M2 · Științe⏱ 3 sesiuni

M2·A

Încărcăm partea curentă…

Matrice, puteri și inversă · nivel M2

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Dimensiunea m×n înseamnă m linii și n coloane. Matricea pătratică are m=n; numai ei îi calculăm determinantul și îi putem căuta inversa obișnuită. Ordinul este numărul liniilor unei matrice pătratice.

Matricea nulă are toate elementele 0. O matrice diagonală este pătratică și are 0 în afara diagonalei principale; pe diagonală poate avea și 0. Identitatea I are 1 pe diagonală și 0 în rest. O matrice triunghiulară are 0 sub sau deasupra diagonalei principale. Aceste clase se pot suprapune: identitatea este și diagonală, și triunghiulară.

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

1Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
2Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
3Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Matrice, puteri și inversă · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Recunoaștem matricele · grupa 22

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Citirea unei matrice și egalitatea elementelor

O matrice se citește pe linii și coloane. Notația a_ij indică linia i și coloana j, în această ordine. Două matrice sunt egale numai dacă au aceleași dimensiuni și fiecare pereche de elemente de pe aceeași poziție este egală. Pentru necunoscute comparăm separat pozițiile unde apar.

a_ij = elementul de pe linia i, coloana j

Linia se citește înaintea coloanei: a₂₃ nu este a₃₂.

Exemplu rezolvat, cu alte date

A=. Care este a₂₃? Dacă B==A, cât este x?

Matricea are 2 linii și 3 coloane; pe linia 2 găsim 7, 1, 4.
Al treilea element de pe linia 2 este 4, deci a₂₃=4.
Pe poziția (1,1), egalitatea A=B dă x=2.

Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr

La adunare și scădere lucrăm cu elementele aflate pe aceeași poziție, iar matricile trebuie să aibă aceeași dimensiune. La înmulțirea cu un număr, înmulțim fiecare element, inclusiv zerourile și numerele negative. Matricea I₂ are 1 pe diagonală și 0 în afara diagonalei.

(A±B)_ij=a_ij±b_ij; (cA)_ij=c·a_ij; I₂=

La A−B, scădem fiecare element al lui B din elementul corespunzător al lui A.

Exemplu rezolvat, cu alte date

A=, B=. Calculează 2A−B.

Înmulțim fiecare poziție: 2A=.
Scădem B pe aceleași poziții: .
Obținem 2A−B=.

Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr

(A±B)_ij=a_ij±b_ij; (cA)_ij=c·a_ij; I₂=

La A−B, scădem fiecare element al lui B din elementul corespunzător al lui A.

Exemplu rezolvat, cu alte date

A=, B=. Calculează 2A−B.

Înmulțim fiecare poziție: 2A=.
Scădem B pe aceleași poziții: .
Obținem 2A−B=.

Produsul matricelor: o linie cu o coloană

Pentru AB, numărul coloanelor lui A trebuie să fie egal cu numărul liniilor lui B. Fiecare element al rezultatului se obține înmulțind elementele unei linii din A cu cele ale unei coloane din B și adunând produsele. În general AB și BA sunt diferite; A² înseamnă A·A.

(AB)_ij = suma produselor liniei i din A cu coloana j din B

Produsul nu se face poziție cu poziție, ca la adunare.

Exemplu rezolvat, cu alte date

A=, B=. Calculează AB.

Prima linie dă 1·2+1·3=5 și 1·0+1·1=1.
A doua linie dă 0·2+2·3=6 și 0·0+2·1=2.
Deci AB=. Dacă schimbăm ordinea, BA=.

Familie de matrice: înlocuim și adunăm pe poziții

În A(x), litera x poate apărea în mai multe elemente. Pentru A(2) înlocuim x cu 2 peste tot, nu doar în primul element. Când adunăm A(x) cu A(−x), calculăm fiecare element din ambele matrice, apoi adunăm elementele aflate pe aceeași poziție.

(A(x)+B(x))_ij=a_ij(x)+b_ij(x)

Nu trata A(x)+A(−x) ca pe A(0): mai întâi scrie ambele matrice și apoi adună-le.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Pentru C(x)=, calculează C(1)+C(−1).

Înlocuim peste tot: C(1)=, iar C(−1)=.
Adunăm pe poziții: .
Obținem C(1)+C(−1)=; suma are aceeași dimensiune.

Comutarea matricelor: comparăm pozițiile după două produse

Pentru condiția AX=XA calculăm separat cele două produse; nu putem presupune că sunt egale. Apoi egalăm elementele aflate pe aceleași poziții și rezolvăm sistemul de ecuații rezultat. În multe probleme, matricea diagonală face ca elementele din afara diagonalei să fie cele care impun condiții.

