M1 · Mate-Info⏱ 3 sesiuni

M1·A

Încărcăm partea curentă…

Matrice, identități și ecuații matriceale · nivel M1

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Dimensiunea m×n înseamnă m linii și n coloane. Matricea pătratică are m=n; numai ei îi calculăm determinantul și îi putem căuta inversa obișnuită. Ordinul este numărul liniilor unei matrice pătratice.

Matricea nulă are toate elementele 0. O matrice diagonală este pătratică și are 0 în afara diagonalei principale; pe diagonală poate avea și 0. Identitatea I are 1 pe diagonală și 0 în rest. O matrice triunghiulară are 0 sub sau deasupra diagonalei principale. Aceste clase se pot suprapune: identitatea este și diagonală, și triunghiulară.

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

1Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
2Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
3Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Matrice, identități și ecuații matriceale · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Întâi exerciții de bază, apoi alegerea metodei și problemele de Bac. O idee, un exemplu cu alte date, trei exerciții. Fiecare pas explică o idee matematică; calculele obișnuite se fac împreună.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Recunoaștem matricele · grupa 22

Exemplu cu alte date

Clasifică A=.

Numărăm două linii și două coloane: matrice pătratică de ordin 2.
Ambele elemente din afara diagonalei principale sunt 0: matrice diagonală, deci și triunghiulară.
Nu este identitate, pentru că numerele de pe diagonală nu sunt ambele 1. Nu este nulă.

Citim o matrice și egalăm pozițiile

Elementul a_ij este pe linia i și pe coloana j: primul indice arată linia, al doilea coloana.

Două matrice sunt egale dacă au aceeași dimensiune și același element pe fiecare poziție. Așa aflăm necunoscutele: egalăm poziție cu poziție.

a_ij = elementul de pe linia i, coloana j

Exemplu cu alte date

Pentru B = , cât este b₁₃? Dacă = , cât este y?

b₁₃ este pe linia 1, coloana 3.
Linia 1 este 7, 0, 2, deci b₁₃ = 2.
Poziția (1,1) dă y = 4.

Adunare, scădere și înmulțire cu un număr

Adunăm și scădem matrice de aceeași dimensiune element cu element, pe aceleași poziții.

Înmulțirea cu un număr înmulțește fiecare element. Matricea unitate I₂ = are 1 pe diagonala principală și 0 în rest.

(A + B)_ij = a_ij + b_ij
(kA)_ij = k · a_ij
I₂ =

Exemplu cu alte date

Pentru A = și B = , calculează 2A − B.

2A = .
Scădem pe poziții: 4 − 1 = 3, −6 − 1 = −7, 2 − (−2) = 4, 0 − 4 = −4.
2A − B = .

Adunare, scădere și înmulțire cu un număr

Adunăm și scădem matrice de aceeași dimensiune element cu element, pe aceleași poziții.

Înmulțirea cu un număr înmulțește fiecare element. Matricea unitate I₂ = are 1 pe diagonala principală și 0 în rest.

(A + B)_ij = a_ij + b_ij
(kA)_ij = k · a_ij
I₂ =

Exemplu cu alte date

Pentru A = și B = , calculează 2A − B.

2A = .
Scădem pe poziții: 4 − 1 = 3, −6 − 1 = −7, 2 − (−2) = 4, 0 − 4 = −4.
2A − B = .

Produsul: o linie cu o coloană

Elementul de pe linia i și coloana j al produsului AB se obține din linia i a lui A și coloana j a lui B: înmulțim perechile și adunăm.

Ordinea contează: de obicei AB ≠ BA. A² înseamnă A · A, nu ridicarea la pătrat a fiecărui element.

(AB)_ij = linia i din A · coloana j din B
A² = A · A

Exemplu cu alte date

Pentru A = și B = , calculează AB.

(1,1): 2·1 + 1·2 = 4; (1,2): 2·4 + 1·0 = 8.
(2,1): 0·1 + 3·2 = 6; (2,2): 0·4 + 3·0 = 0.
AB = .

Produsul: o linie cu o coloană

Elementul de pe linia i și coloana j al produsului AB se obține din linia i a lui A și coloana j a lui B: înmulțim perechile și adunăm.

Ordinea contează: de obicei AB ≠ BA. A² înseamnă A · A, nu ridicarea la pătrat a fiecărui element.

(AB)_ij = linia i din A · coloana j din B
A² = A · A

Exemplu cu alte date

Pentru A = și B = , calculează AB.

(1,1): 2·1 + 1·2 = 4; (1,2): 2·4 + 1·0 = 8.
(2,1): 0·1 + 3·2 = 6; (2,2): 0·4 + 3·0 = 0.
AB = .

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 14

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 24

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 34

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 44

Matricea este tabelul de numere. Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr, calculat după o regulă. Nu confundăm matricea A cu det A.

La , diagonala principală conține a și d; cea secundară b și c. Calculăm separat ad și bc, apoi ad−bc. Dacă al doilea produs este negativ, scăderea lui devine adunare.

Pentru matricea unui sistem, determinantul nenul permite Cramer și inversa. Determinantul zero cere alt studiu; nu spune singur dacă există soluții.

Δ=ad−bc

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Δ: produsul diagonalei principale 3·2 → 6. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
Δ: produsul diagonalei secundare (−1)·2 → −2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) → 8. Δ, principală minus secundară: 6 − (−2) = 8. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: ad+bc Al doilea produs se scade, inclusiv atunci când conține un număr negativ.

Determinantul de ordinul 2

Pentru A = , det(A) = ad − bc: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.

Dacă apare un parametru, scriem determinantul în funcție de el, apoi punem condiția din enunț și rezolvăm ecuația.

det = ad − bc

Exemplu cu alte date

Determină m dacă det() = 6.

det = m · 4 − 3 · 2 = 4m − 6.
4m − 6 = 6, deci 4m = 12.
m = 3.

Determinantul unei puteri și al unei matrice diagonale

det(AB) = det A · det B, deci det(Aⁿ) = (det A)ⁿ. Pentru ordinul 2, det(kA) = k² · det A, pentru că ambele linii se înmulțesc cu k.

