Proprietățile logaritmilor · produs, cât și putere

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Suma logaritmilor devine logaritmul produsului, nu logaritmul sumei.

Produsul devine sumă de logaritmi

Logaritmul măsoară un exponent. Când înmulțim două puteri ale aceleiași baze, exponenții se adună; de aici vine regula produsului. O aplicăm numai când fiecare argument este pozitiv.

log_a(xy) = log_ax + log_ay, x > 0, y > 0

log_a(x + y) nu este log_ax + log_ay.

Exemplu rezolvat

Calculează log₂4 + log₂16.

1.Argumentele 4 și 16 sunt pozitive și baza 2 este admisă.
2.Unim: log₂(4 · 16) = log₂64.
3.64 = 2⁶, deci rezultatul este 6.

Câtul devine diferență

Împărțirea puterilor cu aceeași bază scade exponenții. De aceea scăderea a doi logaritmi se poate scrie ca logaritmul unui cât. Ordinea argumentelor se păstrează: primul stă la numărător.

log_a(xy) = log_ax − log_ay, x > 0, y > 0

Nu inversa fracția: schimbarea ordinii schimbă semnul.

Exemplu rezolvat

Calculează log₃81 − log₃3.

1.Ambele argumente sunt pozitive.
2.Unim: log₃(813) = log₃27.
3.27 = 3³, deci rezultatul este 3.

Exponentul coboară în față

Dacă un argument pozitiv este ridicat la o putere, exponentul poate fi scris ca factor în fața logaritmului. Pătratul argumentului și pătratul valorii logaritmului sunt lucruri diferite.

log_a(xⁿ) = n log_ax, pentru x > 0

Pentru x negativ nu scrie log_ax; formula generală log_a(x²) = 2log_a|x| cere x ≠ 0.

Exemplu rezolvat

Calculează log₂(8²).

1.8 este pozitiv, deci putem aplica regula puterii.
2.log₂(8²) = 2log₂8 = 2 · 3.
3.Rezultatul este 6; direct, 8² = 64 și log₂64 = 6.

Schimbăm baza logaritmului

Schimbarea bazei permite să calculăm un logaritm folosind o bază convenabilă, de exemplu 10 sau e. La numărător punem logaritmul argumentului, iar la numitor logaritmul bazei vechi. Noua bază trebuie să fie pozitivă și diferită de 1.

log_ab = log_cb / log_ca, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1

Nu inversa numărătorul și numitorul.

Exemplu rezolvat

Calculează log₄8 trecând la baza 2.

1.Baza 2 este admisă, iar log₂4 = 2 este nenul.
2.log₄8 = log₂8log₂4 = 32.
3.Rezultatul este 1,5; verificăm 4^(32) = (√4)³ = 8.

Combinăm regulile fără să pierdem domeniul

Logaritmul măsoară un exponent. Când înmulțim două puteri ale aceleiași baze, exponenții se adună; de aici vine regula produsului. O aplicăm numai când fiecare argument este pozitiv.

log_a(xy) = log_ax + log_ay, x > 0, y > 0

log_a(x + y) nu este log_ax + log_ay.

Exemplu rezolvat

Calculează log₂4 + log₂16.

1.Argumentele 4 și 16 sunt pozitive și baza 2 este admisă.
2.Unim: log₂(4 · 16) = log₂64.
3.64 = 2⁶, deci rezultatul este 6.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · Proprietățile logaritmilor · produs, cât și putere · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim ușorNucleu comun Bac
Completează: log_a(xy) = ...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
log_ax + log_ay (pentru x, y > 0)
Ex. 2Pornim ușorNucleu comun Bac
Completează: log_a(xy) = ...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
log_ax − log_ay (pentru x, y > 0)
Ex. 3Pornim ușorNucleu comun Bac
Completează: log_a(xⁿ) = ...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n · log_ax (pentru x > 0)
Ex. 4Pornim ușorNucleu comun Bac
Calculează log₂4 + log₂8.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 + 3 = 5
Ex. 5ConsolidareNucleu comun Bac
Calculează log₃27 − log₃3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 − 1 = 2
Ex. 6ConsolidareNucleu comun Bac
Calculează 2log₂4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 · 2 = 4
Ex. 7ConsolidareNucleu comun Bac
Scrie ca un singur logaritm: log₂x + log₂y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
log₂(xy)
Ex. 8ConsolidareNucleu comun Bac
Scrie ca un singur logaritm: log₅x − log₅y.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
log₅(xy)
Ex. 9ConsolidareNucleu comun Bac
Dezvoltă log₂(8x), pentru x > 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
log₂8 + log₂x = 3 + log₂x
Ex. 10ConsolidareNucleu comun Bac
Dezvoltă log₃(x²), pentru x > 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2log₃x
Ex. 11ConsolidareNucleu comun Bac
Care este formula schimbării bazei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
log_ax = log_b x / log_b a (cu b > 0, b ≠ 1).
Ex. 12ConsolidareNucleu comun Bac
Calculează log₂8 folosind log₂8 = log₁₀8log₁₀2. Ce rezultat trebuie să obții?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3: log₁₀8 = 3log₁₀2, deci raportul este 3.
Ex. 13Rezolvi singurNucleu comun Bac
Calculează singur log₂16 + log₂2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 + 1 = 5
Ex. 14Rezolvi singurNucleu comun Bac
Calculează singur log₃81 − log₃9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 − 2 = 2