AX=XA ⇔ (AX)_ij=(XA)_ij pentru toate i,j

Egalitatea a două matrice cere egalitatea tuturor pozițiilor, nu doar a determinantelor.

Exemplu rezolvat, cu alte date

A=, X=. Când avem AX=XA?

AX=, iar XA=.
Egalăm pozițiile: 2b=5b și 5c=2c.
Rezultă b=0 și c=0; a și d pot fi orice numere reale.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 14

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 24

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 34

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 44

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinantul unei familii: când devine zero?

Aplicăm ad−bc folosind expresiile cu x din toate cele patru poziții. Obținem o expresie algebrică în x, o egalăm cu zero, rezolvăm ecuația și verificăm fiecare soluție în determinantul inițial. Dacă apare un pătrat, verificăm ambele semne posibile.

det=a(x)d(x)−b(x)c(x)

Din (x+3)²=4 obținem x+3=2 sau x+3=−2; nu omite rădăcina negativă.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Pentru D(x)=, când este det D(x)=0?

Calculăm determinantul: det D(x)=(x+3)²−2·2=(x+3)²−4.
Punem det D(x)=0 și factorizăm diferența de pătrate: (x+1)(x+5)=0.
Rezultă x=−1 sau x=−5. În ambele cazuri determinantul este 0.

Determinantul unei puteri și alegerea valorii naturale

Pentru o matrice pătrată, determinantul unui produs este produsul determinanților; de aceea det(A²)=[det A]². Dacă o ecuație pentru un parametru are două rădăcini opuse, păstrăm numai valorile care respectă mulțimea cerută în enunț, de exemplu numerele naturale.

det(AB)=det A·det B; det(A²)=[det A]²

Pentru det(A²), ridicăm determinantul la pătrat; nu alegem direct un element din A².

Exemplu rezolvat, cu alte date

A_m=, m natural. Dacă det A_m=5, află m și det(A_m²).

det A_m=m²−4=5, deci m²=9.
Candidații sunt −3 și 3; m este natural, deci m=3.
det(A_m²)=[det A_m]²=5²=25.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 14

Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.

Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.

Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.

De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 24

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 34

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 44

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Inversabilitate · grupa 12

Pentru o matrice pătratică, det A≠0 înseamnă inversabilă: există A⁻¹. Dacă det A=0, matricea este singulară și nu are inversă. Un determinant negativ este la fel de bun ca unul pozitiv pentru inversabilitate.

La sistemul pătratic AX=B, un determinant nenul dă soluție unică și permite Cramer sau X=A⁻¹B. Determinantul zero interzice aceste formule, dar nu spune singur dacă sistemul are nicio soluție sau o infinitate. Matricea și sistemul se clasifică separat.

Exemplu cu alte date

Este A= inversabilă?

A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.

Inversabilitate · grupa 22

Exemplu cu alte date

Este A= inversabilă?

A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.

Alegerea metodei · grupa 12

O soluție dată se verifică prin substituție în toate ecuațiile: nu trebuie găsită din nou. Pentru necunoscute care trebuie aflate, scriem AX=B și calculăm Δ. La Δ≠0 putem folosi Cramer sau inversa; la Δ=0 studiem compatibilitatea, fără împărțire la zero.

În AX=B, inversa se aplică la stânga: X=A⁻¹B. În XA=B, se aplică la dreapta: X=BA⁻¹. La AX+X=B scoatem X la dreapta: (A+I)X=B; verificăm determinantul noii matrice A+I. Nu există împărțire obișnuită la matrice.

Exemplu cu alte date

Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?

Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.

Alegerea metodei · grupa 22

Exemplu cu alte date

Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?

Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.

Determinantul de ordinul 2 și un parametru

Pentru o matrice 2×2 calculăm produsul diagonalei principale și scădem produsul celeilalte diagonale. Dacă un element conține un parametru, scriem mai întâi determinantul ca expresie în acel parametru, apoi egalăm cu valoarea cerută și rezolvăm ecuația.

det=ad−bc

Ordinea produselor contează: diagonala principală minus diagonala secundară.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Determină m dacă det=10.

Aplicăm formula: det=3m−2·1=3m−2.
Impunem valoarea: 3m−2=10, deci 3m=12.
Obținem m=4. Verificare: 3·4−2=10.

Puteri ale unei matrice și identități

A² înseamnă A·A, iar A³=A²·A; nu ridicăm separat fiecare element la putere. Când observăm un tipar, îl verificăm întâi pentru primele puteri și apoi îl justificăm prin înmulțirea cu A. O identitate de forma A²=A+I₂ se verifică prin calculul ambelor părți.

