Încărcăm partea curentă…

Ecuații logaritmice pas cu pas

Ecuația de bază: logaritm → putere

Începem cu domeniul, apoi folosim definiția. Ecuația logaA=c devine A=ac. Rezolvăm ecuația obținută și verificăm rezultatul în domeniul inițial; nu confundăm puterea cu înmulțirea.

În viața reală

Câte runde are un turneu eliminatoriu cu 1024 de echipe? În fiecare rundă rămân jumătate, deci log21024 = 10 runde, pentru că 210 = 1024.

De ținut minte

logaA=c ⇔ A=ac
  • Exponentul este numărul din dreapta ecuației.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log3(x−2)=3.

  1. 1Domeniu: x−2>0, deci x>2.
  2. 2x−2=33=27, de unde x=29.
  3. 329>2 și log327=3; soluția este admisă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații logaritmice pas cu pas: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Ecuația de bază: logaritm → putere

Începem cu domeniul, apoi folosim definiția. Ecuația logaA=c devine A=ac. Rezolvăm ecuația obținută și verificăm rezultatul în domeniul inițial; nu confundăm puterea cu înmulțirea.

  • logaA=c ⇔ A=ac
  • Exponentul este numărul din dreapta ecuației.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log3(x−2)=3.

  1. Domeniu: x−2>0, deci x>2.
  2. x−2=33=27, de unde x=29.
  3. 29>2 și log327=3; soluția este admisă.

Exersăm singuri ecuații cu un logaritm

Acum parcurgi singur fiecare etapă: verifici argumentul pozitiv, scrii puterea bazei, izolezi x, apoi înlocuiești în enunț pentru control. Dacă termenul liber trece în membrul celălalt, semnul lui se schimbă.

  • loga(x+c)=k ⇒ x+c=ak
  • Un rezultat al ecuației algebrice se acceptă doar dacă respectă domeniul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log5(x−4)=2.

  1. Cerem x−4>0, deci x>4.
  2. x−4=52=25, de unde x=29.
  3. 29>4 și log525=2; soluția este validă.

Aceeași bază și exponenți fracționari

Doi logaritmi egali cu aceeași bază admisă au argumentele egale, dacă ambele argumente sunt pozitive. Un exponent fracționar se calculează folosind radicali: a12=√a.

  • logaA=logaB ⇔ A=B, A,B>0
  • Nu egalăm bazele; ele sunt deja aceleași.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log9(x+1)=12.

  1. Domeniul este x>−1.
  2. x+1=912=3, deci x=2.
  3. 2>−1: soluția verifică domeniul.

Suma logaritmilor: construim ecuația

La o sumă de logaritmi cu aceeași bază, punem separat condițiile argumentelor. Abia apoi unim suma într-un singur logaritm al produsului și aplicăm definiția pentru a obține o ecuație algebrică.

  • logaA+logaB=c ⇒ AB=ac
  • Faptul că produsul e pozitiv nu garantează că fiecare factor este pozitiv.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2x+log2(x−3)=2.

  1. Condițiile x>0 și x−3>0 dau x>3.
  2. log2[x(x−3)]=2, deci x2−3x=4.
  3. x2−3x−4=0 are candidații 4 și −1; numai 4 respectă x>3.

La final filtrăm soluțiile

Ecuația algebrică poate avea mai multe soluții decât ecuația logaritmică inițială. Păstrăm numai valorile pentru care fiecare argument este strict pozitiv, apoi verificăm egalitatea inițială.

  • Soluții finale = candidați care aparțin domeniului
  • Nu scrie automat ± în răspunsul final.

Exemplu rezolvat

Rezolvă log2(x−2)+log2(x+2)=5.

  1. Domeniu: x>2. Produsul argumentelor trebuie să fie 25=32.
  2. x2−4=32, deci x2=36 și candidații sunt −6 și 6.
  3. Păstrăm x=6. Verificare: log24+log28=2+3=5.

