Încărcăm partea curentă…

Proprietățile logaritmilor · produs, cât și putere

Produsul: înmulțirea din argument devine adunare

Pentru aceeași bază, logaritmul unui produs este suma logaritmilor factorilor. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1; fiecare factor trebuie să fie strict pozitiv.

Nu înmulțim valorile logaritmilor: adunăm exponenții, așa cum se întâmplă când înmulțim puteri cu aceeași bază.

În viața reală

Înainte de calculatoare, inginerii înmulțeau cu rigla de calcul: ea adună lungimi proporționale cu logaritmii, iar suma logaritmilor este logaritmul produsului.

De ținut minte

loga(xy)=logax+logay

Un exemplu cu alte date

Calculează log28 + log28.

  1. 18·8=64.
  2. 2log28+log28=log264.
  3. 364=26, deci rezultatul este 6.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Proprietățile logaritmilor · produs, cât și putere: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Produsul: înmulțirea din argument devine adunare

Pentru aceeași bază, logaritmul unui produs este suma logaritmilor factorilor. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1; fiecare factor trebuie să fie strict pozitiv.

Nu înmulțim valorile logaritmilor: adunăm exponenții, așa cum se întâmplă când înmulțim puteri cu aceeași bază.

  • loga(xy)=logax+logay

Un exemplu cu alte date

Calculează log28 + log28.

  1. 8·8=64.
  2. log28+log28=log264.
  3. 64=26, deci rezultatul este 6.

Câtul: împărțirea din argument devine scădere

Pentru x>0 și y>0, logaritmul lui xy este logaritmul numărătorului minus logaritmul numitorului. Baza rămâne aceeași.

Ordinea contează: dacă inversezi fracția, schimbi semnul rezultatului.

  • loga(xy)=logax−logay

Un exemplu cu alte date

Calculează log264−log24.

  1. Unim diferența: log2(644).
  2. 644=16=24.
  3. Prin urmare, rezultatul este 4.

Puterea: exponentul devine factor

Dacă argumentul este pozitiv, exponentul lui poate fi scos în fața logaritmului ca factor. Nu ridicăm valoarea logaritmului la acea putere.

  • loga(xn)=n·logax, x>0

Un exemplu cu alte date

Calculează log3(93).

  1. Scoatem exponentul: 3·log39.
  2. 9=32, deci log39=2.
  3. 3·2=6.

Schimbarea bazei: un raport de logaritmi

Alegem o bază nouă c, pozitivă și diferită de 1. Scriem logaritmul argumentului la numărător și logaritmul bazei vechi la numitor.

Argumentul trebuie să fie pozitiv. Baza veche a trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, astfel încât numitorul să fie nenul.

  • logab=logcblogca

Un exemplu cu alte date

Calculează log927 folosind baza 3.

  1. log927=log327log39.
  2. log327=3 și log39=2.
  3. Rezultatul este 32. Verificare: 932=27.

Exerciții rezolvate din lecție (19)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Completează: loga(xy) = ...

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x > 0 și y > 0, logaritmul produsului este suma logaritmilor.
    2. loga(xy) = logax + logay.

    Răspuns: logax + logay

  2. Exercițiul 2

    Completează: loga(xy) = ...

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul rămâne primul termen, iar numitorul devine termenul scăzut.
    2. Pentru x > 0 și y > 0, loga(xy) = logax − logay.

    Răspuns: logax − logay

  3. Exercițiul 3

    Completează: loga(xn) = ...

    Vezi rezolvarea
    1. Puterea argumentului se transformă într-un factor.
    2. loga(xn) = n·logax.

    Răspuns: n·logax

  4. Exercițiul 4

    Calculează log24 + log28.

    Vezi rezolvarea
    1. log24 = 2 și log28 = 3.
    2. Suma este 2 + 3 = 5.
    3. Echivalent: log2(4·8) = log232 = 5.

    Răspuns: 5

  5. Exercițiul 5

    Calculează log327 − log33.

    Vezi rezolvarea
    1. log327 = 3 și log33 = 1.
    2. Diferența este 3 − 1 = 2.
    3. Echivalent: log39 = 2.

    Răspuns: 2

  6. Exercițiul 6

    Calculează 2log24.

    Vezi rezolvarea
    1. log24 = 2.
    2. 2·2 = 4.
    3. Echivalent: 2log24 = log2(42) = log216 = 4.

    Răspuns: 4

  7. Exercițiul 7

    Scrie ca un singur logaritm: log2x + log2y.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim regula produsului.
    2. log2x + log2y = log2(xy), pentru x, y > 0.

    Răspuns: log2(xy)

  8. Exercițiul 8

    Scrie ca un singur logaritm: log5x − log5y.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim regula câtului.
    2. log5x − log5y = log5(xy).

