Încărcăm partea curentă…

Limite algebrice și la infinit · nivel M3

Ce înseamnă o limită

limx→a f(x) = L se citește „limita lui f(x) când x tinde la a este L”. Înseamnă că, dacă luăm x tot mai aproape de a (dar diferit de a), valorile f(x) ajung oricât de aproape de L.

Dacă funcția este definită de ambele părți ale lui a, ne apropiem din stânga, cu x < a (notăm x → a−), și din dreapta, cu x > a (notăm x → a+). Limita există dacă ambele limite laterale există și sunt egale. La capătul domeniului ne apropiem doar din partea unde funcția este definită: de exemplu, pentru √x în 0 venim din dreapta.

Limita nu este neapărat f(a). Funcția poate să nu fie definită în a (pe grafic apare un punct gol) sau poate avea în a altă valoare: limita privește doar ce se întâmplă în jurul lui a.

De ținut minte

limx→a f(x) = L
x → a−: x < a, tot mai aproape de a
x → a+: x > a, tot mai aproape de a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 + 3xx, definită pentru x ≠ 0. Spre ce se apropie f(x) când x → 0?

  1. 1f(0) nu există: la x = 0 numitorul este 0. Ne uităm deci la valori apropiate de 0.
  2. 2Din stânga: f(−0,1) = 2,9 și f(−0,01) = 2,99. Din dreapta: f(0,1) = 3,1 și f(0,01) = 3,01.
  3. 3Pentru x ≠ 0, x2 + 3x = x(x + 3), deci f(x) = x + 3: graficul este dreapta y = x + 3 fără punctul (0, 3).
  4. 4Ambele părți se apropie de 3, deci limx→0 f(x) = 3, deși f(0) nu există.

Greșeală frecventă

Greșit: „Limita în a este întotdeauna f(a)”, adică se află mereu înlocuind x = a.

De ce: Înlocuirea merge doar când funcția e continuă în a. Limita descrie valorile din jurul lui a: f(a) poate lipsi sau poate fi alt număr.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Limite algebrice și la infinit · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Fiecare parte are o idee mică, un exemplu rezolvat (des cu desen animat), o greșeală de evitat și trei probleme: una directă, una cu o mică variație și una pe care o rezolvi singur.

Ce înseamnă o limită

limx→a f(x) = L se citește „limita lui f(x) când x tinde la a este L”. Înseamnă că, dacă luăm x tot mai aproape de a (dar diferit de a), valorile f(x) ajung oricât de aproape de L.

Dacă funcția este definită de ambele părți ale lui a, ne apropiem din stânga, cu x < a (notăm x → a−), și din dreapta, cu x > a (notăm x → a+). Limita există dacă ambele limite laterale există și sunt egale. La capătul domeniului ne apropiem doar din partea unde funcția este definită: de exemplu, pentru √x în 0 venim din dreapta.

Limita nu este neapărat f(a). Funcția poate să nu fie definită în a (pe grafic apare un punct gol) sau poate avea în a altă valoare: limita privește doar ce se întâmplă în jurul lui a.

  • limx→a f(x) = L
  • x → a−: x < a, tot mai aproape de a
  • x → a+: x > a, tot mai aproape de a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 + 3xx, definită pentru x ≠ 0. Spre ce se apropie f(x) când x → 0?

  1. f(0) nu există: la x = 0 numitorul este 0. Ne uităm deci la valori apropiate de 0.
  2. Din stânga: f(−0,1) = 2,9 și f(−0,01) = 2,99. Din dreapta: f(0,1) = 3,1 și f(0,01) = 3,01.
  3. Pentru x ≠ 0, x2 + 3x = x(x + 3), deci f(x) = x + 3: graficul este dreapta y = x + 3 fără punctul (0, 3).
  4. Ambele părți se apropie de 3, deci limx→0 f(x) = 3, deși f(0) nu există.

Greșeală frecventă: „Limita în a este întotdeauna f(a)”, adică se află mereu înlocuind x = a. Înlocuirea merge doar când funcția e continuă în a. Limita descrie valorile din jurul lui a: f(a) poate lipsi sau poate fi alt număr.

Înlocuirea directă

Dacă f este continuă în a, limita este chiar f(a): înlocuim x = a. Polinoamele sunt continue peste tot.

La o fracție verificăm întâi numitorul chiar în punctul a. Dacă nu este 0, calculăm separat numărătorul și numitorul și împărțim.

  • limx→a f(x) = f(a), dacă f e continuă în a
  • numitorul în a ≠ 0 ⇒ înlocuim direct

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→3 x2 + 1x − 1.

  1. Numitorul la x = 3: 3 − 1 = 2 ≠ 0, deci înlocuirea directă este permisă.
  2. Numărătorul: 32 + 1 = 10.
  3. Limita este 102 = 5. Verificare: f(2,99) ≈ 4,995 și f(3,01) ≈ 5,005, foarte aproape de 5.

Greșeală frecventă: „x2 − 2xx − 2 cu x → 4 dă 00, pentru că la numitor apare x − 2.” Numitorul se verifică în punctul cerut: la x = 4, x − 2 = 2 ≠ 0. Înlocuiești direct: 16 − 82 = 4.

Forma 00: diferența de pătrate

Dacă înlocuirea dă 00, încă nu știm limita: 00 este o formă nedeterminată. Când numărătorul și numitorul sunt polinoame care se anulează amândouă în a, ele au un factor comun x − a (la radicali, logaritmi sau exponențiale folosim alte metode, în părțile următoare).

