în funcție de m.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = m² − 2