Aⁿ=A·A·…·A (n factori)

Nu deduce o formulă pentru orice n doar din două exemple fără o verificare prin înmulțire.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Pentru C=, află C³.

Calculăm C²=C·C=.
Înmulțim încă o dată: C³=.
Rezultă C³=; elementul din dreapta sus crește cu 2 la fiecare putere.

Puteri ale unei matrice și identități

Aⁿ=A·A·…·A (n factori)

Nu deduce o formulă pentru orice n doar din două exemple fără o verificare prin înmulțire.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Pentru C=, află C³.

Calculăm C²=C·C=.
Înmulțim încă o dată: C³=.
Rezultă C³=; elementul din dreapta sus crește cu 2 la fiecare putere.

Dintr-o identitate găsim inversa

Dacă Δ≠0, există A⁻¹ cu A⁻¹A=AA⁻¹=I. Din AX=B înmulțim la stânga cu A⁻¹ și obținem X=A⁻¹B. Nu există o operație obișnuită de «împărțire la matrice». La XA=B am înmulți la dreapta și am obține X=BA⁻¹.

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

În produsul A⁻¹B, fiecare element se obține dintr-o linie și o coloană. Înmulțim elementele corespondente și adunăm produsele. La B coloană obținem soluția sistemului; la B matrice obținem o matrice X. Verificăm produsul AX=B.

La AX+X=B scriem X=IX și scoatem X la dreapta: (A+I)X=B. La X−AX=B folosim (I−A)X=B. Calculăm inversa noii matrice și verificăm ecuația inițială.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Dintr-o identitate găsim inversa

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

La AX+X=B scriem X=IX și scoatem X la dreapta: (A+I)X=B. La X−AX=B folosim (I−A)X=B. Calculăm inversa noii matrice și verificăm ecuația inițială.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Ecuații matriceale: izolăm matricea necunoscută

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

La AX+X=B scriem X=IX și scoatem X la dreapta: (A+I)X=B. La X−AX=B folosim (I−A)X=B. Calculăm inversa noii matrice și verificăm ecuația inițială.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Metoda matricei inverse: X=A⁻¹B, element cu element

