Matrice, puteri și inversă · nivel M2

Lecția M2 combină operațiile cu matrice cu familii de matrice, puteri obținute prin tipar și inverse deduse din relații.

La puteri mari nu calcula pas cu pas: găsește tiparul din primele două puteri și justifică-l prin inducție.

Cum citim și scriem o matrice

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere. În această lecție scriem matricele pe linii, separate prin punct și virgulă: înseamnă prima linie a, b și a doua linie c, d. Folosește același format și când introduci răspunsul.

M₂,₃(ℝ): matrice cu 2 linii și 3 coloane

a_ij: elementul de pe linia i și coloana j

I₂ = — matricea unitate

O₂ = — matricea nulă

Egalitate: A = B ⇔ aceeași dimensiune și elemente egale pe aceleași poziții

Numără întotdeauna întâi liniile, apoi coloanele.
Adunarea și scăderea se fac numai între matrice de aceeași dimensiune.
Înmulțirea cu un scalar afectează fiecare element.

Produsul a două matrice

La produs nu se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții. Elementul din linia i și coloana j a produsului se obține combinând linia i a primei matrice cu coloana j a celei de-a doua.

(AB)_ij = linia i din A · coloana j din B

Condiție: numărul de coloane al lui A = numărul de linii al lui B

A² = A·A, nu pătratul fiecărui element

A·I₂ = I₂·A = A

În general AB ≠ BA: produsul matricelor nu este comutativ.
Nu schimba ordinea factorilor într-o ecuație matricială.
Verifică dimensiunile înainte de a începe calculul.

Determinantul și inversa

det() = ad − bc

A este inversabilă ⇔ det(A) ≠ 0

A⁻¹ = (1ad − bc)·

det(AB) = det(A)·det(B), deci det(Aⁿ) = det(A)ⁿ

Pentru ordinul 2: det(kA) = k²·det(A)

Verifică det(A) ≠ 0 înainte de a scrie inversa.
La inversă, elementele de pe diagonala principală își schimbă locul, iar celelalte două își schimbă semnul.
O matrice cu determinantul 0 se numește singulară și nu are inversă.

Puteri și relații matriceale

Pentru puteri mari nu se calculează pas cu pas: se caută un tipar din primele puteri, iar apoi se justifică prin inducție. O relație de tipul A² = A + I₂ permite și aflarea inversei fără formula determinantului.

Aⁿ⁺¹ = Aⁿ·A

Pentru A = : Aⁿ =

Pentru A(x) = : A(x)A(y) = A(x + y) și A(x)ⁿ = A(nx)

Din A² = A + I₂ rezultă A(A − I₂) = I₂, deci A⁻¹ = A − I₂

Calculează A² și A³, observă tiparul, apoi justifică-l prin inducție.
O relație polinomială în A se înmulțește cu A⁻¹ pentru a exprima inversa.
Verifică tiparul pe un caz particular înainte de a-l generaliza.

Ecuații matriceale

Ordinea factorilor decide dacă inversa se pune la stânga sau la dreapta. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la acest capitol.

Din AX = B rezultă X = A⁻¹B (inversa la stânga)

Din XA = B rezultă X = BA⁻¹ (inversa la dreapta)

Ecuațiile cu adunare se rezolvă direct: X + A = B ⇒ X = B − A

Metoda identificării: notezi X = și egalezi elementele

Dacă matricea nu este inversabilă, folosește metoda identificării.
Când X apare de mai multe ori, dă factor comun cu grijă la poziția lui X.
Verifică soluția înlocuind-o în ecuația inițială.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · puterea unei matrice prin tipar

Pentru A = , determinați Aⁿ.

1.Pasul 1 — calculăm primele puteri, ca să observăm o regulă: A² = A·A = .
2.Pasul 2 — continuăm: A³ = A²·A = .
3.Pasul 3 — formulăm tiparul: presupunem că A^k = .
4.Pasul 4 — verificăm pasul inductiv: A^k+1 = A^k·A = ·.
5.Pasul 5 — calculăm elementul (1,2): 1·1 + k·1 = k + 1, deci A^k+1 = .
6.Pasul 6 — concluzionăm prin inducție: Aⁿ = , pentru orice n ∈ ℕ*.

Algoritmul universal în 7 pași

Identifică dimensiunea: numără liniile și coloanele.
Verifică operația: adunare pe poziții sau produs linie cu coloană.
Pentru determinant, scrie ad − bc înainte de a înlocui numerele.
Pentru inversă, verifică mai întâi det(A) ≠ 0.
Pentru ecuații, păstrează ordinea factorilor când înmulțești cu inversa.
Pentru puteri, calculează A² și A³, caută tiparul, apoi justifică prin inducție.
Verifică: înmulțește A cu A⁻¹ sau înlocuiește rezultatul în relația inițială.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Citirea matriceiM2 · Științe
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a₂₃ = 6 (linia 2, coloana 3)
Ex. 2EgalitateM2 · Științe
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1,−4
Ex. 3AdunareM2 · Științe
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 4ScădereM2 · Științe
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 5Înmulțire cu scalarM2 · Științe
Calculați 3A pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 6Matricea unitateM2 · Științe
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 7ProdusM2 · Științe
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB =
Ex. 8Produs necomutativM2 · Științe
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BA = (diferit de AB)
Ex. 9PutereM2 · Științe
Calculați A² pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² =
Ex. 10DeterminantM2 · Științe
Calculați det(A), unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = 2 · 4 − 3 · 1 = 5
Ex. 11Determinant cu parametruM2 · Științe
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3m − 2 = 4, deci m = 2.
Ex. 12MixtM2 · Științe
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² = = 2I₂
Ex. 37Familie de matriceM2 · Științe
Pentru A(x) = , calculați det(A(2)).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(2) = , deci det = −1.
Ex. 38Familie de matriceM2 · Științe
Pentru A(x) = , calculați A(x) + A(−x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(x) + A(−x) =
Ex. 39Determinant nulM2 · Științe
Determinați x dacă det() = 0. Scrieți valorile separate prin virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 1)² − 4 = 0, deci: 1, −3
Ex. 40InversabilitateM2 · Științe
Pentru A = , scrieți determinantul lui A în funcție de x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = x² − 1
Ex. 41PutereM2 · Științe
Pentru A = , calculați A³.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A³ =
Ex. 42Putere mareM2 · Științe
Pentru A = , calculați A²⁰²⁶.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A²⁰²⁶ =
Ex. 43Relație matricialăM2 · Științe
Pentru A = , arătați că A² = A + I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² = = A + I₂
Ex. 44Inversă din relațieM2 · Științe
Folosind A² = A + I₂, determinați A⁻¹ pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(A − I₂) = I₂, deci A⁻¹ = A − I₂ = .
Ex. 45Determinantul unei puteriM2 · Științe
Calculați det(A²) pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = 3, deci det(A²) = 9.
Ex. 46Ecuație matricialăM2 · Științe
Determinați X din AX = I₂, unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
X = A⁻¹ = (det A = 1)
Ex. 47ComutareM2 · Științe
Pentru A = și X = , determinați condițiile pentru care AX = XA. Scrieți valorile lui b și c, sub forma b,c.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AX = și XA = , deci b = 0 și c = 0: 0,0
Ex. 48MixtM2 · Științe
Determinați m ∈ ℕ dacă det() = 8.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m² − 1 = 8, deci m = 3.