La o matrice diagonală, determinantul este produsul elementelor de pe diagonală, iar inversa se obține inversând fiecare dintre aceste elemente.

det(Aⁿ) = (det A)ⁿ
det(kA) = k² · det A
⁻¹ =

Exemplu cu alte date

Știm că det(A) = 3. Cât este det(A⁴)?

Folosim det(A⁴) = (det A)⁴.
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
det(A⁴) = 81.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 14

Sarrus se aplică numai unui determinant de ordin 3. Sub cele trei linii ale matricei copiem, în aceeași ordine, primele două linii. Tabelul are acum cinci linii și trei coloane; copiile completează diagonalele, fără să schimbe matricea inițială.

Pornim din prima coloană, pe rând din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre dreapta: obținem trei diagonale principale, colorate verde. Fiecare are trei numere. Înmulțim numerele pe fiecare diagonală, apoi adunăm cele trei produse.

Pornim din ultima coloană, tot din liniile 1, 2 și 3, și coborâm spre stânga: obținem trei diagonale secundare, colorate roșu și desenate întrerupt. Adunăm produsele lor cu semnele numerelor originale. Abia la final scădem întreaga sumă secundară din cea principală.

De exemplu, un produs secundar negativ rămâne negativ în suma lui; scăderea sumei se face după calcul. Sarrus nu se extinde prin copiere la ordinul 4. Dezvoltarea pe minori rămâne o altă metodă, utilă la rang sau când o linie conține multe zerouri.

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 24

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 34

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 44

det A=aei+dhc+gbf−(ceg+fha+ibd), A=

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează det .

Pentru Sarrus la Δ, ce copiem sub matrice? → Primele două linii, în aceeași ordine. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
Δ, diagonala principală 1: 1·1·1 → 1. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 2: 0·0·0 → 0. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
Δ, diagonala principală 3: 1·1·1 → 1. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
Δ: suma celor trei produse principale 1+0+1 → 2. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+1=2.
Δ, diagonala secundară 1: 0·1·1 → 0. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 2: 1·0·1 → 0. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ, diagonala secundară 3: 1·1·0 → 0. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
Δ: suma celor trei produse secundare 0+0+0 → 0. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 → 2. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.

Greșeală frecventă: Scad fiecare număr de pe diagonala secundară. Întâi înmulțim cele trei numere de pe fiecare diagonală; apoi adunăm produsele secundare și scădem suma lor.

Inversabilitate · grupa 12

Pentru o matrice pătratică, det A≠0 înseamnă inversabilă: există A⁻¹. Dacă det A=0, matricea este singulară și nu are inversă. Un determinant negativ este la fel de bun ca unul pozitiv pentru inversabilitate.

La sistemul pătratic AX=B, un determinant nenul dă soluție unică și permite Cramer sau X=A⁻¹B. Determinantul zero interzice aceste formule, dar nu spune singur dacă sistemul are nicio soluție sau o infinitate. Matricea și sistemul se clasifică separat.

Exemplu cu alte date

Este A= inversabilă?

A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.

Inversabilitate · grupa 22

Exemplu cu alte date

Este A= inversabilă?

A este pătratică de ordin 2, deci calculăm determinantul.
det A=1·1−3·2=−5.
−5≠0: A este inversabilă. Semnul negativ nu împiedică existența inversei.

Alegerea metodei · grupa 12

O soluție dată se verifică prin substituție în toate ecuațiile: nu trebuie găsită din nou. Pentru necunoscute care trebuie aflate, scriem AX=B și calculăm Δ. La Δ≠0 putem folosi Cramer sau inversa; la Δ=0 studiem compatibilitatea, fără împărțire la zero.

În AX=B, inversa se aplică la stânga: X=A⁻¹B. În XA=B, se aplică la dreapta: X=BA⁻¹. La AX+X=B scoatem X la dreapta: (A+I)X=B; verificăm determinantul noii matrice A+I. Nu există împărțire obișnuită la matrice.

Exemplu cu alte date

Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?

Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.

Alegerea metodei · grupa 22

Exemplu cu alte date

Se dă (x,y)=(2,3) și sistemul x+y=5, 2x−y=1. Cum verificăm?

Perechea este deja cunoscută. Alegem verificarea, fără să construim determinanții lui Cramer.
În prima ecuație: 2+3=5. În a doua: 2·2−3=1.
Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea este soluție.

Determinantul cu parametru: ecuații de gradul al doilea

Dacă Δ≠0, există A⁻¹ cu A⁻¹A=AA⁻¹=I. Din AX=B înmulțim la stânga cu A⁻¹ și obținem X=A⁻¹B. Nu există o operație obișnuită de «împărțire la matrice». La XA=B am înmulți la dreapta și am obține X=BA⁻¹.

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

În produsul A⁻¹B, fiecare element se obține dintr-o linie și o coloană. Înmulțim elementele corespondente și adunăm produsele. La B coloană obținem soluția sistemului; la B matrice obținem o matrice X. Verificăm produsul AX=B.

La AX+X=B scriem X=IX și scoatem X la dreapta: (A+I)X=B. La X−AX=B folosim (I−A)X=B. Calculăm inversa noii matrice și verificăm ecuația inițială.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Puteri și familii de matrice

Aⁿ înseamnă A înmulțită cu ea însăși de n ori. Calculăm primele puteri, observăm tiparul, apoi îl justificăm prin inducție.

Pentru o familie A(x) cu A(x)A(y) = A(x + y), la produs parametrii se adună, deci A(x)ⁿ = A(nx).

A³ = A² · A
A(x)A(y) = A(x + y) ⇒ A(x)ⁿ = A(nx)

Exemplu cu alte date

Pentru C = , calculează C³.

C² = C · C = .
C³ = C² · C = .
Tiparul este Cⁿ = .

Puteri și familii de matrice

Aⁿ înseamnă A înmulțită cu ea însăși de n ori. Calculăm primele puteri, observăm tiparul, apoi îl justificăm prin inducție.

Pentru o familie A(x) cu A(x)A(y) = A(x + y), la produs parametrii se adună, deci A(x)ⁿ = A(nx).

A³ = A² · A
A(x)A(y) = A(x + y) ⇒ A(x)ⁿ = A(nx)

Exemplu cu alte date

Pentru C = , calculează C³.

C² = C · C = .
C³ = C² · C = .
Tiparul este Cⁿ = .

