M1 · Mate-Info⏱ 3 sesiuni

M1·A

Teorie înainte de exerciții

Matrice, identități și ecuații matriceale · nivel M1

Lecția M1 pornește de la operațiile de bază și ajunge la identități demonstrate prin inducție, relații polinomiale în A și ecuații matriceale.

Când A apare într-o relație de tipul A² − 3A + 2I₂ = O₂, înmulțirea cu A⁻¹ este calea cea mai scurtă către inversă.

1

Cum citim și scriem o matrice

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere. În această lecție scriem matricele pe linii, separate prin punct și virgulă: înseamnă prima linie a, b și a doua linie c, d. Folosește același format și când introduci răspunsul.

M₂,₃(ℝ): matrice cu 2 linii și 3 coloane

a_ij: elementul de pe linia i și coloana j

I₂ = — matricea unitate

O₂ = — matricea nulă

Egalitate: A = B ⇔ aceeași dimensiune și elemente egale pe aceleași poziții

Numără întotdeauna întâi liniile, apoi coloanele.
Adunarea și scăderea se fac numai între matrice de aceeași dimensiune.
Înmulțirea cu un scalar afectează fiecare element.

2

Produsul a două matrice

La produs nu se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții. Elementul din linia i și coloana j a produsului se obține combinând linia i a primei matrice cu coloana j a celei de-a doua.

(AB)_ij = linia i din A · coloana j din B

Condiție: numărul de coloane al lui A = numărul de linii al lui B

A² = A·A, nu pătratul fiecărui element

A·I₂ = I₂·A = A

În general AB ≠ BA: produsul matricelor nu este comutativ.
Nu schimba ordinea factorilor într-o ecuație matricială.
Verifică dimensiunile înainte de a începe calculul.

3

Determinantul și inversa

det() = ad − bc

A este inversabilă ⇔ det(A) ≠ 0

A⁻¹ = (1ad − bc)·

det(AB) = det(A)·det(B), deci det(Aⁿ) = det(A)ⁿ

Pentru ordinul 2: det(kA) = k²·det(A)

Verifică det(A) ≠ 0 înainte de a scrie inversa.
La inversă, elementele de pe diagonala principală își schimbă locul, iar celelalte două își schimbă semnul.
O matrice cu determinantul 0 se numește singulară și nu are inversă.

4

Ecuații matriceale

Ordinea factorilor decide dacă inversa se pune la stânga sau la dreapta. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la acest capitol.

Din AX = B rezultă X = A⁻¹B (inversa la stânga)

Din XA = B rezultă X = BA⁻¹ (inversa la dreapta)

Ecuațiile cu adunare se rezolvă direct: X + A = B ⇒ X = B − A

Metoda identificării: notezi X = și egalezi elementele

Dacă matricea nu este inversabilă, folosește metoda identificării.
Când X apare de mai multe ori, dă factor comun cu grijă la poziția lui X.
Verifică soluția înlocuind-o în ecuația inițială.

5

Puteri și relații matriceale

Pentru puteri mari nu se calculează pas cu pas: se caută un tipar din primele puteri, iar apoi se justifică prin inducție. O relație de tipul A² = A + I₂ permite și aflarea inversei fără formula determinantului.

Aⁿ⁺¹ = Aⁿ·A

Pentru A = : Aⁿ =

Pentru A(x) = : A(x)A(y) = A(x + y) și A(x)ⁿ = A(nx)

Din A² = A + I₂ rezultă A(A − I₂) = I₂, deci A⁻¹ = A − I₂

Calculează A² și A³, observă tiparul, apoi justifică-l prin inducție.
O relație polinomială în A se înmulțește cu A⁻¹ pentru a exprima inversa.
Verifică tiparul pe un caz particular înainte de a-l generaliza.

6

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · inversa dintr-o relație matricială

Dacă A² = A + I₂, exprimați A⁻¹ în funcție de A.

1.Pasul 1 — pornim de la relația dată și mutăm termenii: A² − A = I₂.
2.Pasul 2 — observăm că putem da factor comun pe A la stânga.
3.Pasul 3 — folosim A·I₂ = A pentru a scrie A² − A = A(A − I₂).
4.Pasul 4 — relația devine A(A − I₂) = I₂.
5.Pasul 5 — aplicăm definiția inversei: matricea care înmulțită cu A dă I₂ este chiar A⁻¹.
6.Pasul 6 — concluzionăm: A⁻¹ = A − I₂. Metoda evită complet formula cu determinant.