Substituția: notăm logaritmul cu o literă

Dacă apare și pătratul unui logaritm, notăm logaritmul cu t. Rezolvăm o ecuație în t, dar problema nu se termină acolo: pentru fiecare valoare a lui t revenim la x prin definiția logaritmului.

  • t=logax ⇒ x=at
  • t și x sunt necunoscute diferite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă (log2x)2−4log2x+3=0.

  1. Domeniu: x>0. Notăm t=log2x și obținem t2−4t+3=0.
  2. Factorizăm (t−1)(t−3)=0: t=1 sau t=3.
  3. Revenim: x=21=2 sau x=23=8, ambele pozitive.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Rezolvă log2x = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția x > 0 va fi respectată.
    2. log2x = 5 ⇔ x = 25.
    3. x = 32.

    Răspuns: x = 32

  2. Exercițiul 2

    Rezolvă log3(x + 1) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > −1.
    2. x + 1 = 9.
    3. Rezultă x = 8, valoare admisă.

    Răspuns: x = 8

  3. Exercițiul 3

    Rezolvă log5(x − 2) = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 2.
    2. x − 2 = 51 = 5.
    3. x = 7, admis.

    Răspuns: x = 7

  4. Exercițiul 4

    Rezolvă log2(x − 1) = log27.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 1.
    2. Egalăm argumentele: x − 1 = 7.
    3. x = 8.

    Răspuns: x = 8

  5. Exercițiul 5

    Care este primul pas pentru log2x + log2(x − 2) = 3?

    Vezi rezolvarea
    1. Primul argument cere x > 0.
    2. Al doilea cere x − 2 > 0, adică x > 2.
    3. Domeniul comun este x > 2.

    Răspuns: Impunem x > 2

  6. Exercițiul 6

    După unirea logaritmilor în log2x + log2(x − 2) = 3, ce obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim log2a + log2b = log2(ab).
    2. Rezultă log2[x(x − 2)] = 3.

    Răspuns: log2[x(x − 2)] = 3

  7. Exercițiul 7

    Ce ecuație algebrică rezultă din log2[x(x − 2)] = 3?

    Vezi rezolvarea
    1. Din definiție, x(x − 2) = 8.
    2. Dezvoltăm și mutăm: x2 − 2x − 8 = 0.
    3. Factorizarea este (x − 4)(x + 2) = 0.

    Răspuns: x2 − 2x − 8 = 0

  8. Exercițiul 8

    Ecuația x2 − 2x − 8 = 0 are candidații 4 și −2. Ce soluție rămâne pentru log2x + log2(x − 2) = 3?

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x > 2.
    2. Valoarea −2 se elimină.
    3. x = 4 verifică: log24 + log22 = 2 + 1 = 3.

    Răspuns: x = 4

  9. Exercițiul 9

    Rezolvă log4x = 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0.
    2. x = 41ᐟ2 = √4 = 2.

    Răspuns: x = 2

  10. Exercițiul 10

    Rezolvă log3(x − 1) + log3(x + 1) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x > 1.
    2. log3(x2 − 1) = 2, deci x2 − 1 = 9.
    3. x2 = 10, iar domeniul păstrează numai x = √10.

    Răspuns: x = √10

  11. Exercițiul 11

    Pentru (log2x)2 − 3log2x + 2 = 0, ce substituție folosim?

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > 0.
    2. Notăm t = log2x.
    3. Ecuația devine t2 − 3t + 2 = 0.

    Răspuns: t = log2x

  12. Exercițiul 12

    Dacă t2 − 3t + 2 = 0, ce valori poate avea t?

    Vezi rezolvarea
    1. t2 − 3t + 2 = (t − 1)(t − 2).
    2. Prin urmare t = 1 sau t = 2.

    Răspuns: t ∈ {1, 2}

  13. Exercițiul 13

    Rezolvă singur log5(x + 4) = 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x > −4.
    2. x + 4 = 25.
    3. Rezultă x = 21, valoare admisă.