Când numărătorul este o diferență de pătrate, îl descompunem: x2 − a2 = (x − a)(x + a). Simplificăm factorul x − a, ceea ce e permis pentru x ≠ a (exact valorile la care se uită limita), apoi înlocuim în ce a rămas.

  • x2 − a2 = (x − a)(x + a)
  • 00 ⇒ descompunem, simplificăm, apoi înlocuim

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→5 x2 − 25x − 5.

  1. Înlocuirea dă 25 − 255 − 5 = 00: trebuie să transformăm expresia.
  2. x2 − 25 = (x − 5)(x + 5). Pentru x ≠ 5 simplificăm x − 5 și rămâne x + 5.
  3. Când x → 5, x + 5 → 10. Limita este 10, deși expresia inițială nu este definită în 5.

Greșeală frecventă: „00 = 0”, sau „00, deci limita nu există”. 00 nu este un rezultat, ci un semnal că trebuie să transformăm expresia. În acest exemplu, polinoamele au factorul comun x − 5, pe care îl simplificăm pentru x ≠ 5. Tabelul arată că valorile se apropie de un număr precis.

Forma 00: trinom și cuburi

Dacă a anulează un polinom, atunci x − a este un factor al lui. La un trinom ax2 + bx + c cu rădăcinile x1 și x2 scriem ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Pentru cuburi folosim x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2). După descompunere simplificăm factorul care produce 00 și înlocuim în ce a rămas.

  • ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
  • x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→2 x2 + x − 6x − 2.

  1. Înlocuirea dă 4 + 2 − 60 = 00, deci 2 este rădăcină a numărătorului.
  2. Rădăcinile lui x2 + x − 6 sunt 2 și −3, deci x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3).
  3. Simplificăm x − 2 (pentru x ≠ 2) și rămâne x + 3, care tinde la 2 + 3 = 5.

Greșeală frecventă: x2 + x − 6 = (x + 2)(x − 3). Verifică prin înmulțire: (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6. Factorii corecți vin din rădăcini: 2 și −3 dau (x − 2)(x + 3).

Forma 00 cu radical: conjugata

Când în forma 00 apare un radical, nu putem descompune direct. Amplificăm fracția cu conjugata: pentru √A − B folosim √A + B (aceiași termeni, cu semnul din mijloc schimbat).

Produsul (√A − B)(√A + B) = A − B2 nu mai conține radical. Apare factorul care se anulează; îl simplificăm, iar conjugata rămâne în cealaltă parte a fracției. Apoi înlocuim.

  • (√A − B)(√A + B) = A − B2
  • conjugata lui √A − B este √A + B

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→1 x + 3 − 2x − 1.

  1. Înlocuirea dă √4 − 20 = 00.
  2. Amplificăm cu x + 3 + 2: la numărător rămâne (x + 3) − 4 = x − 1.
  3. Simplificăm x − 1 și rămâne 1x + 3 + 2, care tinde la 12 + 2 = 14.

Greșeală frecventă: Amplifici cu aceeași expresie, x + 3 − 2, sau scrii (x + 3)2 = (x + 3)2. Conjugata are semnul schimbat, x + 3 + 2, iar un radical la pătrat dă exact ce e sub el: (x + 3)2 = x + 3.

Limite la infinit: grade egale

La x → +∞ sau x → −∞ nu înlocuim: ∞ nu este un număr. Contează doar termenii cu puterea cea mai mare (termenii dominanți); ceilalți devin neglijabili.

Când numărătorul și numitorul au același grad, împărțim fiecare termen la puterea dominantă. Termenii de forma 1x sau 1x2 tind la 0, deci limita este raportul coeficienților dominanți.

Dacă limx→+∞ f(x) = L, un număr, dreapta y = L este asimptotă orizontală spre +∞: graficul se lipește de ea.

  • grade egale: limita = raportul coeficienților dominanți
  • 1x → 0 și 1x2 → 0 când x → ±∞

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ 9x2 + 13x2 − x.

  1. Numărătorul și numitorul au gradul 2: forma ∞∞.
  2. Împărțim fiecare termen la x2: 9 + 1x23 − 1x, iar 1x2 → 0 și 1x → 0.
  3. Limita este 93 = 3. Dreapta y = 3 este asimptotă orizontală spre +∞.

Greșeală frecventă: „∞∞ = 1”, pentru că sus și jos e infinit. Infinitul nu se simplifică: 2x2x2 → 2, dar x2x → +∞. Rezultatul îl dau gradele și coeficienții dominanți.

Grad mai mic sus: limita 0 și asimptota orizontală

Dacă numitorul are gradul mai mare, el crește mult mai repede decât numărătorul, iar raportul se apropie de 0. Împărțim la puterea dominantă a numitorului ca să vedem asta.

Dacă limx→+∞ f(x) = L, un număr, dreapta y = L este asimptotă orizontală spre +∞: graficul se lipește de ea. Când limita este 0, asimptota este chiar axa Ox, y = 0.

  • grad mai mic sus: limita este 0
  • limx→+∞ f(x) = L ⇒ y = L asimptotă orizontală

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ 3x + 2x2 + 1.

  1. Gradul numărătorului este 1, al numitorului 2.
  2. Împărțim la x2: 3x + 2x21 + 1x2, iar sus totul tinde la 0, jos la 1.
  3. Limita este 01 = 0, deci y = 0 (axa Ox) este asimptotă orizontală spre +∞.

Greșeală frecventă: La 3x + 2x2 + 1 răspunzi 3, raportul coeficienților lui x. Raportul coeficienților e regula pentru grade egale. Aici numitorul are gradul mai mare și crește mult mai repede, deci raportul tinde la 0.