Inversa dintr-o identitate

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

La AX+X=B scriem X=IX și scoatem X la dreapta: (A+I)X=B. La X−AX=B folosim (I−A)X=B. Calculăm inversa noii matrice și verificăm ecuația inițială.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Inversa dintr-o identitate

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

La AX+X=B scriem X=IX și scoatem X la dreapta: (A+I)X=B. La X−AX=B folosim (I−A)X=B. Calculăm inversa noii matrice și verificăm ecuația inițială.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Ecuații cu matrice: izolăm X

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

La AX+X=B scriem X=IX și scoatem X la dreapta: (A+I)X=B. La X−AX=B folosim (I−A)X=B. Calculăm inversa noii matrice și verificăm ecuația inițială.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Metoda matricei inverse: X=A⁻¹B, element cu element

Pentru A=, A⁻¹=(1Δ). Interschimbăm a și d, schimbăm semnele lui b și c, apoi împărțim toate cele patru elemente la Δ. Semnele și factorul 1Δ se păstrează până la final.

A⁻¹=(1ad−bc)
AX=B ⇒ X=A⁻¹B, det A≠0

Exemplu rezolvat · alte date

2x +1y = 5; 1x +1y = 3

Δ: produsul diagonalei principale 2·1 → 2. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
Δ: produsul diagonalei secundare 1·1 → 1. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
Δ, principală minus secundară: 2 − 1 → 1. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Δ≠0. Cum izolăm X din AX=B? → X=A⁻¹B. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
Interschimbăm diagonala și schimbăm semnele celeilalte diagonale. Ce matrice obținem înainte de împărțirea la Δ? → . Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 → 1. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 → −1. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 → 2. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Care este inversa completă? → . A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
Elementul (1,1): 1·5+(−1)·3 → 2. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·5+(−1)·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Elementul (2,1): (−1)·5+2·3 → 1. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·5+2·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
Care este X, după produsul matriceal? → . Rezultatul este (2; 1). Verificăm AX=B, nu XA=B.
Verificarea AX pe poziția (1,1): 2·2+1·1 → 5. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·1=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Verificarea AX pe poziția (2,1): 1·2+1·1 → 3. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
Produsul AX coincide cu matricea B? → Da, AX=B. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.

Greșeală frecventă: X=BA⁻¹ pentru AX=B. Matricele nu se pot comuta în general. Factorul A este la stânga, deci inversa trebuie aplicată tot la stânga.