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Exerciții rezolvate din lecție (87)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
A=. Ce dimensiune are?
Vezi rezolvarea
1. Numărăm 2 linii, cu câte 3 elemente: 2×3. Nu este pătratică.
Răspuns: 2×3
Exercițiul 2
A=. Putem calcula determinantul acestei matrice?
Vezi rezolvarea
1. Are 2 linii și 2 coloane. Existența zerourilor nu interzice determinantul.
Răspuns: Da, este pătratică de ordin 2
Exercițiul 3
A=. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
1. Pe diagonala principală avem numai 1, în rest numai 0. Identitatea este elementul neutru al produsului.
Răspuns: A=I₃, matricea identitate de ordin 3
Exercițiul 4
A=. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
1. Toate cele patru elemente sunt 0. Matricea este și diagonală, însă nu este identitate.
Răspuns: A este matricea nulă de ordin 2
Exercițiul 5
A=. Este diagonală?
Vezi rezolvarea
1. Condiția privește elementele din afara diagonalei. Un zero pe diagonală este permis; această matrice nu este identitate.
Răspuns: Da, toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0
Exercițiul 6
A=. Ce proprietate observăm?
Vezi rezolvarea
1. Pozițiile (2,1), (3,1), (3,2) sunt 0. Elementele de deasupra diagonalei pot fi nenule; nu este diagonală.
Răspuns: Este triunghiulară superior: sub diagonala principală sunt zerouri
Exercițiul 7
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi rezolvarea
1. Matricea A are 2 linii și 3 coloane, deci A ∈ M₂,₃(ℝ).
2. Notația a₂₃ înseamnă elementul de pe linia 2 și coloana 3.
3. Linia 2 este 4, 5, 6, iar al treilea element al ei este 6.
4. Răspuns final: a₂₃ = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 8
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi rezolvarea
1. Două matrice sunt egale dacă au aceeași dimensiune și elementele de pe aceleași poziții sunt egale.
2. Poziția (1,1) dă x = 1.
3. Poziția (2,2) dă y = −4.
4. Răspuns final: x = 1 și y = −4.
Răspuns: 1,−4
Exercițiul 9
În A=, citește elementul (2,1).
Vezi rezolvarea
1. Prima coordonată a poziției indică linia, a doua coloana. Linia 2 conține 1,2; primul element este 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 10
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 1+2=3. Păstrăm semnul operației.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2+(−1)=1. Păstrăm semnul operației.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 3+0=3. Păstrăm semnul operației.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 4+5=9. Păstrăm semnul operației.
5. Am calculat A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 11
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 1−2=−1. Păstrăm semnul operației.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2−(−1)=3. Păstrăm semnul operației.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 3−0=3. Păstrăm semnul operației.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 4−5=−1. Păstrăm semnul operației.
5. Am calculat A−B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 12
Calculați 3A pentru A = .
Vezi rezolvarea
1. Elementul (1,1): 3 · 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
2. Elementul (1,2): 3 · (−2) = −6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
3. Elementul (2,1): 3 · 0 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Elementul (2,2): 3 · 4 = 12. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
5. Fiecare element are propria operație. Matricea 3A este .
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 13
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 2+1=3. Păstrăm semnul operației.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 1+0=1. Păstrăm semnul operației.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): (−1)+0=−1. Păstrăm semnul operației.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 3+1=4. Păstrăm semnul operației.
5. Am calculat A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 14
Calculează 2A+B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 2·1+2=4. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2·1+1=3. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 2·1+0=2. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 2·2+1=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
5. Am calculat 2A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
Răspuns:
Exercițiul 15
Calculează 2A+B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 2·1+3=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2·2+1=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 2·1+0=2. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 2·2+1=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
5. Am calculat 2A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
Răspuns:
Exercițiul 16
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (2; 3). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+2·3=8.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·0=1.
3. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 1 a lui B (2; 3). Înmulțim perechile și adunăm: 0·2+1·3=3.
4. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 2 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·0=0.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 17
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (2; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 2·1+1·0=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (2; 1) și coloana 2 a lui B (2; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 2·2+1·1=5.
3. Folosim linia 2 a lui A (3; 0) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 3·1+0·0=3.
4. Folosim linia 2 a lui A (3; 0) și coloana 2 a lui B (2; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 3·2+0·1=6.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 18
Calculați A² pentru A = .
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·0=1.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
3. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·0=0.
4. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·1=1.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 19
Pentru A(x) = , calculați det(A(2)).
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 0·0=0.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 0 − 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Rezultatul cerut este −1. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: −1
Exercițiul 20
Pentru A(x) = , calculați A(x) + A(−x).
Vezi rezolvarea
1. A(x) = , iar A(−x) = .
2. Adunăm pe poziții: (2 − x) + (2 + x) = 4, termenii cu x se reduc.
3. Pe pozițiile (1,2) și (2,1): 1 + 1 = 2.
4. Obținem , adică exact 2A(0), deoarece A(0) = .
Răspuns:
Exercițiul 21
Calculează 2A+B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 2·1+2=4. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2·1+1=3. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 2·1+0=2. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 2·2+1=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
5. Am calculat 2A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
Răspuns:
Exercițiul 22
Exercițiul 47 semi-ghidat · Pentru A = și X = , calculați AX și XA.
Vezi rezolvarea
1. La AX, matricea A înmulțește la stânga: linia 2 a lui X se dublează, deci AX = .
2. La XA, matricea A înmulțește la dreapta: coloana 2 a lui X se dublează, deci XA = .
3. Diferența arată clar că produsul matricelor nu este comutativ.
Răspuns: AX = și XA =
Exercițiul 23
Acum scrieți valorile lui b și c pentru care AX = XA, sub forma b,c.
Pentru A = și X = , calculați AX și XA.
Vezi rezolvarea
1. Egalăm elementele: din poziția (1,2) obținem b = 2b, deci b = 0.
2. Din poziția (2,1) obținem 2c = c, deci c = 0.
3. Elementele a și d rămân arbitrare.
4. Prin urmare X = , adică exact matricele diagonale.
Răspuns: 0,0
Exercițiul 24
Calculează AB pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (2; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+1·0=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (2; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+2·0=2.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·1=3.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
Răspuns:
Exercițiul 25
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 26
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 27
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·1=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 28
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − (−2) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 29
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −5
Exercițiul 30
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 3·(−1)=−3. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − (−3) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 31
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 0·1=0.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·3=6. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 0 − 6 = −6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −6
Exercițiul 32
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−2)=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·1=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 0 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −4
Exercițiul 33
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 34
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 4
Exercițiul 35
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 36
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 37
Exercițiul 39 semi-ghidat · Pentru , scrieți determinantul.
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm det = ad − bc.
2. det = (x + 1)(x + 1) − 2·2.
3. Rezultă (x + 1)² − 4.
Răspuns: (x + 1)² − 4
Exercițiul 38
Acum determinați valorile lui x pentru care determinantul este 0. Scrieți-le separate prin virgulă.
Determinantul calculat este x²+2x−3. Căutăm toate valorile pentru care este zero.
Vezi rezolvarea
1. Produsul dă x²+(3−1)x−3=x²+2x−3.
2. Un produs este zero dacă cel puțin un factor este zero.
3. Rădăcina factorului x+3: calculăm 0 − 3 și obținem -3. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
4. Rezultatul cerut este −3,1. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: −3,1
Exercițiul 39
Calculează det .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 40
Calculați det(A²) pentru A = .