Grad mai mare sus: limita e ±∞

Când numărătorul are gradul mai mare, raportul se poartă ca raportul termenilor dominanți, de exemplu x34x2 = x4, care crește nelimitat.

Semnul îl dau coeficienții și direcția: la x → −∞, o putere impară a lui x este negativă, iar una pară este pozitivă.

  • x3ax2 = xa
  • x → −∞ ⇒ x3 → −∞, x2 → +∞

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ x3 + 14x2 − 1.

  1. Termenii dominanți: x34x2 = x4.
  2. x4 crește nelimitat când x → +∞.
  3. Limita este +∞; nu există asimptotă orizontală spre +∞.

Greșeală frecventă: La x → −∞ scrii (−∞)3 = +∞. O putere impară păstrează semnul: (−10)3 = −1000. Doar puterile pare ale unui număr negativ sunt pozitive.

Limite la infinit cu o funcție dată și un parametru

Când enunțul dă f, o înlocuim întâi în expresie și aducem totul la o singură fracție. Apoi comparăm gradele.

La grade egale limita este raportul coeficienților dominanți; dacă unul dintre ei e un parametru, limita depinde de el și punem condiția din enunț.

  • grade egale: raportul coeficienților dominanți

Exemplu rezolvat, cu alte date

Pentru f(x) = ax + 1x + 5, află a astfel încât limx→+∞ f(x) = 4.

  1. Numărătorul și numitorul au gradul 1.
  2. Limita este raportul coeficienților dominanți: a1 = a.
  3. Condiția a = 4 dă răspunsul a = 4.

Greșeală frecventă: x · x + 1x2 + 2 = x + 1x3 + 2x. x se înmulțește doar cu numărătorul: x · x + 1x2 + 2 = x2 + xx2 + 2, care are grade egale.

∞ − ∞ cu radicali: conjugata la infinit

x2 + bx − x are la +∞ forma ∞ − ∞: ambii termeni cresc nelimitat, iar diferența lor nu se poate citi direct.

Amplificăm cu conjugata x2 + bx + x. La numărător rămâne (x2 + bx) − x2 = bx, iar la numitor o sumă. Împărțim apoi numărătorul și numitorul la x > 0, folosind x2 + bxx = 1 + bx.

  • √A − B = A − B2√A + B
  • pentru x > 0: x2 + bxx = 1 + bx

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ (x2 + 2x − x).

  1. Forma ∞ − ∞; amplificăm cu x2 + 2x + x.
  2. La numărător: (x2 + 2x) − x2 = 2x. Expresia devine 2xx2 + 2x + x.
  3. Împărțim la x: 21 + 2x + 1 → 21 + 1 = 1.

Greșeală frecventă: x2 + 2x − x → ∞ − ∞ = 0. ∞ − ∞ nu este 0: aici rezultatul e 1, iar la x2 + 6x − x ar fi 3. Doar după amplificarea cu conjugata se vede limita.

Limite laterale și asimptota verticală

Dacă numitorul tinde la 0, iar numărătorul la un număr nenul, raportul crește nelimitat în valoare absolută: limita este +∞ sau −∞. Nu e o formă nedeterminată; trebuie doar stabilit semnul.

Semnul îl aflăm separat la stânga (x → a−, x < a) și la dreapta (x → a+, x > a), din semnul numărătorului și al numitorului. Dacă limitele laterale diferă, limita în a nu există.

Dacă o limită laterală în a este +∞ sau −∞, dreapta x = a este asimptotă verticală. Când numitorul este un pătrat, semnul lui este același de ambele părți.

  • număr ≠ 0 împărțit la ceva care tinde la 0 ⇒ ±∞
  • limitele laterale diferite ⇒ limita nu există
  • o limită laterală infinită în a ⇒ x = a asimptotă verticală

Exemplu rezolvat, cu alte date

Află limitele laterale ale lui 2x − 3 în 3.

  1. Numărătorul 2 este pozitiv.
  2. La stânga, x − 3 < 0 și tinde la 0: raportul tinde la −∞.
  3. La dreapta, x − 3 > 0: raportul tinde la +∞. Limita în 3 nu există, iar x = 3 este asimptotă verticală.

Greșeală frecventă: „Numitorul tinde la 0, deci limita este +∞”, fără să te uiți la semne. Semnul contează: 2x − 3 este negativ la stânga lui 3 (x − 3 < 0) și pozitiv la dreapta. Fiecare parte se studiază separat.

Limitele fundamentale ale lui ex și ln

Două limite de forma 00 se folosesc ca formule: eu − 1u → 1 și ln(1 + u)u → 1 când u → 0.

Dacă punctul nu e 0, facem o schimbare de variabilă: de exemplu, la x → 1 punem u = x − 1, iar u → 0. Dacă raportul e întors, ca xex − 1, limita este tot 1.

  • eu − 1u → 1
  • ln(1 + u)u → 1

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 ln(1 + x)2x.

  1. Înlocuirea dă ln 10 = 00.
  2. Scriem ln(1 + x)2x = (12) · ln(1 + x)x, iar ln(1 + x)x → 1.
  3. Limita este (12) · 1 = 12. Tabelul confirmă: valorile se strâng în jurul lui 0,5.

Greșeală frecventă: ex − 1x → 0, pentru că sus și jos totul tinde la 0. 00 este nedeterminare. Pentru x mic, ex − 1 este aproape egal cu x (e0,01 − 1 ≈ 0,01005), deci raportul se apropie de 1, nu de 0.

