Încărcăm partea curentă…

Logaritmi de la zero · definiție și valori simple

Definiția: găsim exponentul

În 23=8 știm baza 2 și exponentul 3 și calculăm rezultatul 8. La log28 facem întrebarea inversă: «La ce putere ridicăm 2 ca să obținem 8?». Răspunsul este 3, pentru că 2·2·2=8.

Citire: «logaritm în baza 2 din 8». Numărul mic de jos, 2, este baza. Numărul de după log, 8, este argumentul, adică numărul pe care vrem să-l obținem. Răspunsul este exponentul căutat, 3. Nu împărțim 8 la 2.

În formula generală, a ține locul bazei, b al argumentului, iar c al exponentului. Lucrăm cu a>0, a≠1 și b>0: baza este pozitivă, diferită de 1, iar argumentul este pozitiv. Logaritmul poate avea totuși un rezultat negativ; vom vedea imediat exemple.

În viața reală

Scara Richter pentru cutremure este logaritmică, în baza 10: un cutremur de magnitudine 6 are undele seismice de 10 ori mai mari decât unul de magnitudine 5.

De ținut minte

logab=c ⇔ ac=b

Exemplu

Calculează log264.

  1. 1Căutăm c astfel încât 2c=64.
  2. 226=64.
  3. 3Prin urmare, log264=6.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Logaritmi de la zero · definiție și valori simple: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un logaritm este doar un exponent ascuns. Învățăm mai întâi să traducem între logab = c și ac = b.

Definiția: găsim exponentul

În 23=8 știm baza 2 și exponentul 3 și calculăm rezultatul 8. La log28 facem întrebarea inversă: «La ce putere ridicăm 2 ca să obținem 8?». Răspunsul este 3, pentru că 2·2·2=8.

Citire: «logaritm în baza 2 din 8». Numărul mic de jos, 2, este baza. Numărul de după log, 8, este argumentul, adică numărul pe care vrem să-l obținem. Răspunsul este exponentul căutat, 3. Nu împărțim 8 la 2.

În formula generală, a ține locul bazei, b al argumentului, iar c al exponentului. Lucrăm cu a>0, a≠1 și b>0: baza este pozitivă, diferită de 1, iar argumentul este pozitiv. Logaritmul poate avea totuși un rezultat negativ; vom vedea imediat exemple.

  • logab=c ⇔ ac=b

Exemplu

Calculează log264.

  1. Căutăm c astfel încât 2c=64.
  2. 26=64.
  3. Prin urmare, log264=6.

Calculăm cu puteri cunoscute

Scriem argumentul ca putere a bazei. Exponentul acelei puteri este răspunsul.

Verificăm ridicând baza la exponentul găsit: trebuie să obținem exact argumentul inițial.

  • loga(ak)=k

Exemplu

Calculează log749.

  1. 49=72.
  2. Exponentul este 2.
  3. log749=2.

Argumentul 1, baza însăși și inversele

Orice bază admisă la puterea 0 dă 1. La puterea 1 dă baza însăși. Pentru inversul bazei avem nevoie de exponentul −1.

De exemplu: log71=0 deoarece 70=1, dar log77=1 deoarece 71=7. Nu confunda argumentul 1 cu răspunsul 1.

  • loga1=0
  • logaa=1
  • loga(1a)=−1

Exemplu

Calculează log5(15).

  1. 15=5−1.
  2. Exponentul care produce argumentul este −1.
  3. Verificare: 5−1=15, exact argumentul din enunț.

Exponenți negativi și fracționari

1ak=a−k, iar √a=a12. Un logaritm poate fi negativ sau fracționar.

Semnul rezultatului arată exponentul necesar; condiția de pozitivitate se referă la argument, nu la valoarea logaritmului.

Un exponent negativ nu face puterea negativă: 3−2=132=19. Pentru un exponent 12, folosim rădăcina pătrată: 912=√9=3. De aceea log93=12.

  • loga(a−k)=−k

Exemplu

Calculează log4(116).

  1. 116=4−2.
  2. Exponentul este −2.
  3. Verificare: 4−2=142=116.

Exerciții rezolvate din lecție (14)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce înseamnă log28 = 3?