Exerciții rezolvate din lecție (84)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
A=. Ce dimensiune are?
Vezi rezolvarea
1. Numărăm 2 linii, cu câte 3 elemente: 2×3. Nu este pătratică.
Răspuns: 2×3
Exercițiul 2
A=. Putem calcula determinantul acestei matrice?
Vezi rezolvarea
1. Are 2 linii și 2 coloane. Existența zerourilor nu interzice determinantul.
Răspuns: Da, este pătratică de ordin 2
Exercițiul 3
A=. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
1. Pe diagonala principală avem numai 1, în rest numai 0. Identitatea este elementul neutru al produsului.
Răspuns: A=I₃, matricea identitate de ordin 3
Exercițiul 4
A=. Care afirmație este corectă?
Vezi rezolvarea
1. Toate cele patru elemente sunt 0. Matricea este și diagonală, însă nu este identitate.
Răspuns: A este matricea nulă de ordin 2
Exercițiul 5
A=. Este diagonală?
Vezi rezolvarea
1. Condiția privește elementele din afara diagonalei. Un zero pe diagonală este permis; această matrice nu este identitate.
Răspuns: Da, toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0
Exercițiul 6
A=. Ce proprietate observăm?
Vezi rezolvarea
1. Pozițiile (2,1), (3,1), (3,2) sunt 0. Elementele de deasupra diagonalei pot fi nenule; nu este diagonală.
Răspuns: Este triunghiulară superior: sub diagonala principală sunt zerouri
Exercițiul 7
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi rezolvarea
1. Matricea A are 2 linii și 3 coloane, deci A ∈ M₂,₃(ℝ).
2. Notația a₂₃ înseamnă elementul de pe linia 2 și coloana 3.
3. Linia 2 este 4, 5, 6, iar al treilea element al ei este 6.
4. Răspuns final: a₂₃ = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 8
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi rezolvarea
1. Două matrice sunt egale dacă au aceeași dimensiune și elementele de pe aceleași poziții sunt egale.
2. Poziția (1,1) dă x = 1.
3. Poziția (2,2) dă y = −4.
4. Răspuns final: x = 1 și y = −4.
Răspuns: 1,−4
Exercițiul 9
În A=, citește elementul (2,1).
Vezi rezolvarea
1. Prima coordonată a poziției indică linia, a doua coloana. Linia 2 conține 1,2; primul element este 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 10
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 1+2=3. Păstrăm semnul operației.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2+(−1)=1. Păstrăm semnul operației.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 3+0=3. Păstrăm semnul operației.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 4+5=9. Păstrăm semnul operației.
5. Am calculat A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 11
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 1−2=−1. Păstrăm semnul operației.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2−(−1)=3. Păstrăm semnul operației.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 3−0=3. Păstrăm semnul operației.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 4−5=−1. Păstrăm semnul operației.
5. Am calculat A−B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 12
Calculați 3A pentru A = .
Vezi rezolvarea
1. Elementul (1,1): 3 · 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
2. Elementul (1,2): 3 · (−2) = −6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
3. Elementul (2,1): 3 · 0 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Elementul (2,2): 3 · 4 = 12. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
5. Fiecare element are propria operație. Matricea 3A este .
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 13
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 2+1=3. Păstrăm semnul operației.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 1+0=1. Păstrăm semnul operației.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): (−1)+0=−1. Păstrăm semnul operației.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 3+1=4. Păstrăm semnul operației.
5. Am calculat A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 14
Calculează 2A+B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 2·1+2=4. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2·1+1=3. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 2·1+0=2. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 2·2+1=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
5. Am calculat 2A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
Răspuns:
Exercițiul 15
Calculează 2A+B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): 2·1+3=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): 2·2+1=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): 2·1+0=2. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): 2·2+1=5. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
5. Am calculat 2A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
Răspuns:
Exercițiul 16
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (2; 3). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+2·3=8.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·0=1.
3. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 1 a lui B (2; 3). Înmulțim perechile și adunăm: 0·2+1·3=3.
4. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 2 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·0=0.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 17
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (2; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 2·1+1·0=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (2; 1) și coloana 2 a lui B (2; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 2·2+1·1=5.
3. Folosim linia 2 a lui A (3; 0) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 3·1+0·0=3.
4. Folosim linia 2 a lui A (3; 0) și coloana 2 a lui B (2; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 3·2+0·1=6.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 18
Calculați A² pentru A = .
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·0=1.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
3. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·0=0.
4. Folosim linia 2 a lui A (0; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+1·1=1.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 19
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; −1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·(−1)=0.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; −1) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+(−1)·1=0.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; −1) și coloana 2 a lui B (1; −1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+(−1)·(−1)=2.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 20
Pentru A = , arătați că A² − 3A + 2I₂ = O₂. Scrieți matricea A².
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·0=1.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·2=3.
3. Folosim linia 2 a lui A (0; 2) și coloana 1 a lui B (1; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+2·0=0.
4. Folosim linia 2 a lui A (0; 2) și coloana 2 a lui B (1; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 0·1+2·2=4.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 21
Calculează AB pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (2; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+1·0=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (2; 0). Înmulțim perechile și adunăm: 1·2+2·0=2.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·1=3.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
Răspuns:
Exercițiul 22
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 23
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 1 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 24
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·1=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·2=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 25
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·2=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − (−2) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 26
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −5
Exercițiul 27
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 3·(−1)=−3. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − (−3) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 28
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 0·1=0.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·3=6. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 0 − 6 = −6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −6
Exercițiul 29
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·(−2)=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·1=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 0 = −4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −4
Exercițiul 30
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 31
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 4
Exercițiul 32
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 33
Calculează det folosind cele două diagonale.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 34
Calculați det(A), unde A = .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·4=8.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 3·1=3. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 8 − 3 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Rezultatul cerut este 5. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: 5
Exercițiul 35
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi rezolvarea
1. În m·3, parametrul rămâne literă. Coeficientul său este 3.
2. Produsul diagonalei secundare: calculăm 1 · 2 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
3. Scădem produsul diagonalei secundare: det A=3m−2. Îl egalăm cu valoarea cerută 4.
4. Adunăm 2 în ambele membre; aflăm 3m: calculăm 4 + 2 și obținem 6. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
5. Împărțim la 3; aflăm m: calculăm 6 : 3 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
6. Rezultatul cerut este 2. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: 2
Exercițiul 36
Pentru A = , scrieți determinantul lui A în funcție de m.
Vezi rezolvarea
1. Aplicăm det = ad − bc.
2. det(A) = m(m + 1) − 1·1 = m² + m − 1.
3. Matricea nu este inversabilă când m² + m − 1 = 0.
4. Cu Δ = 1 + 4 = 5, valorile sunt m = −1 ± √52.
Răspuns: m²+m−1
Exercițiul 37
Calculați det(A¹⁰), știind că det(A) = −2.
Vezi rezolvarea
1. Folosim proprietatea det(AB) = det(A)·det(B), aplicată repetat.
2. Rezultă det(Aⁿ) = det(A)ⁿ.
3. det(A¹⁰) = (−2)¹⁰ = 1024, pozitiv pentru că exponentul este par.
4. Răspuns final: 1024.
Răspuns: 1024
Exercițiul 38
Calculează det .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 1
Exercițiul 39
Calculează det .
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 40
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+0+1=3.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 3 − 0 = 3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 3
Exercițiul 41
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+1+0=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 2, deci produsul este 0·1·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 0 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 42
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+4=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 1, 2, deci produsul este 0·1·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 1, deci produsul este 1·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 0 = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 43
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, (−1), 1, deci produsul este 0·(−1)·1=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+0=4.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, (−1), 1, deci produsul este 2·(−1)·1=−2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+1+(−2)=−1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − (−1) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 44
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt (−1), 1, 1, deci produsul este (−1)·1·1=−1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 2, deci produsul este 0·0·2=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−1)+0+1=0.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, (−1), deci produsul este 1·0·(−1)=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+0+0=2.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 0 − 2 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −2
Exercițiul 45