Regula lui l'Hôpital

Regula se aplică doar în cazurile 00 sau ∞∞. Dacă f și g sunt derivabile lângă a, g′(x) ≠ 0 lângă a și limita lui f′(x)g′(x) există, atunci lim f(x)g(x) = lim f′(x)g′(x).

Derivăm separat numărătorul și numitorul; nu derivăm fracția ca pe un cât. Dacă după derivare obținem tot 00 sau ∞∞, putem aplica regula încă o dată.

Derivatele folosite cel mai des: (xn)′ = nxn−1, (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x, (√x)′ = 12√x, iar o constantă are derivata 0. La Bac, derivata funcției date apare adesea calculată chiar la punctul a).

  • 00 sau ∞∞: lim fg = lim f′g′
  • (xn)′ = nxn−1, (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→1 ln xx2 − 1.

  1. Înlocuirea dă ln 11 − 1 = 00, deci regula se poate aplica.
  2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (x2 − 1)′ = 2x.
  3. limx→1 1x2x = 11 · 2 = 12. Verificare: ln 1,011,012 − 1 ≈ 0,495.

Greșeală frecventă: Aplici regula la limx→1 x + 1x și obții 11 = 1. Înlocuirea dă 21 = 2, nu 00 sau ∞∞, deci regula nu se aplică, iar limita corectă este 2. Verifică întâi forma.

Recapitulare: alegi singur metoda

La o cerință nouă nu ghicești metoda: citești încotro merge x, apoi înlocuiești ca să vezi forma. Forma îți alege metoda.

Un număr: acesta e răspunsul. Număr nenul împărțit la 0: studiezi semnele la stânga și la dreapta. 00 sau ∞∞: descompui, amplifici cu conjugata, compari gradele sau aplici regula lui l'Hôpital, cu derivata dată în enunț.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 + 2x − 3 − ln x. Calculează limx→1 f(x) + ln x2x − 2.

  1. Înlocuim f: f(x) + ln x = x2 + 2x − 3, deci expresia este x2 + 2x − 32x − 2.
  2. La x = 1 avem 00. Descompunem: x2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3), iar 2x − 2 = 2(x − 1).
  3. Simplificăm x − 1: x + 32 → 42 = 2.

Greșeală frecventă: Te oprești la 00 și scrii că limita nu există. 00 cere o transformare; singură, această formă nu spune dacă limita există. Dacă limitele laterale există și diferă, limita nu există. Ea poate lipsi și când valorile oscilează fără să se apropie de un rezultat. În exercițiile de aici, transformarea sau compararea limitelor laterale justifică răspunsul.

Limita cu sinus (extra, nu intră în programa M3)

Programa M3 nu cere limite cu funcții trigonometrice; partea aceasta e pentru cine vrea mai mult și poate fi sărită la pregătirea pentru Bac.

sin uu → 1 când u → 0, cu unghiul în radiani. Dacă apare sin(ax), avem nevoie de ax la numitor: sin(ax)x → a. Un produs dintre ceva care tinde la 0 și ceva mărginit, ca sin(1x), tinde la 0.

  • sin uu → 1
  • sin(ax)x → a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 sin(4x)2x.

  1. Scriem sin(4x)2x = [sin(4x)4x] · 42.
  2. Primul factor tinde la 1.
  3. Limita este 42 = 2.

Greșeală frecventă: sin(7x)x → 1. Formula cere același argument sus și jos: sin(7x)7x → 1, deci sin(7x)x → 7.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · raționalizare

Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

  1. Pasul 1 — diagnostic: la x = 4 numărătorul este √9 − 3 = 0, iar numitorul este 0, deci avem forma 00.
  2. Pasul 2 — alegem conjugata numărătorului: x + 5 + 3.
  3. Pasul 3 — amplificăm fracția, adică înmulțim numărătorul și numitorul cu această conjugată.
  4. Pasul 4 — folosim diferența de pătrate la numărător: (x + 5) − 9 = x − 4.
  5. Pasul 5 — simplificăm factorul x − 4, operație permisă pentru x ≠ 4; rămâne 1x + 5 + 3.
  6. Pasul 6 — substituim: numitorul devine 3 + 3 = 6, deci limita este 16.

Algoritmul universal

  • Citește apropierea: x → a, x → a−, x → a+, x → +∞ sau x → −∞.
  • Încearcă substituția, ca să identifici forma.
  • Clasifică rezultatul: număr finit este de obicei răspunsul; 00 și ∞∞ cer transformare.
  • Alege o singură metodă: factorizare, raționalizare, termen dominant, limită fundamentală sau clește.
  • Scrie transformarea exactă și simplifică numai unde operația este permisă.
  • Verifică restricțiile și, la limite laterale, studiază semnele separat.
  • Aplică din nou limita și formulează concluzia, inclusiv existența limitei bilaterale.

Exerciții rezolvate din lecție (48)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia este un polinom, iar orice polinom este continuu pe ℝ.
    2. Prin urmare limita se obține prin înlocuire directă.
    3. Înlocuim x = 2: 3·2 − 1 = 6 − 1.
    4. Răspuns final: limita este 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Calculați limx→−1 x2 + 2x + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm întâi numitorul: pentru x = −1 obținem −1 + 3 = 2 ≠ 0.
    2. Numitorul nefiind nul, raportul de polinoame este continuu în −1.
    3. Numărătorul: (−1)2 + 2 = 3. Numitorul: 2.
    4. Răspuns final: limita este 32.

