Încărcăm partea curentă…

Condițiile logaritmului și domeniul

Mai întâi: când există un logaritm?

Baza și argumentul au roluri diferite. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Verificăm toate aceste condiții înainte de calcule, nu doar la sfârșit.

În viața reală

Pe calculator, tasta log afișează eroare pentru 0 sau pentru un număr negativ: nicio putere a lui 10 nu dă 0 sau un număr negativ.

De ținut minte

a>0, a≠1, A>0
  • Zero nu este un argument admis.

Exemplu rezolvat

Există log47? Dar log17?

  1. 1Pentru log47: 4>0 și 4≠1.
  2. 2Argumentul 7 este pozitiv, deci primul logaritm există.
  3. 3log17 nu este definit: baza 1 nu este admisă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Condițiile logaritmului și domeniul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Mai întâi: când există un logaritm?

Baza și argumentul au roluri diferite. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Verificăm toate aceste condiții înainte de calcule, nu doar la sfârșit.

  • a>0, a≠1, A>0
  • Zero nu este un argument admis.

Exemplu rezolvat

Există log47? Dar log17?

  1. Pentru log47: 4>0 și 4≠1.
  2. Argumentul 7 este pozitiv, deci primul logaritm există.
  3. log17 nu este definit: baza 1 nu este admisă.

Argument liniar: rezolvăm o inegalitate

Dacă în argument apare x, nu cerem automat x>0. Cerem ca expresia întreagă să fie pozitivă. Mutăm termenul constant, apoi împărțim; dacă împărțim la un număr negativ, inversăm semnul inegalității.

  • mx+n>0
  • Domeniul este o mulțime de valori, nu soluția unei ecuații.

Exemplu rezolvat

Găsește domeniul lui log2(8−2x).

  1. Argumentul trebuie să fie pozitiv: 8−2x>0.
  2. Scădem 8: −2x>−8. Împărțim la −2 și inversăm semnul.
  3. Obținem x<4. Valoarea x=4 este exclusă, deoarece dă argumentul 0.

Mai multe condiții: le respectăm simultan

Dacă sunt mai mulți logaritmi, fiecare trebuie să existe. Dacă baza conține x, verificăm și baza. Pentru un argument pătratic descompunem în factori și stabilim unde produsul este pozitiv.

  • D = intersecția condițiilor
  • Un produs pozitiv poate avea ambii factori negativi; verifică semnele.

Exemplu rezolvat

Găsește domeniul lui logx(x−2).

  1. Baza impune x>0 și x≠1.
  2. Argumentul impune x−2>0, deci x>2.
  3. Intersecția este x>2; aceasta respectă și toate condițiile bazei.

Consolidare: verificăm și capătul intervalului

După rezolvarea inegalității, verificăm o valoare din interval și capătul exclus. Nu înlocuim condiția strictă cu una largă: logaritmul lui zero nu există, indiferent de baza admisă.

  • A(x)>0, nu A(x)≥0
  • Verificarea nu înlocuiește rezolvarea inegalității.

Exemplu rezolvat

Găsește domeniul lui log7(2x−10).

  1. 2x−10>0 înseamnă 2x>10.
  2. Împărțim la 2: x>5.
  3. La x=6 argumentul este 2>0; la x=5 ar fi 0, deci 5 este exclus.

Exerciții rezolvate din lecție (14)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce condiții trebuie să respecte baza a în logax?

    Vezi rezolvarea
    1. Baza trebuie să fie pozitivă.
    2. Baza 1 este exclusă deoarece 1 la orice putere rămâne 1.
    3. Condițiile sunt a > 0 și a ≠ 1.

    Răspuns: a > 0 și a ≠ 1

  2. Exercițiul 2

    Ce condiție trebuie să respecte argumentul în log2(x − 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. În orice logaritm real, argumentul trebuie să fie strict pozitiv.
    2. Impunem x − 3 > 0.

    Răspuns: x − 3 > 0

  3. Exercițiul 3

    Care este domeniul funcției f(x) = log2(x − 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. Condiția este x − 3 > 0.
    2. Rezultă x > 3.

    Răspuns: x > 3

  4. Exercițiul 4

    Care este domeniul pentru log5(2x + 6)?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 6 > 0.
    2. 2x > −6, deci x > −3.

    Răspuns: x > −3

  5. Exercițiul 5

    Care este domeniul pentru log3(5 − x)?

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem 5 − x > 0.
    2. Rezultă −x > −5, deci x < 5.

    Răspuns: x < 5

  6. Exercițiul 6

    Care este domeniul pentru log2(x2 − 4)?