Vezi rezolvarea
1. Calculăm det(A) = 2·2 − 1·1 = 3.
2. Folosim proprietatea det(AB) = det(A)·det(B), deci det(A²) = det(A)².
3. det(A²) = 3² = 9.
4. Răspuns final: det(A²) = 9.
Răspuns: 9
Exercițiul 41
Determinați m ∈ ℕ dacă det() = 8.
Vezi rezolvarea
1. Determinantul este m·m − 1·1 = m² − 1.
2. Punem m² − 1 = 8, deci m² = 9.
3. În ℝ soluțiile sunt m = −3 și m = 3.
4. Condiția m ∈ ℕ păstrează numai m = 3. Răspuns final: m = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 42
Calculează det .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 43
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+0+1=3.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 3 − 0 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 44
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+1+0=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 2, deci produsul este 0·1·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 0 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 45
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+4=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 2, deci produsul este 0·1·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 0 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 46
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, (−1), 1, deci produsul este 0·(−1)·1=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+0=4.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, (−1), 1, deci produsul este 2·(−1)·1=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+1+(−2)=−1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − (−1) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 47
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt (−1), 1, 1, deci produsul este (−1)·1·1=−1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 2, deci produsul este 0·0·2=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+0+1=0.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, (−1), deci produsul este 1·0·(−1)=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+0+0=2.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 0 − 2 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −2
Exercițiul 48
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt (−1), 0, 0, deci produsul este (−1)·0·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+1=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 2, deci produsul este 1·0·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, (−1), deci produsul este 1·1·(−1)=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+(−1)=−1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − (−1) = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 6
Exercițiul 49
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 1, deci produsul este 0·0·1=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+4=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+0=1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 1 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 4
Exercițiul 50
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, (−1), deci produsul este 2·2·(−1)=−4. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+(−4)+0=−3.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), 1, 0, deci produsul este (−1)·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 0, 2, deci produsul este 1·0·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−3) − 0 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −3
Exercițiul 51
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 1, 0, deci produsul este 0·1·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+2+0=4.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+4=4.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 52
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 0, deci produsul este 2·1·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+0=4.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+4=4.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 53
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 1, (−1), deci produsul este 2·1·(−1)=−2. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, (−1), 0, deci produsul este 0·(−1)·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−2)+2+0=0.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 2, 2, deci produsul este 0·2·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), (−1), 1, deci produsul este (−1)·(−1)·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+1=1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 0 − 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 54
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt (−1), 0, 1, deci produsul este (−1)·0·1=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+2+0=2.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 2, 2, (−1), deci produsul este 2·2·(−1)=−4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 0, 0, 1, deci produsul este 0·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−4)+1+0=−3.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − (−3) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 55
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=1. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 56
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=-5. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 57
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=0. Este zero, deci A⁻¹ nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 58
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=4. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 59
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=-1. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 60
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=0. Este zero, deci A⁻¹ nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 61
Ți se dă perechea (1,2). Cum verifici că este soluția unui sistem?
Vezi rezolvarea
1. Enunțul cere verificarea unei perechi cunoscute. Substituția în toate ecuațiile este suficientă; un singur rând adevărat nu ajunge.
Răspuns: O înlocuiesc în fiecare ecuație
Exercițiul 62
Trebuie să afli X din AX=B, iar det A=−3. Ce metode sunt permise?
Vezi rezolvarea
1. −3≠0. Matricea este inversabilă și sistemul pătratic are soluție unică; ambele metode sunt valabile.
Răspuns: Cramer sau X=A⁻¹B
Exercițiul 63
În AX=B ai găsit det A=0. Care este următorul lucru de făcut?
Vezi rezolvarea
1. Determinantul zero exclude Cramer și inversa. Termenii liberi trebuie analizați; pot exista o infinitate de soluții sau nicio soluție.
Răspuns: Studiez compatibilitatea ecuațiilor; pe M1 pot compara rangurile
Exercițiul 64
În XA=B se știe că A este inversabilă. Cum izolezi X?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțim la dreapta cu A⁻¹: XAA⁻¹=BA⁻¹, deci XI=BA⁻¹. Ordinea este obligatorie.
Răspuns: X=BA⁻¹
Exercițiul 65
În AX=B, inversa A⁻¹ este deja dată. Care este calculul direct?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțim la stânga cu inversa. Nu este necesar să reconstruim inversa deja dată în enunț.
Răspuns: X=A⁻¹B
Exercițiul 66
În AX+X=B, ce matrice trebuie studiată înainte de folosirea inversei?
Vezi rezolvarea
1. X=IX și distributivitatea dau (A+I)X=B. Inversa necesară este a matricei A+I, dacă determinantul ei este nenul.
Răspuns: A+I
Exercițiul 67
Calculați det(A), unde A = .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·4=8.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 3·1=3. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 8 − 3 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Rezultatul cerut este 5. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: 5
Exercițiul 68
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi rezolvarea
1. În m·3, parametrul rămâne literă. Coeficientul său este 3.
2. Produsul diagonalei secundare: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
3. Scădem produsul diagonalei secundare: det A=3m−2. Îl egalăm cu valoarea cerută 4.
4. Adunăm 2 în ambele membre; aflăm 3m: calculăm 4 + 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
5. Împărțim la 3; aflăm m: calculăm 6 : 3 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
6. Rezultatul cerut este 2. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: 2
Exercițiul 69
Pentru A = , scrieți determinantul lui A în funcție de x.
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm det = ad − bc.
2. det(A) = x·x − 1·1 = x² − 1.
3. Matricea este inversabilă dacă det(A) ≠ 0, adică x² ≠ 1.
4. Prin urmare A este inversabilă pentru x ≠ −1 și x ≠ 1.
Răspuns: x²−1
Exercițiul 70
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; −1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·(−1)=0.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; −1) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+(−1)·1=0.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; −1) și coloana 2 a lui B (1; −1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+(−1)·(−1)=2.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 71
Pentru A = , calculați A³.
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·0=1.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
3. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·0=0.
4. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·1=1.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·0=1.
7. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·1=3.
8. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·0=0.
9. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·1=1.
10. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
11. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 72
Pentru A = , calculați A²⁰²⁶.
Vezi rezolvarea
1. Calculăm primele puteri: A² = și A³ = .
2. Observăm tiparul Aⁿ = , pe care îl justificăm prin inducție.
3. Pasul inductiv: A^k+1 = A^k·A = .
4. Pentru n = 2026 obținem A²⁰²⁶ = .
Răspuns:
Exercițiul 73
Pentru A = , arătați că A² = A + I₂. Scrieți matricea A².
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·0=1.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; 0) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+0·1=1.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; 0) și coloana 2 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+0·0=1.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 74
Calculează A² pentru A=.