    Răspuns: 32

  3. Exercițiul 3

    Calculați limx→3 x2 − 9x − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, formă nedeterminată: trebuie să transformăm expresia.
    2. Factorizăm numărătorul ca diferență de pătrate: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
    3. Pentru x ≠ 3 simplificăm factorul x − 3 și rămâne x + 3.
    4. Aplicăm limita expresiei simplificate: 3 + 3 = 6.
    5. Răspuns final: limita este 6.

    Răspuns: 6

  4. Exercițiul 4

    Calculați limx→1 x3 − 1x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00.
    2. Folosim diferența de cuburi: x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).
    3. Simplificăm factorul x − 1, valabil pentru x ≠ 1.
    4. Rămâne x2 + x + 1, iar la x = 1 obținem 1 + 1 + 1.
    5. Răspuns final: limita este 3.

    Răspuns: 3

  5. Exercițiul 5

    Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 3 − 30 = 00.
    2. Amplificăm cu conjugata numărătorului, x + 5 + 3.
    3. La numărător apare diferența de pătrate: (x + 5) − 9 = x − 4.
    4. Simplificăm x − 4 și rămâne 1x + 5 + 3.
    5. La x = 4 numitorul devine 3 + 3 = 6. Răspuns final: 16.

    Răspuns: 16

  6. Exercițiul 6

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 32x2 + x + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, 2, deci avem forma ∞∞.
    2. Împărțim fiecare termen la x2, puterea dominantă.
    3. Obținem 4 − 3x22 + 1x + 1x2.
    4. Termenii de forma 1x și 1x2 tind la 0, deci raportul tinde la 42.
    5. Regulă scurtă: la grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  7. Exercițiul 7

    Calculați limx→+∞ 5x − 1x2 + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradul numărătorului este 1, iar al numitorului este 2.
    2. Împărțim totul la x2: 5x − 1x21 + 2x2.
    3. Numărătorul tinde la 0, iar numitorul la 1.
    4. Regulă scurtă: dacă gradul numărătorului este mai mic, limita este 0.
    5. Răspuns final: limita este 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Calculați limx→−∞ (2x3 − x).

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul dominant este 2x3, cel cu gradul cel mai mare.
    2. Scoatem factor comun: 2x3 − x = x3(2 − 1x2), iar paranteza tinde la 2 > 0.
    3. Pentru x → −∞ avem x3 → −∞, pentru că puterea este impară.
    4. Produsul dintre o cantitate care tinde la −∞ și una pozitivă tinde la −∞.
    5. Răspuns final: limita este −∞.

    Răspuns: −∞

  9. Exercițiul 9

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este constant 1, deci rămâne pozitiv.
    2. Pentru x → 1−, x − 1 este negativ și foarte apropiat de 0, deci raportul tinde la −∞.
    3. Pentru x → 1+, x − 1 este pozitiv și foarte apropiat de 0, deci raportul tinde la +∞.
    4. Limitele laterale sunt diferite, deci limita bilaterală nu există.
    5. Dreapta x = 1 este asimptotă verticală.

    Răspuns: −∞,+∞

  10. Exercițiul 10

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, dar aceasta este chiar limita fundamentală a funcției exponențiale.
    2. Formula este limu→0 eu − 1u = 1.
    3. Aici u = x, deci se aplică direct.
    4. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  11. Exercițiul 11

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x apropiat de 0 avem 1 + x > 0, deci logaritmul este definit.
    2. Aceasta este limita fundamentală a logaritmului natural: limu→0 ln(1 + u)u = 1.
    3. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  12. Exercițiul 12

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este limita trigonometrică fundamentală, valabilă cu unghiul măsurat în radiani.
    2. Formula este limu→0 sin uu = 1.
    3. Atenție: dacă unghiul ar fi în grade, rezultatul ar fi altul.
    4. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  13. Exercițiul 13

    Calculați limx→+∞ x2 − 1x2 + 4x + 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradele numărătorului și numitorului sunt egale, ambele 2.
    2. Împărțim fiecare termen la x2: 1 − 1x21 + 4x + 5x2.
    3. Termenii cu 1x și 1x2 tind la 0.
    4. Numărătorul și numitorul tind amândouă la 1.
    5. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  14. Exercițiul 14

    Calculați limx→+∞ 3x2 + 2x − 1x2 − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți.
    2. Coeficientul dominant al numărătorului este 3, iar al numitorului 1.
    3. Răspuns final: limita este 3.

    Răspuns: 3

  15. Exercițiul 15

    Calculați limx→+∞ 2x + 7x2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradul numărătorului, 1, este mai mic decât gradul numitorului, 2.
    2. Împărțind la x2, numărătorul tinde la 0, iar numitorul la 1.
    3. Răspuns final: limita este 0.

    Răspuns: 0

  16. Exercițiul 16

    Exercițiul 24 semi-ghidat · Pentru limx→+∞ x3 − 22x2 + 1, cum se comportă raportul la valori mari ale lui x?

    Vezi rezolvarea
    1. Păstrăm termenii dominanți: x3 la numărător și 2x2 la numitor.
    2. Raportul lor este x32x2 = x2.
    3. Gradul numărătorului fiind mai mare, raportul nu tinde la un număr finit.

    Răspuns: Ca x2, pentru că x32x2 = x2

  17. Exercițiul 17

    Acum scrieți valoarea limitei.

    Vezi rezolvarea
    1. Raportul se comportă ca x2.
    2. Pentru x → +∞, x2 crește nelimitat.
    3. Regulă scurtă: dacă gradul numărătorului este mai mare, limita este infinită, iar semnul se ia din coeficienți și din direcție.
    4. Răspuns final: limita este +∞.

