Limite algebrice și la infinit · nivel M3

Lecția M3 exersează substituția, formele nedeterminate algebrice, limitele la infinit și limitele laterale.

Compară întotdeauna gradele înainte de a calcula: ele îți spun imediat dacă limita este finită, 0 sau infinită.

Ce este o limită și cum începem

O limită descrie spre ce valoare se apropie funcția, nu neapărat cât valorează în punct. De aceea o funcție poate avea limită în a chiar dacă nu este definită pentru x = a. Primul gest corect este întotdeauna substituția: ea îți spune dacă ai un rezultat direct sau o formă nedeterminată.

limx→a f(x) = f(a), dacă f este continuă în a

x → a⁻: apropiere prin valori mai mici; x → a⁺: prin valori mai mari

Polinoamele sunt continue pe ℝ

O fracție de polinoame este continuă unde numitorul nu se anulează

00 și ∞/∞ sunt forme nedeterminate: ele indică metoda, nu rezultatul.
Nu înlocui x = a înainte de a simplifica factorul care produce 00.
Verifică restricțiile: numitor nenul, argument de logaritm pozitiv, radical definit.

Forma 0/0: factorizare și raționalizare

x² − a² = (x − a)(x + a)

x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)

xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + … + x + 1)

Raționalizare: amplifici cu conjugata, folosind (A − B)(A + B) = A² − B²

Caută factorul care se anulează: el este cauza formei 00.
Simplificarea este permisă pentru x ≠ a, iar limita privește exact valorile apropiate de a.
La radicali, conjugata elimină radicalul din partea unde apare nedeterminarea.

Limite la infinit

La ±∞ contează numai termenii dominanți. Compară gradele numărătorului și numitorului, iar la diferențe cu radicali folosește tot conjugata.

Grade egale: limita este raportul coeficienților dominanți

Grad mai mic la numărător: limita este 0

Grad mai mare la numărător: limita este ±∞, după semn

1x → 0 și 1x² → 0 când x → ±∞

∞ − ∞ cu radicali: amplifică cu conjugata

Împarte fiecare termen la puterea dominantă a lui x.
La x → −∞, atenție la paritatea puterii: x³ → −∞, dar x² → +∞.
Când scoți x de sub radical pentru x > 0, ai x² + 1x = 1 + 1x².

Limite laterale și asimptote

Limita bilaterală există ⇔ limitele laterale există și sunt egale

x = a este asimptotă verticală dacă o limită laterală în a este infinită

y = L este asimptotă orizontală dacă limx→±∞ f(x) = L

Număr nenul / 0 cere studiu de semn, nu este formă nedeterminată

Stabilește separat semnul numărătorului și al numitorului, la stânga și la dreapta.
Dacă numitorul este un pătrat, semnul este același din ambele părți.
Dacă limitele laterale diferă, spune explicit că limita bilaterală nu există.

Limitele fundamentale

Aceste formule rezolvă majoritatea nedeterminărilor 00 cu exponențiale, logaritmi sau funcții trigonometrice. Tehnica este mereu aceeași: creezi la numitor exact expresia care apare în argument.

limu→0 e^u − 1u = 1

limu→0 ln(1 + u)u = 1

limu→0 sin uu = 1, cu unghiul în radiani

limu→0 1 − cos uu² = 12, folosind 1 − cos u = 2sin²(u2)

Teorema cleștelui: dacă g ≤ f ≤ h și g, h au aceeași limită, atunci și f o are

Pentru e^(ax) − 1x scrii [e^(ax) − 1ax]·a, deci limita este a.
Pentru sin(ax)x limita este a, prin același procedeu.
Când raportul are două funcții diferite, împarte numărătorul și numitorul la x.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · raționalizare

Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

1.Pasul 1 — diagnostic: la x = 4 numărătorul este √9 − 3 = 0, iar numitorul este 0, deci avem forma 00.
2.Pasul 2 — alegem conjugata numărătorului: x + 5 + 3.
3.Pasul 3 — amplificăm fracția, adică înmulțim numărătorul și numitorul cu această conjugată.
4.Pasul 4 — folosim diferența de pătrate la numărător: (x + 5) − 9 = x − 4.
5.Pasul 5 — simplificăm factorul x − 4, operație permisă pentru x ≠ 4; rămâne 1x + 5 + 3.
6.Pasul 6 — substituim: numitorul devine 3 + 3 = 6, deci limita este 16.

Algoritmul universal

Citește apropierea: x → a, x → a⁻, x → a⁺, x → +∞ sau x → −∞.
Încearcă substituția, ca să identifici forma.
Clasifică rezultatul: număr finit este de obicei răspunsul; 00 și ∞/∞ cer transformare.
Alege o singură metodă: factorizare, raționalizare, termen dominant, limită fundamentală sau clește.
Scrie transformarea exactă și simplifică numai unde operația este permisă.
Verifică restricțiile și, la limite laterale, studiază semnele separat.
Aplică din nou limita și formulează concluzia, inclusiv existența limitei bilaterale.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 25 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1SubstituțieM3 · Tehnologic
Calculați limx→2 (3x − 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 2SubstituțieM3 · Tehnologic
Calculați limx→−1 x² + 2x + 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + 2−1 + 3 = 32
Ex. 3Forma 0/0M3 · Tehnologic
Calculați limx→3 x² − 9x − 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 3) = 6
Ex. 4Forma 0/0M3 · Tehnologic
Calculați limx→1 x³ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² + x + 1) = 3
Ex. 5RaționalizareM3 · Tehnologic
Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x + 5 + 3) = 16
Ex. 6Limită la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→+∞ 4x² − 32x² + x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 7Limită la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→+∞ 5x − 1x² + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 8Polinom la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→−∞ (2x³ − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 9Limite lateraleM3 · Tehnologic
Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞,+∞
Ex. 10Limită fundamentalăM3 · Tehnologic
Calculați limx→0 e^x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 11Limită fundamentalăM3 · Tehnologic
Calculați limx→0 ln(1 + x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 12Limită fundamentalăM3 · Tehnologic
Calculați limx→0 sin xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 21Limită la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→+∞ x² − 1x² + 4x + 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 22Limită la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→+∞ 3x² + 2x − 1x² − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 23Limită la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→+∞ 2x + 7x² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 24Limită la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→+∞ x³ − 22x² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 25Limită la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→−∞ x³ − 22x² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 26Forma 0/0M3 · Tehnologic
Calculați limx→1 x² + x − 2x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 2) = 3
Ex. 27Forma 0/0M3 · Tehnologic
Calculați limx→−2 x² + 3x + 2x + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 1) = −1
Ex. 29Raționalizare la infinitM3 · Tehnologic
Calculați limx→+∞ (x² + 1 − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x² + 1 + x) = 0
Ex. 30Limită infinităM3 · Tehnologic
Calculați limx→−3 1(x + 3)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞
Ex. 31Limite lateraleM3 · Tehnologic
Determinați limitele laterale ale funcției x − 1x − 2 în punctul 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞,+∞
Ex. 32Cerință cu funcțieM3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1x² + 4x + 5. Calculați limx→+∞ (x² − 1)·f(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim x² − 1x² + 4x + 5 = 1
Ex. 33Cerință cu funcțieM3 · Tehnologic
Fie f(x) = 2x + 1x² + 3. Calculați limx→+∞ x·f(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 2x² + xx² + 3 = 2
Ex. 34ParametruM3 · Tehnologic
Determinați a ∈ ℝ dacă limx→+∞ ax² + 12x² − 3 = 32.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a2 = 32, deci a = 3.