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·2=3.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·1=3.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (1; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·2=5.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
Răspuns:
Exercițiul 75
Calculează A² pentru A=.
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·1=3.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (2; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+2·2=6.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·1=3.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (2; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+2·2=6.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
Răspuns:
Exercițiul 76
Exercițiul 44 ghidat · Pentru A = știm că A² = A + I₂. Pasul 1: cum rescriem relația ca să obținem I₂ singur în dreapta?
A=; A²=A+I₂
Vezi rezolvarea
1. Scădem matricea A; în membrul drept A−A se anulează.
2. Rezultatul cerut este A² − A = I₂. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: A² − A = I₂
Exercițiul 77
Pasul 2: cum dăm factor comun pe A în membrul stâng?
A=; A²=A+I₂
Vezi rezolvarea
1. A²−AI₂=A(A−I₂). Nu scriem A−1: identitatea este o matrice.
2. Rezultatul cerut este A(A − I₂) = I₂. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: A(A − I₂) = I₂
Exercițiul 78
Pasul 3: ce concluzie tragem din A(A − I₂) = I₂?
A=; A²=A+I₂
Vezi rezolvarea
1. Pentru matrice pătratice, un produs egal cu I₂ dovedește că ambii factori sunt inversabili. A−I₂ este inversa; la pasul următor calculăm toate elementele.
2. Rezultatul cerut este A − I₂ este inversa lui A. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: A − I₂ este inversa lui A
Exercițiul 79
Pasul 4: calculați A⁻¹ = A − I₂ pentru A = .
A=; A²=A+I₂
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 1+(−1)=0. Păstrăm semnul operației.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 1+0=1. Păstrăm semnul operației.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 1+0=1. Păstrăm semnul operației.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 0+(−1)=−1. Păstrăm semnul operației.
5. Am calculat A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (0; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·0+1·1=1.
7. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; −1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·(−1)=0.
8. Folosim linia 2 a lui A (1; 0) și coloana 1 a lui B (0; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·0+0·1=0.
9. Folosim linia 2 a lui A (1; 0) și coloana 2 a lui B (1; −1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+0·(−1)=1.
10. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
11. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 80
Rezolvă AX=B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·2+(−1)·0=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·1+(−1)·1=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·2+2·0=−2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·1+2·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·(−2)=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·(−2)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 81
Rezolvă AX=B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·3+(−1)·0=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·1+(−1)·1=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·3+2·0=−3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·1+2·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·3+1·(−3)=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·3+1·(−3)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 82
Determinați X din AX = I₂, unde A = .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·1=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−2) : 1 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 3 : 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·1+(−1)·0=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·0+(−1)·1=−1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−2)·1+3·0=−2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−2)·0+3·1=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 3·1+1·(−2)=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 3·(−1)+1·3=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 2·1+1·(−2)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 2·(−1)+1·3=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 83
Pentru A=, rezolvă ecuația X−AX=I₂.
Vezi rezolvarea
1. Matricea identitate este elementul neutru al produsului: IX=X. Astfel putem scoate un factor comun matriceal.
2. Distribuim produsul păstrând ordinea. X este la dreapta ambilor factori; nu îl mutăm la stânga.
3. Adunăm sau scădem elementele de pe aceeași poziție; I are 1 pe diagonală și 0 în afara ei.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·0=0.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·(−1)=1. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: 0 − 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Înmulțim la stânga cu C⁻¹: C⁻¹CX=C⁻¹B. Asociativitatea și C⁻¹C=I dau X=C⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
8. Pentru C=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
9. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 0 : (−1) = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. Aflăm elementul (1,2) al inversei: 1 : (−1) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
11. Aflăm elementul (2,1) al inversei: 1 : (−1) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
12. Aflăm elementul (2,2) al inversei: (−1) : (−1) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. C⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
14. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 0·1+(−1)·0=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 0·0+(−1)·1=−1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
16. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·1+1·0=−1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
17. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·0+1·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
18. Rezultatul este . Verificăm CX=B, nu XA=B.
19. Calculăm linia 1 din C ori coloana 1 din X: (−1)·0+(−1)·(−1)=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Calculăm linia 1 din C ori coloana 2 din X: (−1)·(−1)+(−1)·1=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
21. Calculăm linia 2 din C ori coloana 1 din X: (−1)·0+0·(−1)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
22. Calculăm linia 2 din C ori coloana 2 din X: (−1)·(−1)+0·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
23. Am verificat toate elementele produsului CX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
24. Rezultatul cerut este X=(I₂−A)⁻¹=. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: X=(I₂−A)⁻¹=
Exercițiul 84
Rezolvă AX=B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·2+(−1)·0=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·1+(−1)·1=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·2+2·0=−2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·1+2·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·(−2)=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·(−2)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 85
Problemă completă · a) Calculează det A; b) află A⁻¹; c) rezolvă AX=B și verifică, pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·3+(−1)·1=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·2+(−1)·2=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·3+2·1=−1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·2+2·2=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·(−1)=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·0+1·2=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·(−1)=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·0+1·2=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Redactare pentru Bac: a) det A=1≠0, deci A este inversabilă. b) A⁻¹=, prin formula de ordin 2. c) X=A⁻¹B=. Produsul AX=B verifică fiecare element, prin calculele de mai sus.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 86
Problemă completă · a) Calculează det A; b) află A⁻¹; c) rezolvă AX=B și verifică, pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·0=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 1 − 0 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−2) : 1 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: 0 : 1 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·4+(−2)·1=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·2+(−2)·3=−4. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 0·4+1·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 0·2+1·3=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 1·2+2·1=4, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 1·(−4)+2·3=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 0·2+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 0·(−4)+1·3=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Redactare pentru Bac: a) det A=1≠0, deci A este inversabilă. b) A⁻¹=, prin formula de ordin 2. c) X=A⁻¹B=. Produsul AX=B verifică fiecare element, prin calculele de mai sus.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 87
Problemă completă · a) Calculează det A; b) află A⁻¹; c) rezolvă AX=B și verifică, pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·1=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. elementul (1,1) al inversei=12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: 0 : 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. elementul (2,1) al inversei=-12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 12·5+0·1=52. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 12·2+0·4=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−12)·5+1·1=−32. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−12)·2+1·4=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·52+0·(−32)=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·1+0·3=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·52+1·(−32)=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·1+1·3=4, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Redactare pentru Bac: a) det A=2≠0, deci A este inversabilă. b) A⁻¹=, prin formula de ordin 2. c) X=A⁻¹B=. Produsul AX=B verifică fiecare element, prin calculele de mai sus.
Răspuns: Da, AX=B