    Răspuns: +∞

  18. Exercițiul 18

    Calculați limx→−∞ x3 − 22x2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Ca și la exercițiul anterior, raportul se comportă ca x2.
    2. Diferența este direcția: acum x → −∞.
    3. Prin urmare x2 → −∞.
    4. Răspuns final: limita este −∞.

    Răspuns: −∞

  19. Exercițiul 19

    Calculați limx→1 x2 + x − 2x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00.
    2. Factorizăm trinomul: rădăcinile lui x2 + x − 2 sunt 1 și −2, deci x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2).
    3. Simplificăm factorul x − 1, valabil pentru x ≠ 1.
    4. Rămâne x + 2, iar la x = 1 obținem 3.
    5. Răspuns final: limita este 3.

    Răspuns: 3

  20. Exercițiul 20

    Calculați limx→−2 x2 + 3x + 2x + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00.
    2. Factorizăm: rădăcinile lui x2 + 3x + 2 sunt −1 și −2, deci x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
    3. Simplificăm factorul x + 2, valabil pentru x ≠ −2.
    4. Rămâne x + 1, iar la x = −2 obținem −1.
    5. Răspuns final: limita este −1.

    Răspuns: −1

  21. Exercițiul 21

    Exercițiul 29 ghidat · Calculați limx→+∞ (x2 + 1 − x). Pasul 1: ce formă obținem prin substituție?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x → +∞, avem x2 + 1 → +∞ și x → +∞.
    2. Diferența a două cantități care cresc nelimitat este forma nedeterminată ∞ − ∞.
    3. Nu putem scrie direct 0: trebuie să transformăm expresia.

    Răspuns: ∞ − ∞, formă nedeterminată

  22. Exercițiul 22

    Pasul 2: cu ce amplificăm expresia ca să scăpăm de radical?

    Vezi rezolvarea
    1. Conjugata expresiei x2 + 1 − x este x2 + 1 + x.
    2. Amplificăm fracția cu această conjugată, adică înmulțim și împărțim cu ea.
    3. Astfel apare diferența de pătrate (A − B)(A + B) = A2 − B2, care elimină radicalul.

    Răspuns: Cu x2 + 1 + x

  23. Exercițiul 23

    Pasul 3: ce rămâne la numărător după amplificare?

    Vezi rezolvarea
    1. La numărător obținem (x2 + 1)2 − x2.
    2. Radicalul se elimină: (x2 + 1) − x2.
    3. Termenii x2 se reduc și rămâne 1.
    4. Expresia devine 1x2 + 1 + x.

    Răspuns: 1

  24. Exercițiul 24

    Pasul 4: calculați limita expresiei 1x2 + 1 + x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x → +∞, avem x2 + 1 → +∞ și x → +∞.
    2. Numitorul crește nelimitat, iar numărătorul rămâne constant 1.
    3. Un număr fix împărțit la o cantitate care crește nelimitat tinde la 0.
    4. Răspuns final: limita este 0.

    Răspuns: 0

  25. Exercițiul 25

    Calculați limx→−3 1(x + 3)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este 1, deci pozitiv.
    2. Numitorul (x + 3)2 este un pătrat, deci pozitiv pentru x ≠ −3, și tinde la 0.
    3. Un număr pozitiv împărțit la o cantitate pozitivă foarte mică tinde la +∞.
    4. Deoarece numitorul este pătrat, semnul este același din ambele părți.
    5. Răspuns final: limita este +∞.

    Răspuns: +∞

  26. Exercițiul 26

    Determinați limitele laterale ale funcției x − 1x − 2 în punctul 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul tinde la 2 − 1 = 1, deci este pozitiv în vecinătatea lui 2.
    2. Pentru x → 2−, numitorul x − 2 este negativ și tinde la 0, deci raportul tinde la −∞.
    3. Pentru x → 2+, numitorul este pozitiv și tinde la 0, deci raportul tinde la +∞.
    4. Limitele laterale diferă, deci limita bilaterală nu există; x = 2 este asimptotă verticală.

    Răspuns: −∞,+∞

  27. Exercițiul 27

    Fie f(x) = 1x2 + 4x + 5. Calculați limx→+∞ (x2 − 1)·f(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim funcția în expresie: (x2 − 1)·f(x) = x2 − 1x2 + 4x + 5.
    2. La +∞ avem forma ∞∞, cu grade egale.
    3. Împărțim la x2: 1 − 1x21 + 4x + 5x2.
    4. Ambii termeni tind la 1.
    5. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  28. Exercițiul 28

    Fie f(x) = 2x + 1x2 + 3. Calculați limx→+∞ x·f(x).

    Vezi rezolvarea
    1. Înmulțim: x·f(x) = x(2x + 1)x2 + 3 = 2x2 + xx2 + 3.
    2. Gradele sunt egale, ambele 2.
    3. Limita este raportul coeficienților dominanți: 21.
    4. Răspuns final: limita este 2.

    Răspuns: 2

  29. Exercițiul 29

    Exercițiul 34 semi-ghidat · Pentru limx→+∞ ax2 + 12x2 − 3, cât este limita în funcție de a?

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, 2.
    2. La grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți.
    3. Coeficientul dominant al numărătorului este a, iar al numitorului 2.
    4. Limita este a2.

    Răspuns: a2

  30. Exercițiul 30

    Acum determinați a din condiția ca limita să fie 32.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem a2 = 32.
    2. Înmulțim ambii membri cu 2: a = 3.
    3. Verificare: pentru a = 3 limita devine 32, conform enunțului.
    4. Răspuns final: a = 3.