    Vezi rezolvarea
    1. Logaritmul răspunde la întrebarea: «la ce putere ridicăm baza?».
    2. log28 = 3 înseamnă că baza 2 ridicată la puterea 3 dă 8.
    3. Așadar 23 = 8.

    Răspuns: 23 = 8

  2. Exercițiul 2

    Calculează log24.

    Vezi rezolvarea
    1. 22 = 4.
    2. Prin definiție, log24 = 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Calculează log28.

    Vezi rezolvarea
    1. 8 = 23.
    2. Prin urmare log28 = 3.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Calculează log39.

    Vezi rezolvarea
    1. 32 = 9.
    2. De aceea log39 = 2.

    Răspuns: 2

  5. Exercițiul 5

    Calculează log525.

    Vezi rezolvarea
    1. 52 = 25.
    2. Rezultă log525 = 2.

    Răspuns: 2

  6. Exercițiul 6

    Calculează log101000.

    Vezi rezolvarea
    1. 1000 = 103.
    2. Prin definiție, log101000 = 3.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Pentru orice bază admisă a, cât este loga1?

    Vezi rezolvarea
    1. a0 = 1 pentru orice a > 0.
    2. De aceea loga1 = 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Pentru orice bază admisă a, cât este logaa?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = a.
    2. Prin urmare logaa = 1.

    Răspuns: 1

  9. Exercițiul 9

    Calculează log2(12).

    Vezi rezolvarea
    1. 12 = 2−1.
    2. Așadar log2(12) = −1.

    Răspuns: −1

  10. Exercițiul 10

    Calculează log3(19).

    Vezi rezolvarea
    1. 19 = 3−2.
    2. Rezultă log3(19) = −2.

    Răspuns: −2

  11. Exercițiul 11

    Calculează log42.

    Vezi rezolvarea
    1. 4 = 22, deci √4 = 2.
    2. 41ᐟ2 = 2.
    3. Prin urmare log42 = 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    Dacă log5x = 3, cât este x?

    Vezi rezolvarea
    1. log5x = 3 ⇔ x = 53.
    2. 53 = 125.

    Răspuns: 125

  13. Exercițiul 13

    Calculează singur log232.

    Vezi rezolvarea
    1. 32 = 25.
    2. Prin urmare log232 = 5.

    Răspuns: 5

  14. Exercițiul 14

    Calculează singur log100,01.

    Vezi rezolvarea
    1. 0,01 = 1100 = 10−2.
    2. Prin urmare log100,01 = −2.

    Răspuns: −2

Fișă progresivă · Logaritmi de la zero · definiție și valori simple (14)

  1. 1. Pornim ușor

    Ce înseamnă log28 = 3?

    Vezi răspunsul

    23 = 8: exponentul la care ridici 2 ca să obții 8 este 3.

  2. 2. Pornim ușor

    Calculează log24.

    Vezi răspunsul

    2 (22 = 4)

  3. 3. Pornim ușor

    Calculează log28.

    Vezi răspunsul

    3 (23 = 8)

  4. 4. Pornim ușor

    Calculează log39.

    Vezi răspunsul

    2 (32 = 9)

  5. 5. Consolidare

    Calculează log525.

    Vezi răspunsul

    2 (52 = 25)

  6. 6. Consolidare

    Calculează log101000.

    Vezi răspunsul

    3 (103 = 1.000)

  7. 7. Consolidare

    Pentru orice bază admisă a, cât este loga1?

    Vezi răspunsul

    0

  8. 8. Consolidare

    Pentru orice bază admisă a, cât este logaa?

    Vezi răspunsul

    1

  9. 9. Consolidare

    Calculează log2(12).

    Vezi răspunsul

    −1 (2−1 = 12)

  10. 10. Consolidare

    Calculează log3(19).

    Vezi răspunsul

    −2 (3−2 = 19)

  11. 11. Consolidare

    Calculează log42.

    Vezi răspunsul

    12 (412 = 2)

  12. 12. Consolidare

    Dacă log5x = 3, cât este x?

    Vezi răspunsul

    x = 53 = 125

  13. 13. Rezolvi singur

    Calculează singur log232.

    Vezi răspunsul

    5 (25 = 32)

  14. 14. Rezolvi singur

    Calculează singur log100,01.

    Vezi răspunsul

    −2 (10−2 = 0,01)

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.