7

Algoritmul universal în 7 pași

Identifică dimensiunea: numără liniile și coloanele.
Verifică operația: adunare pe poziții sau produs linie cu coloană.
Pentru determinant, scrie ad − bc înainte de a înlocui numerele.
Pentru inversă, verifică mai întâi det(A) ≠ 0.
Pentru ecuații, păstrează ordinea factorilor când înmulțești cu inversa.
Pentru puteri, calculează A² și A³, caută tiparul, apoi justifică prin inducție.
Verifică: înmulțește A cu A⁻¹ sau înlocuiește rezultatul în relația inițială.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Citirea matriceiM1 · Mate-Info
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a₂₃ = 6 (linia 2, coloana 3)
Ex. 2EgalitateM1 · Mate-Info
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1,−4
Ex. 3AdunareM1 · Mate-Info
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 4ScădereM1 · Mate-Info
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 5Înmulțire cu scalarM1 · Mate-Info
Calculați 3A pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 6Matricea unitateM1 · Mate-Info
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ex. 7ProdusM1 · Mate-Info
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB =
Ex. 8Produs necomutativM1 · Mate-Info
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BA = (diferit de AB)
Ex. 9PutereM1 · Mate-Info
Calculați A² pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² =
Ex. 10DeterminantM1 · Mate-Info
Calculați det(A), unde A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = 2 · 4 − 3 · 1 = 5
Ex. 11Determinant cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3m − 2 = 4, deci m = 2.
Ex. 12MixtM1 · Mate-Info
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² = = 2I₂
Ex. 49Familie de matriceM1 · Mate-Info
Pentru A(x) = , calculați A(x)A(−x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(x)A(−x) = = I₂
Ex. 50Determinant cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați x dacă det() = 2. Scrieți valorile sub forma 1−√172,1+√172.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x(x − 1) − 2 = 2, deci x² − x − 4 = 0: 1−√172,1+√172
Ex. 51InversabilitateM1 · Mate-Info
Pentru A = , scrieți determinantul lui A în funcție de m.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A) = m(m + 1) − 1 = m² + m − 1
Ex. 52InducțieM1 · Mate-Info
Pentru A(x) = , demonstrați că A(x)ⁿ = A(nx). Scrieți elementul de pe linia 1, coloana 2 al matricei A(x)ⁿ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Se verifică A(x)A(y) = A(x + y), apoi prin inducție A(x)ⁿ⁺¹ = A(nx)A(x) = A((n + 1)x). Elementul este nx.
Ex. 53Putere cu parametruM1 · Mate-Info
Determinați x dacă A(x)²⁰²⁶ = A(4052), unde A(x) = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(x)²⁰²⁶ = A(2026x) = A(4052), deci x = 2.
Ex. 54Relație matricialăM1 · Mate-Info
Pentru A = , arătați că A² − 3A + 2I₂ = O₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A² = ; atunci A² − 3A + 2I₂ = = O₂.
Ex. 55Inversă din relațieM1 · Mate-Info
Folosind A² − 3A + 2I₂ = O₂, determinați A⁻¹ pentru A = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(3I₂ − A) = 2I₂, deci A⁻¹ = 3I₂ − A2 = .
Ex. 56Determinantul unei puteriM1 · Mate-Info
Calculați det(A¹⁰), știind că det(A) = −2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
det(A¹⁰) = (−2)¹⁰ = 1.024
Ex. 57Ecuație matricialăM1 · Mate-Info
Determinați X dacă AX + X = B, unde A = și B = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(A + I₂)X = B, cu A + I₂ = , deci X = .
Ex. 58ProprietateM1 · Mate-Info
Arătați că (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ pentru două matrice inversabile A și B. Ce matrice se obține la calculul (AB)(B⁻¹A⁻¹)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AA⁻¹ = I₂, deci (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. Se obține I₂.
Ex. 59ParametruM1 · Mate-Info
Determinați m dacă det(A + I₂) = 0, unde A = . Scrieți valorile separate prin virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A + I₂ = , iar (m + 1)² − 1 = 0 dă: 0, −2
Ex. 60MixtM1 · Mate-Info
Pentru A = , determinați n ∈ ℕ dacă Aⁿ = .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aⁿ = , deci n = 12.