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (24)

1. Citirea matricei
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi răspunsul
a₂₃ = 6 (linia 2, coloana 3)
2. Egalitate
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi răspunsul
1,−4
3. Adunare
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
4. Scădere
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
5. Înmulțire cu scalar
Calculați 3A pentru A = .
Vezi răspunsul
6. Matricea unitate
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi răspunsul
7. Produs
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
AB =
8. Produs necomutativ
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
BA = (diferit de AB)
9. Putere
Calculați A² pentru A = .
Vezi răspunsul
A² =
10. Determinant
Calculați det(A), unde A = .
Vezi răspunsul
det(A) = 2 · 4 − 3 · 1 = 5
11. Determinant cu parametru
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi răspunsul
3m − 2 = 4, deci m = 2.
12. Mixt
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsul
A² = = 2I₂
37. Familie de matrice
Pentru A(x) = , calculați det(A(2)).
Vezi răspunsul
A(2) = , deci det = −1.
38. Familie de matrice
Pentru A(x) = , calculați A(x) + A(−x).
Vezi răspunsul
A(x) + A(−x) =
39. Determinant nul
Determinați x dacă det() = 0. Scrieți valorile separate prin virgulă.
Vezi răspunsul
(x + 1)² − 4 = 0, deci: 1, −3
40. Inversabilitate
Pentru A = , scrieți determinantul lui A în funcție de x.
Vezi răspunsul
det(A) = x² − 1
41. Putere
Pentru A = , calculați A³.
Vezi răspunsul
A³ =
42. Putere mare
Pentru A = , calculați A²⁰²⁶.
Vezi răspunsul
A²⁰²⁶ =
43. Relație matricială
Pentru A = , arătați că A² = A + I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsul
A² = = A + I₂
44. Inversă din relație
Folosind A² = A + I₂, determinați A⁻¹ pentru A = .
Vezi răspunsul
A(A − I₂) = I₂, deci A⁻¹ = A − I₂ = .
45. Determinantul unei puteri
Calculați det(A²) pentru A = .
Vezi răspunsul
det(A) = 3, deci det(A²) = 9.
46. Ecuație matricială
Determinați X din AX = I₂, unde A = .
Vezi răspunsul
X = A⁻¹ = (det A = 1)
47. Comutare
Pentru A = și X = , determinați condițiile pentru care AX = XA. Scrieți valorile lui b și c, sub forma b,c.
Vezi răspunsul
AX = și XA = , deci b = 0 și c = 0: 0,0
48. Mixt
Determinați m ∈ ℕ dacă det() = 8.
Vezi răspunsul
m² − 1 = 8, deci m = 3.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Matrice, puteri și inversă · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Recunoaștem matricele · grupa 12