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 2, 1, deci produsul este 2·2·1=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt (−1), 0, 0, deci produsul este (−1)·0·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+1=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 0, 2, deci produsul este 1·0·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 1, (−1), deci produsul este 1·1·(−1)=−1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+(−1)=−1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − (−1) = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 6
Exercițiul 46
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 0, 0, 1, deci produsul este 0·0·1=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+4=5.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 2, 0, 1, deci produsul este 2·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+0+0=1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 5 − 1 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 4
Exercițiul 47
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 2, (−1), deci produsul este 2·2·(−1)=−4. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 0, 0, deci produsul este 0·0·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 1+(−4)+0=−3.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt (−1), 1, 0, deci produsul este (−1)·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 2, 1, deci produsul este 0·2·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 0, 2, deci produsul este 1·0·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+0=0.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: (−3) − 0 = −3. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −3
Exercițiul 48
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 1, deci produsul este 2·1·1=2. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 1, 0, deci produsul este 0·1·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 2+2+0=4.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 2, 1, 2, deci produsul este 2·1·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+4=4.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 49
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 4, 1, deci produsul este 1·4·1=4. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 2, 1, 0, deci produsul este 2·1·0=0. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, 2, 0, deci produsul este 0·2·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 4+0+0=4.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 0, 4, 0, deci produsul este 0·4·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 1, 1, deci produsul este 0·1·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 1, 2, 2, deci produsul este 1·2·2=4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+4=4.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 0
Exercițiul 50
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 2, 1, (−1), deci produsul este 2·1·(−1)=−2. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 2, 1, deci produsul este 1·2·1=2. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt 0, (−1), 0, deci produsul este 0·(−1)·0=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−2)+2+0=0.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 1, 1, 0, deci produsul este 1·1·0=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 0, 2, 2, deci produsul este 0·2·2=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt (−1), (−1), 1, deci produsul este (−1)·(−1)·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+0+1=1.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 0 − 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: −1
Exercițiul 51
Calculează prin Sarrus det .
Vezi rezolvarea
1. Sarrus se aplică numai la ordinul 3. Copiem linia 1 și apoi linia 2 sub cele trei linii inițiale; obținem un tabel de cinci linii, cu trei coloane.
2. Urmărim (L1, C1) → (L2, C2) → (L3, C3). Numerele sunt 1, 2, 0, deci produsul este 1·2·0=0. Îl includem în suma principală.
3. Urmărim (L2, C1) → (L3, C2) → (copia L1, C3). Numerele sunt 1, 1, 2, deci produsul este 1·1·2=2. Îl includem în suma principală.
4. Urmărim (L3, C1) → (copia L1, C2) → (copia L2, C3). Numerele sunt (−1), 0, 1, deci produsul este (−1)·0·1=0. Îl includem în suma principală.
5. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: 0+2+0=2.
6. Urmărim (L1, C3) → (L2, C2) → (L3, C1). Numerele sunt 2, 2, (−1), deci produsul este 2·2·(−1)=−4. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
7. Urmărim (L2, C3) → (L3, C2) → (copia L1, C1). Numerele sunt 1, 1, 1, deci produsul este 1·1·1=1. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
8. Urmărim (L3, C3) → (copia L1, C2) → (copia L2, C1). Numerele sunt 0, 0, 1, deci produsul este 0·0·1=0. Îl includem în suma secundară; nu schimbăm încă semnul produsului.
9. Adunăm produsele deja calculate, inclusiv cele negative: (−4)+1+0=−3.
10. Δ, Sarrus: suma principală minus suma secundară: 2 − (−3) = 5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
Răspuns: 5
Exercițiul 52
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·3=3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·1=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 3 − 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=1. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 53
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−2)·2=−4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−4) − 1 = −5. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=-5. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 54
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·4=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·2=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=0. Este zero, deci A⁻¹ nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 55
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 3·2=6.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·(−1)=2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 6 − 2 = 4. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=4. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 56
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·3=−3.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−2)·1=−2. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: (−3) − (−2) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=-1. Este nenul, deci A⁻¹ există; semnul determinantului nu contează.
Răspuns: Inversabilă, det A≠0
Exercițiul 57
Calculează determinantul și spune dacă A= este inversabilă.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·2=4.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·4=4. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 4 − 4 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. det A=0. Este zero, deci A⁻¹ nu există. Aceasta este o concluzie despre matrice, nu despre compatibilitatea unui sistem.
Răspuns: Singulară, det A=0
Exercițiul 58
Ți se dă perechea (1,2). Cum verifici că este soluția unui sistem?
Vezi rezolvarea
1. Enunțul cere verificarea unei perechi cunoscute. Substituția în toate ecuațiile este suficientă; un singur rând adevărat nu ajunge.
Răspuns: O înlocuiesc în fiecare ecuație
Exercițiul 59
Trebuie să afli X din AX=B, iar det A=−3. Ce metode sunt permise?
Vezi rezolvarea
1. −3≠0. Matricea este inversabilă și sistemul pătratic are soluție unică; ambele metode sunt valabile.
Răspuns: Cramer sau X=A⁻¹B
Exercițiul 60
În AX=B ai găsit det A=0. Care este următorul lucru de făcut?
Vezi rezolvarea
1. Determinantul zero exclude Cramer și inversa. Termenii liberi trebuie analizați; pot exista o infinitate de soluții sau nicio soluție.
Răspuns: Studiez compatibilitatea ecuațiilor; pe M1 pot compara rangurile
Exercițiul 61
În XA=B se știe că A este inversabilă. Cum izolezi X?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțim la dreapta cu A⁻¹: XAA⁻¹=BA⁻¹, deci XI=BA⁻¹. Ordinea este obligatorie.
Răspuns: X=BA⁻¹
Exercițiul 62
În AX=B, inversa A⁻¹ este deja dată. Care este calculul direct?
Vezi rezolvarea
1. Înmulțim la stânga cu inversa. Nu este necesar să reconstruim inversa deja dată în enunț.
Răspuns: X=A⁻¹B
Exercițiul 63
În AX+X=B, ce matrice trebuie studiată înainte de folosirea inversei?
Vezi rezolvarea
1. X=IX și distributivitatea dau (A+I)X=B. Inversa necesară este a matricei A+I, dacă determinantul ei este nenul.
Răspuns: A+I
Exercițiul 64
Determinați x dacă det() = 2. Scrieți valorile sub forma 1−√172,1+√172.
Vezi rezolvarea
1. Determinantul este x(x − 1) − 1·2 = x² − x − 2.
2. Punem x² − x − 2 = 2, deci x² − x − 4 = 0.
3. Discriminantul este Δ = 1 + 16 = 17.
4. Rezultă x = 1 ± √172, ambele valori fiind acceptate.
Răspuns: 1−√172,1+√172
Exercițiul 65
Exercițiul 59 semi-ghidat · Pentru A = , scrieți matricea A + I₂.
Vezi rezolvarea
1. I₂ = , deci adunarea afectează numai diagonala principală.
2. Poziția (1,1): m + 1. Poziția (2,2): m + 1.
3. Pozițiile (1,2) și (2,1) rămân 1.
4. Rezultă A + I₂ = .
Răspuns:
Exercițiul 66
Acum determinați m din det(A + I₂) = 0. Scrieți valorile separate prin virgulă.
A=, A+I₂=. Cerem det(A+I₂)=0.
Vezi rezolvarea
1. (m+1)²−1=[(m+1)−1][(m+1)+1]=m(m+2).
2. Cel puțin un factor trebuie să fie zero. Nu împărțim prin m, pentru a nu pierde soluția m=0.
3. A doua valoare a parametrului: calculăm 0 − 2 și obținem -2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
4. Rezultatul cerut este −2,0. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: −2,0
Exercițiul 67
Pentru A(x) = , calculați A(x)A(−x).
Vezi rezolvarea
1. Folosim identitatea A(x)A(y) = A(x + y), demonstrată pentru această familie.
2. Aici y = −x, deci A(x)A(−x) = A(x − x) = A(0).
3. A(0) = = I₂.
4. Prin urmare A(−x) este inversa lui A(x).
Răspuns:
Exercițiul 68
Pentru A(x) = , demonstrați că A(x)ⁿ = A(nx). Scrieți elementul de pe linia 1, coloana 2 al matricei A(x)ⁿ.
Vezi rezolvarea
1. Pentru n = 1 afirmația este evidentă.
2. Presupunem A(x)^k = A(kx) și înmulțim cu A(x).
3. A(x)^k+1 = A(kx)A(x) = A(kx + x) = A((k + 1)x), folosind identitatea A(u)A(v) = A(u + v).
4. Prin inducție, A(x)ⁿ = A(nx) = , deci elementul cerut este nx.
Răspuns: nx
Exercițiul 69
Exercițiul 53 semi-ghidat · Pentru A(x) = , cu ce este egal A(x)²⁰²⁶?
A(x)=; A(x)A(y)=A(x+y). Căutăm A(x)²⁰²⁶.
Vezi rezolvarea
1. Parametrul x se adună de n ori; formula se justifică prin inducție. Baza n=1 este A(x), iar A(nx)A(x)=A((n+1)x).
2. Rezultatul cerut este A(2026x). Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: A(2026x)
Exercițiul 70
Acum determinați x din A(2026x) = A(4052).
A(2026x)=A(4052), pentru A(t)=, deci 2026x=4052.
Vezi rezolvarea
1. Egalăm elementele de pe poziția (1,2): calculăm 4052 : 2026 și obținem 2. Păstrăm acest rezultat pentru următorul rând.
2. Rezultatul cerut este 2. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: 2
Exercițiul 71
Pentru A = , determinați n ∈ ℕ dacă Aⁿ = .
Vezi rezolvarea
1. Din tiparul demonstrat prin inducție, Aⁿ = .
2. Egalăm cu matricea dată: = .
3. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare coincid, deci n = 12.
4. Răspuns final: n = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 72
Calculează A² pentru A=.
Vezi rezolvarea
1. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·1=2.
2. Folosim linia 1 a lui A (1; 1) și coloana 2 a lui B (1; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+1·2=3.
3. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 1 a lui B (1; 1). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·1=3.
4. Folosim linia 2 a lui A (1; 2) și coloana 2 a lui B (1; 2). Înmulțim perechile și adunăm: 1·1+2·2=5.
5. Punem fiecare sumă pe poziția ei, fără a schimba ordinea liniilor sau coloanelor. AB=.
Răspuns:
Exercițiul 73
Exercițiul 55 ghidat · Pentru A = avem A² − 3A + 2I₂ = O₂. Pasul 1: ce facem ca să obținem o relație pentru A⁻¹?
A=; A²−3A+2I₂=O₂
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·0=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Rezultatul cerut este Înmulțim relația cu A⁻¹. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: Înmulțim relația cu A⁻¹
Exercițiul 74
Pasul 2: izolați A⁻¹ din A − 3I₂ + 2A⁻¹ = O₂.
A=; A²−3A+2I₂=O₂
Vezi rezolvarea
1. A²A⁻¹=A(AA⁻¹)=AI₂=A.
2. AA⁻¹=I₂; I₂A⁻¹=A⁻¹. Înmulțim fiecare termen, fără să pierdem coeficienții.
3. Din A−3I₂+2A⁻¹=O₂ izolăm termenul 2A⁻¹. Împărțirea tuturor elementelor la 2 dă formula inversei.
4. Rezultatul cerut este A⁻¹ = 3I₂ − A2. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: A⁻¹ = 3I₂ − A2
Exercițiul 75
Pasul 3: calculați matricea 3I₂ − A pentru A = .
A=; A²−3A+2I₂=O₂
Vezi rezolvarea
1. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 1): (−1)·1+3=2. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
2. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 1, coloana 2): (−1)·1+0=−1. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
3. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 1): (−1)·0+0=0. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
4. Luăm elementele de pe aceeași poziție (linia 2, coloana 2): (−1)·2+3=1. Scalarul înmulțește fiecare element din A înaintea adunării sau scăderii.
5. Am calculat -1A+B pe fiecare poziție. Scalarul nu se aplică doar diagonalei.
6. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 76
Pasul 4: scrieți A⁻¹, împărțind la 2.
A=; A²−3A+2I₂=O₂
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·2=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·0=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. elementul (1,2) al inversei=-12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: 0 : 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. elementul (2,2) al inversei=12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·1+(−12)·0=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·0+(−12)·1=−12. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 0·1+12·0=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 0·0+12·1=12. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 1·1+1·0=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 1·(−12)+1·12=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 0·1+2·0=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 0·(−12)+2·12=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 77
Arătați că (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ pentru două matrice inversabile A și B. Ce matrice se obține la calculul (AB)(B⁻¹A⁻¹)?
Vezi rezolvarea
1. Folosim asociativitatea produsului de matrice.
2. (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = A·I₂·A⁻¹ = AA⁻¹ = I₂.
3. Analog, (B⁻¹A⁻¹)(AB) = B⁻¹(A⁻¹A)B = I₂.
4. Ambele produse dau I₂, deci B⁻¹A⁻¹ este inversa lui AB. Atenție la ordinea inversată a factorilor.
Răspuns: I₂
Exercițiul 78
Rezolvă AX=B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·2+(−1)·0=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·1+(−1)·1=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·2+2·0=−2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·1+2·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·(−2)=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·(−2)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 79
Determinați X dacă AX + X = B, unde A = și B = .
Vezi rezolvarea
1. Matricea identitate este elementul neutru al produsului: IX=X. Astfel putem scoate un factor comun matriceal.
2. Distribuim produsul păstrând ordinea. X este la dreapta ambilor factori; nu îl mutăm la stânga.
3. Adunăm sau scădem elementele de pe aceeași poziție; I are 1 pe diagonală și 0 în afara ei.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·3=6.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·0=0. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: 6 − 0 = 6. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Înmulțim la stânga cu C⁻¹: C⁻¹CX=C⁻¹B. Asociativitatea și C⁻¹C=I dau X=C⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
8. Pentru C=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
9. elementul (1,1) al inversei=36. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
10. Aflăm elementul (1,2) al inversei: 0 : 6 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
11. Aflăm elementul (2,1) al inversei: 0 : 6 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
12. elementul (2,2) al inversei=26. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
13. C⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
14. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 12·4+0·3=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 12·2+0·6=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
16. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 0·4+13·3=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
17. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 0·2+13·6=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
18. Rezultatul este . Verificăm CX=B, nu XA=B.
19. Calculăm linia 1 din C ori coloana 1 din X: 2·2+0·1=4, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Calculăm linia 1 din C ori coloana 2 din X: 2·1+0·2=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
21. Calculăm linia 2 din C ori coloana 1 din X: 0·2+3·1=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
22. Calculăm linia 2 din C ori coloana 2 din X: 0·1+3·2=6, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
23. Am verificat toate elementele produsului CX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
24. Rezultatul cerut este . Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns:
Exercițiul 80
Pentru A=, rezolvă ecuația X−AX=I₂.
Vezi rezolvarea
1. Matricea identitate este elementul neutru al produsului: IX=X. Astfel putem scoate un factor comun matriceal.
2. Distribuim produsul păstrând ordinea. X este la dreapta ambilor factori; nu îl mutăm la stânga.
3. Adunăm sau scădem elementele de pe aceeași poziție; I are 1 pe diagonală și 0 în afara ei.
4. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): (−1)·0=0.
5. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): (−1)·(−1)=1. Acest produs se va scădea.
6. Δ, principală minus secundară: 0 − 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Înmulțim la stânga cu C⁻¹: C⁻¹CX=C⁻¹B. Asociativitatea și C⁻¹C=I dau X=C⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
8. Pentru C=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
9. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 0 : (−1) = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. Aflăm elementul (1,2) al inversei: 1 : (−1) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
11. Aflăm elementul (2,1) al inversei: 1 : (−1) = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
12. Aflăm elementul (2,2) al inversei: (−1) : (−1) = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
13. C⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
14. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 0·1+(−1)·0=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 0·0+(−1)·1=−1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
16. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·1+1·0=−1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
17. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·0+1·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
18. Rezultatul este . Verificăm CX=B, nu XA=B.
19. Calculăm linia 1 din C ori coloana 1 din X: (−1)·0+(−1)·(−1)=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Calculăm linia 1 din C ori coloana 2 din X: (−1)·(−1)+(−1)·1=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
21. Calculăm linia 2 din C ori coloana 1 din X: (−1)·0+0·(−1)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
22. Calculăm linia 2 din C ori coloana 2 din X: (−1)·(−1)+0·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
23. Am verificat toate elementele produsului CX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
24. Rezultatul cerut este X=(I₂−A)⁻¹=. Am păstrat ordinea produselor și am calculat fiecare element separat.
Răspuns: X=(I₂−A)⁻¹=
Exercițiul 81
Rezolvă AX=B pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·2+(−1)·0=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·1+(−1)·1=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·2+2·0=−2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·1+2·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·(−2)=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·(−2)=0, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·0+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 82
Problemă completă · a) Calculează det A; b) află A⁻¹; c) rezolvă AX=B și verifică, pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 1·1=1. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: (−1) : 1 = −1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 1 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·3+(−1)·1=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·2+(−1)·2=0. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−1)·3+2·1=−1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−1)·2+2·2=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·2+1·(−1)=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·0+1·2=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·2+1·(−1)=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·0+1·2=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Redactare pentru Bac: a) det A=1≠0, deci A este inversabilă. b) A⁻¹=, prin formula de ordin 2. c) X=A⁻¹B=. Produsul AX=B verifică fiecare element, prin calculele de mai sus.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 83
Problemă completă · a) Calculează det A; b) află A⁻¹; c) rezolvă AX=B și verifică, pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 1·1=1.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 2·0=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 1 − 0 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. Aflăm elementul (1,1) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: (−2) : 1 = −2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. Aflăm elementul (2,1) al inversei: 0 : 1 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 1 : 1 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 1·4+(−2)·1=2. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 1·2+(−2)·3=−4. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 0·4+1·1=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 0·2+1·3=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 1·2+2·1=4, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 1·(−4)+2·3=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 0·2+1·1=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 0·(−4)+1·3=3, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Redactare pentru Bac: a) det A=1≠0, deci A este inversabilă. b) A⁻¹=, prin formula de ordin 2. c) X=A⁻¹B=. Produsul AX=B verifică fiecare element, prin calculele de mai sus.
Răspuns: Da, AX=B
Exercițiul 84
Problemă completă · a) Calculează det A; b) află A⁻¹; c) rezolvă AX=B și verifică, pentru A=, B=.
Vezi rezolvarea
1. Diagonala principală unește pozițiile (1,1) și (2,2): 2·1=2.
2. Diagonala secundară unește pozițiile (1,2) și (2,1): 0·1=0. Acest produs se va scădea.
3. Δ, principală minus secundară: 2 − 0 = 2. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
4. Înmulțim la stânga cu A⁻¹: A⁻¹AX=A⁻¹B. Asociativitatea și A⁻¹A=I dau X=A⁻¹B. Ordinea factorilor se păstrează.
5. Pentru A=, inversa este (1Δ). Nu schimbăm semnul elementelor de pe diagonala principală.
6. elementul (1,1) al inversei=12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
7. Aflăm elementul (1,2) al inversei: 0 : 2 = 0. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
8. elementul (2,1) al inversei=-12. Împărțim determinantul necunoscutei la determinantul sistemului. Nu inversăm raportul și nu rotunjim.
9. Aflăm elementul (2,2) al inversei: 2 : 2 = 1. Lucrăm numai această operație; păstrăm semnele și fracția exactă.
10. A⁻¹=. Aplicăm factorul 1Δ tuturor celor patru elemente.
11. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: 12·5+0·1=52. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
12. Linia 1 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: 12·2+0·4=1. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
13. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 1 a lui B: (−12)·5+1·1=−32. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
14. Linia 2 a inversei se întâlnește cu coloana 2 a lui B: (−12)·2+1·4=3. Nu înmulțim elemente de pe aceeași poziție.
15. Rezultatul este . Verificăm AX=B, nu XA=B.
16. Calculăm linia 1 din A ori coloana 1 din X: 2·52+0·(−32)=5, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
17. Calculăm linia 1 din A ori coloana 2 din X: 2·1+0·3=2, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
18. Calculăm linia 2 din A ori coloana 1 din X: 1·52+1·(−32)=1, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
19. Calculăm linia 2 din A ori coloana 2 din X: 1·1+1·3=4, exact elementul lui B pe aceeași poziție.
20. Am verificat toate elementele produsului AX. Rezultatul respectă ecuația matriceală inițială.
21. Redactare pentru Bac: a) det A=2≠0, deci A este inversabilă. b) A⁻¹=, prin formula de ordin 2. c) X=A⁻¹B=. Produsul AX=B verifică fiecare element, prin calculele de mai sus.
Răspuns: Da, AX=B