    Răspuns: log5(xy)

  9. Exercițiul 9

    Dezvoltă log2(8x), pentru x > 0.

    Vezi rezolvarea
    1. log2(8x) = log28 + log2x.
    2. log28 = 3.
    3. Rezultatul este 3 + log2x.

    Răspuns: 3 + log2x

  10. Exercițiul 10

    Dezvoltă log3(x2), pentru x > 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim regula puterii.
    2. log3(x2) = 2log3x.

    Răspuns: 2log3x

  11. Exercițiul 11

    Care este formula schimbării bazei?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru o bază admisă c, logab = logcblogca.
    2. O alegere uzuală este c = 10 sau c = e.

    Răspuns: logab = logcblogca

  12. Exercițiul 12

    Calculează log28 folosind log28 = log108log102. Ce rezultat trebuie să obții?

    Vezi rezolvarea
    1. Știm că 8 = 23.
    2. Raportul log108log102 este 3.

    Răspuns: 3

  13. Exercițiul 13

    Calculează singur log216 + log22.

    Vezi rezolvarea
    1. log216 = 4 și log22 = 1.
    2. Suma este 5.
    3. Echivalent: log232 = 5.

    Răspuns: 5

  14. Exercițiul 14

    Calculează singur log381 − log39.

    Vezi rezolvarea
    1. 819 = 9.
    2. log381 − log39 = log39.
    3. log39 = 2.

    Răspuns: 2

  15. Exercițiul 15

    Calculează log464.

    Vezi rezolvarea
    1. 64 = 43.
    2. Logaritmul este exponentul acestei puteri.
    3. log464 = 3.

    Răspuns: 3

  16. Exercițiul 16

    Calculează log84 folosind baza 2.

    Vezi rezolvarea
    1. log84=log24log28.
    2. Numărătorul este 2; numitorul este 3.
    3. Obținem 23.

    Răspuns: 23

  17. Exercițiul 17

    Dezvoltă log5(25x), pentru x>0.

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul devine sumă: log525+log5x.
    2. 25=52, deci log525=2.
    3. Rezultă 2+log5x.

    Răspuns: 2+log5x

  18. Exercițiul 18

    Calculează log232−log24.

    Vezi rezolvarea
    1. Diferența devine log2(324).
    2. 324=8.
    3. log28=3.

    Răspuns: 3

  19. Exercițiul 19

    Dezvoltă log3(x9), pentru x>0.

    Vezi rezolvarea
    1. Câtul devine diferența log3x−log39.
    2. log39=2.
    3. Obținem log3x−2.

    Răspuns: log3x−2

Fișă progresivă · Proprietățile logaritmilor · produs, cât și putere (14)

  1. 1. Pornim ușor

    Completează: loga(xy) = ...

    Vezi răspunsul

    logax + logay (pentru x, y > 0)

  2. 2. Pornim ușor

    Completează: loga(xy) = ...

    Vezi răspunsul

    logax − logay (pentru x, y > 0)

  3. 3. Pornim ușor

    Completează: loga(xn) = ...

    Vezi răspunsul

    n · logax (pentru x > 0)

  4. 4. Pornim ușor

    Calculează log24 + log28.

    Vezi răspunsul

    2 + 3 = 5

  5. 5. Consolidare

    Calculează log327 − log33.

    Vezi răspunsul

    3 − 1 = 2

  6. 6. Consolidare

    Calculează 2log24.

    Vezi răspunsul

    2 · 2 = 4

  7. 7. Consolidare

    Scrie ca un singur logaritm: log2x + log2y.

    Vezi răspunsul

    log2(xy)

  8. 8. Consolidare

    Scrie ca un singur logaritm: log5x − log5y.

    Vezi răspunsul

    log5(xy)

  9. 9. Consolidare

    Dezvoltă log2(8x), pentru x > 0.

    Vezi răspunsul

    log28 + log2x = 3 + log2x

  10. 10. Consolidare

    Dezvoltă log3(x2), pentru x > 0.

    Vezi răspunsul

    2log3x

  11. 11. Consolidare

    Care este formula schimbării bazei?

    Vezi răspunsul

    logax = logb xlogb a (cu b > 0, b ≠ 1).

  12. 12. Consolidare

    Calculează log28 folosind log28 = log108log102. Ce rezultat trebuie să obții?

    Vezi răspunsul

    3: log108 = 3log102, deci raportul este 3.

  13. 13. Rezolvi singur

    Calculează singur log216 + log22.

    Vezi răspunsul

    4 + 1 = 5

  14. 14. Rezolvi singur

    Calculează singur log381 − log39.

    Vezi răspunsul

    4 − 2 = 2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.