    Răspuns: 21

  14. Exercițiul 14

    Rezolvă singur log2(x − 1) + log2(x + 1) = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x > 1.
    2. log2[(x − 1)(x + 1)] = 3, deci x2 − 1 = 8.
    3. x2 = 9, deci candidații sunt ±3.
    4. Domeniul păstrează numai x = 3.

    Răspuns: 3

  15. Exercițiul 15

    Rezolvă log2(x−5)=2.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x>5.
    2. x−5=22=4, deci x=9.
    3. 9>5 și log24=2.

    Răspuns: 9

  16. Exercițiul 16

    Rezolvă log4(x+3)=1.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este x>−3.
    2. x+3=41=4, deci x=1.
    3. 1>−3 și log44=1.

    Răspuns: 1

  17. Exercițiul 17

    Rezolvă log2(x+2)=log26.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm x+2>0.
    2. Bazele sunt egale, deci x+2=6.
    3. x=4 și argumentul 6 este pozitiv.

    Răspuns: 4

  18. Exercițiul 18

    Dacă t=log3x și t=2, cât este x?

    Vezi rezolvarea
    1. Revenim la relația t=log3x.
    2. log3x=2 înseamnă x=32.
    3. x=9 este pozitiv și este admis.

    Răspuns: 9

Fișă progresivă · Ecuații logaritmice pas cu pas (14)

  1. 1. Pornim ușor

    Rezolvă log2x = 5.

    Vezi răspunsul

    x = 25 = 32

  2. 2. Pornim ușor

    Rezolvă log3(x + 1) = 2.

    Vezi răspunsul

    x + 1 = 32 = 9, deci x = 8.

  3. 3. Pornim ușor

    Rezolvă log5(x − 2) = 1.

    Vezi răspunsul

    x − 2 = 5, deci x = 7.

  4. 4. Pornim ușor

    Rezolvă log2(x − 1) = log27.

    Vezi răspunsul

    x − 1 = 7, deci x = 8.

  5. 5. Consolidare

    Care este primul pas pentru log2x + log2(x − 2) = 3?

    Vezi răspunsul

    Condițiile de existență: x > 0 și x − 2 > 0, adică x > 2.

  6. 6. Consolidare

    După unirea logaritmilor în log2x + log2(x − 2) = 3, ce obținem?

    Vezi răspunsul

    log2[x(x − 2)] = 3

  7. 7. Consolidare

    Ce ecuație algebrică rezultă din log2[x(x − 2)] = 3?

    Vezi răspunsul

    x(x − 2) = 23 = 8, adică x2 − 2x − 8 = 0.

  8. 8. Consolidare

    Ecuația x2 − 2x − 8 = 0 are candidații 4 și −2. Ce soluție rămâne pentru log2x + log2(x − 2) = 3?

    Vezi răspunsul

    x = 4 (−2 nu respectă condiția x > 2).

  9. 9. Consolidare

    Rezolvă log4x = 12.

    Vezi răspunsul

    x = 412 = 2

  10. 10. Consolidare

    Rezolvă log3(x − 1) + log3(x + 1) = 2.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 1. log3(x2 − 1) = 2, deci x2 − 1 = 9, x2 = 10 și x = √10.

  11. 11. Consolidare

    Pentru (log2x)2 − 3log2x + 2 = 0, ce substituție folosim?

    Vezi răspunsul

    t = log2x

  12. 12. Consolidare

    Dacă t2 − 3t + 2 = 0, ce valori poate avea t?

    Vezi răspunsul

    t = 1 sau t = 2 (adică x = 2 sau x = 4).

  13. 13. Rezolvi singur

    Rezolvă singur log5(x + 4) = 2.

    Vezi răspunsul

    x + 4 = 25, deci x = 21.

  14. 14. Rezolvi singur

    Rezolvă singur log2(x − 1) + log2(x + 1) = 3.

    Vezi răspunsul

    CE: x > 1. x2 − 1 = 8, deci x = 3.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.