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (24)

1. Citirea matricei
Pentru A = , precizați elementul a₂₃.
Vezi răspunsul
a₂₃ = 6 (linia 2, coloana 3)
2. Egalitate
Determinați x și y dacă = . Scrieți răspunsul sub forma x,y.
Vezi răspunsul
1,−4
3. Adunare
Calculați A + B, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
4. Scădere
Calculați A − B, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
5. Înmulțire cu scalar
Calculați 3A pentru A = .
Vezi răspunsul
6. Matricea unitate
Calculați A + I₂, unde A = .
Vezi răspunsul
7. Produs
Calculați AB, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
AB =
8. Produs necomutativ
Calculați BA, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
BA = (diferit de AB)
9. Putere
Calculați A² pentru A = .
Vezi răspunsul
A² =
10. Determinant
Calculați det(A), unde A = .
Vezi răspunsul
det(A) = 2 · 4 − 3 · 1 = 5
11. Determinant cu parametru
Determinați m dacă det() = 4.
Vezi răspunsul
3m − 2 = 4, deci m = 2.
12. Mixt
Pentru A = , arătați că A² = 2I₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsul
A² = = 2I₂
49. Familie de matrice
Pentru A(x) = , calculați A(x)A(−x).
Vezi răspunsul
A(x)A(−x) = = I₂
50. Determinant cu parametru
Determinați x dacă det() = 2. Scrieți valorile sub forma 1−√172,1+√172.
Vezi răspunsul
x(x − 1) − 2 = 2, deci x² − x − 4 = 0: 1−√172,1+√172
51. Inversabilitate
Pentru A = , scrieți determinantul lui A în funcție de m.
Vezi răspunsul
det(A) = m(m + 1) − 1 = m² + m − 1
52. Inducție
Pentru A(x) = , demonstrați că A(x)ⁿ = A(nx). Scrieți elementul de pe linia 1, coloana 2 al matricei A(x)ⁿ.
Vezi răspunsul
Se verifică A(x)A(y) = A(x + y), apoi prin inducție A(x)ⁿ⁺¹ = A(nx)A(x) = A((n + 1)x). Elementul este nx.
53. Putere cu parametru
Determinați x dacă A(x)²⁰²⁶ = A(4052), unde A(x) = .
Vezi răspunsul
A(x)²⁰²⁶ = A(2026x) = A(4052), deci x = 2.
54. Relație matricială
Pentru A = , arătați că A² − 3A + 2I₂ = O₂. Scrieți matricea A².
Vezi răspunsul
A² = ; atunci A² − 3A + 2I₂ = = O₂.
55. Inversă din relație
Folosind A² − 3A + 2I₂ = O₂, determinați A⁻¹ pentru A = .
Vezi răspunsul
A(3I₂ − A) = 2I₂, deci A⁻¹ = 3I₂ − A2 = .
56. Determinantul unei puteri
Calculați det(A¹⁰), știind că det(A) = −2.
Vezi răspunsul
det(A¹⁰) = (−2)¹⁰ = 1.024
57. Ecuație matricială
Determinați X dacă AX + X = B, unde A = și B = .
Vezi răspunsul
(A + I₂)X = B, cu A + I₂ = , deci X = .
58. Proprietate
Arătați că (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ pentru două matrice inversabile A și B. Ce matrice se obține la calculul (AB)(B⁻¹A⁻¹)?
Vezi răspunsul
(AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AA⁻¹ = I₂, deci (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. Se obține I₂.
59. Parametru
Determinați m dacă det(A + I₂) = 0, unde A = . Scrieți valorile separate prin virgulă.
Vezi răspunsul
A + I₂ = , iar (m + 1)² − 1 = 0 dă: 0, −2
60. Mixt
Pentru A = , determinați n ∈ ℕ dacă Aⁿ = .
Vezi răspunsul
Aⁿ = , deci n = 12.