    Răspuns: 3

  31. Exercițiul 31

    Calculează limx→2 x2−4x−2.

    Vezi rezolvarea
    1. Forma nedeterminată 00. Ambii termeni tind la zero. Forma 00 nu este un rezultat numeric.
    2. x2−4x−2=x+2, pentru x≠2. x2−4=(x−2)(x+2). La limită folosim valori apropiate, dar diferite de 2.
    3. Limita este 4. Funcția x+2 este continuă; înlocuind x cu 2 obținem 2+2=4.

    Răspuns: Limita este 4

  32. Exercițiul 32

    Urmărește tabelul de sub enunț pentru f(x) = 2x + 1. Spre ce număr se apropie f(x) când x se apropie de 3?

    Vezi rezolvarea
    1. În tabel, x se apropie de 3 din stânga și din dreapta .
    2. Valorile f(x) sunt 6,8 și 6,98 din stânga, 7,2 și 7,02 din dreapta: distanța până la 7 scade de fiecare dată.
    3. Ambele părți duc la 7, deci limx→3 (2x + 1) = 7. Aici f(3) = 7, pentru că funcția este continuă.

    Răspuns: 7

  33. Exercițiul 33

    f(x) = x2 − 1x − 1 nu este definită pentru x = 1. Urmărește tabelul și alege afirmația corectă despre limx→1 f(x).

    Vezi rezolvarea
    1. La x = 1 obținem 00, deci f(1) nu este definit.
    2. Din stânga f(x) ia valorile 1,9 și 1,99, iar din dreapta 2,1 și 2,01: ambele părți se apropie de 2.
    3. Concluzie: f(1) nu există, dar limx→1 f(x) = 2. Pe grafic, în (1, 2) este un punct gol.

    Răspuns: f(1) nu există, dar limx→1 f(x) = 2

  34. Exercițiul 34

    Fie f definită prin f(x) = x + 1 pentru x ≠ 2 și f(2) = 5. Cât este limx→2 f(x)?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x ≠ 2, f(x) = x + 1. Când x se apropie de 2, x + 1 se apropie de 2 + 1 = 3.
    2. Valoarea f(2) = 5 nu intervine: limita privește doar punctele din jurul lui 2, nu punctul 2.
    3. Din stânga și din dreapta obținem 3, deci limx→2 f(x) = 3, iar f(2) = 5 este alt număr.

    Răspuns: 3

  35. Exercițiul 35

    Calculează limx→−1 x2 − 4xx − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul la x = −1: −1 − 4 = −5 ≠ 0, deci nu avem 00; funcția este continuă în −1.
    2. Numărătorul: (−1)2 − 4 · (−1) = 1 + 4 = 5.
    3. Limita este 5−5 = −1.

    Răspuns: −1

  36. Exercițiul 36

    Calculează limx→−4 x2 − 16x + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 16 − 16−4 + 4 = 00.
    2. x2 − 16 = (x − 4)(x + 4). Pentru x ≠ −4 simplificăm x + 4 și rămâne x − 4.
    3. Când x → −4, x − 4 → −4 − 4 = −8. Limita este −8.

    Răspuns: −8

  37. Exercițiul 37

    Calculează limx→0 x + 1 − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă √1 − 10 = 00.
    2. Amplificăm cu x + 1 + 1: la numărător rămâne (x + 1) − 1 = x, care se simplifică cu x de la numitor.
    3. Rămâne 1x + 1 + 1, care tinde la 11 + 1 = 12.

    Răspuns: 12

  38. Exercițiul 38

    Calculează limx→3 x − 3x + 1 − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 0√4 − 2 = 00.
    2. Amplificăm cu x + 1 + 2: la numitor rămâne (x + 1) − 4 = x − 3, care se simplifică cu numărătorul.
    3. Rămâne x + 1 + 2, care tinde la √4 + 2 = 4.

    Răspuns: 4

  39. Exercițiul 39

    Fie f(x) = 6x2 + x2x2 − 5. Scrie numărul L pentru care dreapta y = L este asimptota orizontală spre +∞ a graficului lui f.

    Vezi rezolvarea
    1. Asimptota orizontală spre +∞ este y = L, cu L = limx→+∞ f(x), dacă limita este un număr.
    2. Numărătorul și numitorul au gradul 2, deci limita este raportul coeficienților dominanți: 62.
    3. L = 3, deci asimptota orizontală este y = 3.

    Răspuns: 3

  40. Exercițiul 40

    Calculează limx→+∞ (x − x2 − 4x).

    Vezi rezolvarea
    1. Forma este ∞ − ∞, deci amplificăm cu conjugata x + x2 − 4x.
    2. La numărător rămâne x2 − (x2 − 4x) = 4x, iar expresia devine 4xx + x2 − 4x.
    3. Împărțim la x > 0: 41 + 1 − 4x → 41 + 1 = 2.

    Răspuns: 2

  41. Exercițiul 41

    Calculează limx→+∞ (x2 + 6x − x).

    Vezi rezolvarea
    1. Amplificăm cu x2 + 6x + x: la numărător rămâne (x2 + 6x) − x2 = 6x.
    2. Împărțim la x > 0: 61 + 6x + 1.
    3. Când x → +∞, 6x → 0, deci limita este 61 + 1 = 3.

    Răspuns: 3

  42. Exercițiul 42

    Calculează limx→0 3xex − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 01 − 1 = 00.
    2. Scriem 3xex − 1 = 3 · 1ex − 1x, iar ex − 1x → 1.
    3. Limita este 3 · 11 = 3.

    Răspuns: 3

  43. Exercițiul 43

    Calculează limx→+∞ ln xx.