    Vezi rezolvarea
    1. Argumentul trebuie să fie pozitiv: x2 − 4 > 0.
    2. Factorizăm (x − 2)(x + 2) > 0.
    3. Produsul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor: x < −2 sau x > 2.

    Răspuns: x < −2 sau x > 2

  7. Exercițiul 7

    Este definit log20?

    Vezi rezolvarea
    1. Argumentul 0 nu este permis.
    2. Nu există exponent real pentru care 2x = 0.
    3. Prin urmare log20 nu este definit în ℝ.

    Răspuns: Nu

  8. Exercițiul 8

    Este definit log−28 în numere reale?

    Vezi rezolvarea
    1. Baza unui logaritm real trebuie să fie pozitivă.
    2. Baza −2 nu este admisă.

    Răspuns: Nu, baza este negativă

  9. Exercițiul 9

    Este definit log17?

    Vezi rezolvarea
    1. 1 la orice putere este tot 1.
    2. Nu putem obține 7 dintr-o putere a lui 1.
    3. De aceea baza 1 nu este admisă.

    Răspuns: Nu

  10. Exercițiul 10

    Pentru ce x este definit logx9?

    Vezi rezolvarea
    1. Baza este x și trebuie să satisfacă x > 0 și x ≠ 1.
    2. Argumentul 9 este deja pozitiv.

    Răspuns: x > 0 și x ≠ 1

  11. Exercițiul 11

    Care este domeniul comun pentru log2(x − 1) + log2(x + 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. Primul logaritm cere x − 1 > 0, adică x > 1.
    2. Al doilea cere x + 3 > 0, adică x > −3.
    3. Intersecția este x > 1.

    Răspuns: x > 1

  12. Exercițiul 12

    Scrie domeniul pentru log4(3x − 12).

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem 3x − 12 > 0.
    2. 3x > 12.
    3. Rezultă x > 4.

    Răspuns: x > 4

  13. Exercițiul 13

    Scrie domeniul pentru log3(7 − 2x).

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem 7 − 2x > 0.
    2. −2x > −7.
    3. Împărțim cu −2 și schimbăm sensul: x < 72.

    Răspuns: x < 72

  14. Exercițiul 14

    Care este domeniul lui log5(x+7)?

    Vezi rezolvarea
    1. Cerem x+7>0.
    2. Scădem 7: x>−7.
    3. Capătul −7 este exclus deoarece argumentul ar fi zero.

    Răspuns: x>−7

Fișă progresivă · Condițiile logaritmului și domeniul (13)

  1. 1. Pornim ușor

    Ce condiții trebuie să respecte baza a în logax?

    Vezi răspunsul

    a > 0 și a ≠ 1.

  2. 2. Pornim ușor

    Ce condiție trebuie să respecte argumentul în log2(x − 3)?

    Vezi răspunsul

    x − 3 > 0, adică x > 3.

  3. 3. Pornim ușor

    Care este domeniul funcției f(x) = log2(x − 3)?

    Vezi răspunsul

    D = (3, +∞)

  4. 4. Pornim ușor

    Care este domeniul pentru log5(2x + 6)?

    Vezi răspunsul

    2x + 6 > 0, deci D = (−3, +∞).

  5. 5. Consolidare

    Care este domeniul pentru log3(5 − x)?

    Vezi răspunsul

    5 − x > 0, deci D = (−∞, 5).

  6. 6. Consolidare

    Care este domeniul pentru log2(x2 − 4)?

    Vezi răspunsul

    x2 − 4 > 0, deci D = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).

  7. 7. Consolidare

    Este definit log20?

    Vezi răspunsul

    Nu: argumentul trebuie să fie strict pozitiv.

  8. 8. Consolidare

    Este definit log−28 în numere reale?

    Vezi răspunsul

    Nu: baza trebuie să fie pozitivă.

  9. 9. Consolidare

    Este definit log17?

    Vezi răspunsul

    Nu: baza nu poate fi 1 (orice putere a lui 1 este 1, niciodată 7).

  10. 10. Consolidare

    Pentru ce x este definit logx9?

    Vezi răspunsul

    x > 0 și x ≠ 1.

  11. 11. Consolidare

    Care este domeniul comun pentru log2(x − 1) + log2(x + 3)?

    Vezi răspunsul

    x − 1 > 0 și x + 3 > 0, deci D = (1, +∞).

  12. 12. Rezolvi singur

    Scrie domeniul pentru log4(3x − 12).

    Vezi răspunsul

    3x − 12 > 0, deci D = (4, +∞).

  13. 13. Rezolvi singur

    Scrie domeniul pentru log3(7 − 2x).

    Vezi răspunsul

    7 − 2x > 0, deci D = (−∞, 72).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.