Exemplu cu alte date

Recunoaștem matricele · grupa 22

Exemplu cu alte date

Citirea unei matrice și egalitatea elementelor

Exemplu rezolvat, cu alte date

Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr

Exemplu rezolvat, cu alte date

Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr

Exemplu rezolvat, cu alte date

Produsul matricelor: o linie cu o coloană

Exemplu rezolvat, cu alte date

Familie de matrice: înlocuim și adunăm pe poziții

Exemplu rezolvat, cu alte date

Comutarea matricelor: comparăm pozițiile după două produse

Exemplu rezolvat, cu alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 14

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 24

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 34

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 44

Exemplu rezolvat · alte date

Determinantul unei familii: când devine zero?

Exemplu rezolvat, cu alte date

Determinantul unei puteri și alegerea valorii naturale

Exemplu rezolvat, cu alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 14

Exemplu rezolvat · alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 24

Exemplu rezolvat · alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 34

Exemplu rezolvat · alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 44

Exemplu rezolvat · alte date

Inversabilitate · grupa 12

Exemplu cu alte date

Inversabilitate · grupa 22

Exemplu cu alte date

Alegerea metodei · grupa 12

Exemplu cu alte date

Alegerea metodei · grupa 22

Exemplu cu alte date

Determinantul de ordinul 2 și un parametru

Exemplu rezolvat, cu alte date

Puteri ale unei matrice și identități

Exemplu rezolvat, cu alte date

Puteri ale unei matrice și identități

Exemplu rezolvat, cu alte date

Dintr-o identitate găsim inversa

Exemplu rezolvat · alte date

Dintr-o identitate găsim inversa

Exemplu rezolvat · alte date

Ecuații matriceale: izolăm matricea necunoscută

Exemplu rezolvat · alte date

Metoda matricei inverse: X=A−1B, element cu element

Exemplu rezolvat · alte date

Exerciții rezolvate din lecție (87)

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (24)

Metoda matricei inverse: X=A⁻¹B, element cu element