Recunoaștem matricele · grupa 12

Matrice, identități și ecuații matriceale · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Recunoaștem matricele · grupa 12

Exemplu cu alte date

Recunoaștem matricele · grupa 22

Exemplu cu alte date

Citim o matrice și egalăm pozițiile

Exemplu cu alte date

Adunare, scădere și înmulțire cu un număr

Exemplu cu alte date

Adunare, scădere și înmulțire cu un număr

Exemplu cu alte date

Produsul: o linie cu o coloană

Exemplu cu alte date

Produsul: o linie cu o coloană

Exemplu cu alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 14

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 24

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 34

Exemplu rezolvat · alte date

Determinanți 2×2 · antrenament de bază · grupa 44

Exemplu rezolvat · alte date

Determinantul de ordinul 2

Exemplu cu alte date

Determinantul unei puteri și al unei matrice diagonale

Exemplu cu alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 14

Exemplu rezolvat · alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 24

Exemplu rezolvat · alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 34

Exemplu rezolvat · alte date

Sarrus · determinanți 3×3 · grupa 44

Exemplu rezolvat · alte date

Inversabilitate · grupa 12

Exemplu cu alte date

Inversabilitate · grupa 22

Exemplu cu alte date

Alegerea metodei · grupa 12

Exemplu cu alte date

Alegerea metodei · grupa 22

Exemplu cu alte date

Determinantul cu parametru: ecuații de gradul al doilea

Exemplu rezolvat · alte date

Puteri și familii de matrice

Exemplu cu alte date

Puteri și familii de matrice

Exemplu cu alte date

Inversa dintr-o identitate

Exemplu rezolvat · alte date

Inversa dintr-o identitate

Exemplu rezolvat · alte date

Ecuații cu matrice: izolăm X

Exemplu rezolvat · alte date

Metoda matricei inverse: X=A−1B, element cu element

Exemplu rezolvat · alte date

Exerciții rezolvate din lecție (84)

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (24)

Metoda matricei inverse: X=A⁻¹B, element cu element