    Vezi rezolvarea
    1. La +∞, ln x → +∞ și x → +∞: forma ∞∞, deci regula se poate aplica.
    2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (x)′ = 1, deci obținem 1x.
    3. 1x → 0, deci lim ln xx = 0: logaritmul crește mult mai încet decât x.

    Răspuns: 0

  44. Exercițiul 44

    Calculează limx→2 x2 − 4x2 − 3x + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 4 − 44 − 6 + 2 = 00.
    2. Regula lui l'Hôpital: (x2 − 4)′ = 2x și (x2 − 3x + 2)′ = 2x − 3, deci calculăm lim 2x2x − 3.
    3. La x = 2: 41 = 4. Verificare prin descompunere: (x − 2)x + 2(x − 1)(x − 2) = x + 2x − 1 → 4.

    Răspuns: 4

  45. Exercițiul 45

    Fie f(x) = 2x + ln x, cu f′(x) = 2 + 1x. Calculează limx→+∞ f(x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. La +∞, f(x) → +∞ și x → +∞: forma ∞∞.
    2. Regula lui l'Hôpital: lim f(x)x = lim f′(x)1 = lim (2 + 1x).
    3. 1x → 0, deci limita este 2. Același rezultat: f(x)x = 2 + ln xx, iar ln xx → 0.

    Răspuns: 2

  46. Exercițiul 46

    Fie f(x) = 10x − 12x + 5. Scrie numărul L pentru care dreapta y = L este asimptota orizontală spre +∞ a graficului lui f.

    Vezi rezolvarea
    1. Asimptota orizontală spre +∞ este y = L, cu L = limx→+∞ f(x).
    2. Numărătorul și numitorul au gradul 1: limita este raportul coeficienților dominanți, 102.
    3. L = 5, deci asimptota orizontală este y = 5.

    Răspuns: 5

  47. Exercițiul 47

    Fie f(x) = 4x + 2ln x, cu f′(x) = 2x − 4x2. Calculează limx→+∞ f(x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. La +∞, f(x) → +∞ (2ln x crește, 4x → 0) și x → +∞: forma ∞∞.
    2. Regula lui l'Hôpital: lim f(x)x = lim f′(x)1 = lim (2x − 4)x2.
    3. Numitorul are gradul mai mare, deci limita este 0.

    Răspuns: 0

  48. Exercițiul 48

    Fie f(x) = x3 − 3x, cu f′(x) = 3x2 − 3. Calculează limx→1 f′(x)x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x)x − 1 = 3x2 − 3x − 1; la x = 1 avem 00.
    2. 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1); simplificăm x − 1.
    3. Rămâne 3(x + 1), care tinde la 3 · 2 = 6.

    Răspuns: 6

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (25)

  1. 1. Substituție

    Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi răspunsul

    5

  2. 2. Substituție

    Calculați limx→−1 x2 + 2x + 3.

    Vezi răspunsul

    1 + 2−1 + 3 = 32

  3. 3. Forma 0/0

    Calculați limx→3 x2 − 9x − 3.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 3) = 6

  4. 4. Forma 0/0

    Calculați limx→1 x3 − 1x − 1.

    Vezi răspunsul

    lim (x2 + x + 1) = 3

  5. 5. Raționalizare

    Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

    Vezi răspunsul

    lim 1x + 5 + 3 = 16

  6. 6. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 32x2 + x + 1.

    Vezi răspunsul

    2

  7. 7. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 5x − 1x2 + 2.

    Vezi răspunsul

    0

  8. 8. Polinom la infinit

    Calculați limx→−∞ (2x3 − x).

    Vezi răspunsul

    −∞

  9. 9. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  10. 10. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi răspunsul

    1

  11. 11. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi răspunsul

    1

  12. 12. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi răspunsul

    1

  13. 21. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ x2 − 1x2 + 4x + 5.

    Vezi răspunsul

    1

  14. 22. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 3x2 + 2x − 1x2 − 2.

    Vezi răspunsul

    3

  15. 23. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 2x + 7x2 + 1.

    Vezi răspunsul

    0

  16. 24. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ x3 − 22x2 + 1.

    Vezi răspunsul

    +∞

  17. 25. Limită la infinit

    Calculați limx→−∞ x3 − 22x2 + 1.

    Vezi răspunsul

    −∞

  18. 26. Forma 0/0

    Calculați limx→1 x2 + x − 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 2) = 3

  19. 27. Forma 0/0

    Calculați limx→−2 x2 + 3x + 2x + 2.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 1) = −1

  20. 29. Raționalizare la infinit

    Calculați limx→+∞ (x2 + 1 − x).

    Vezi răspunsul

    lim 1x2 + 1 + x = 0

  21. 30. Limită infinită

    Calculați limx→−3 1(x + 3)2.

    Vezi răspunsul

    +∞

  22. 31. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției x − 1x − 2 în punctul 2. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  23. 32. Cerință cu funcție

    Fie f(x) = 1x2 + 4x + 5. Calculați limx→+∞ (x2 − 1)·f(x).

    Vezi răspunsul

    lim (x2 − 1)x2 + 4x + 5 = 1

  24. 33. Cerință cu funcție

    Fie f(x) = 2x + 1x2 + 3. Calculați limx→+∞ x·f(x).

    Vezi răspunsul

    lim (2x2 + x)x2 + 3 = 2

  25. 34. Parametru

    Determinați a ∈ ℝ dacă limx→+∞ ax2 + 12x2 − 3 = 32.

    Vezi răspunsul

    a2 = 32, deci a = 3.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.