Încărcăm partea curentă…

Limite fundamentale și forme nedeterminate · nivel M2

Ce înseamnă o limită

limx→a f(x) = L se citește „limita lui f(x) când x tinde la a este L”. Înseamnă că, dacă luăm x tot mai aproape de a (dar diferit de a), valorile f(x) ajung oricât de aproape de L.

Dacă funcția este definită de ambele părți ale lui a, ne apropiem din stânga, cu x < a (notăm x → a−), și din dreapta, cu x > a (notăm x → a+). Limita există dacă ambele limite laterale există și sunt egale. La capătul domeniului ne apropiem doar din partea unde funcția este definită: de exemplu, pentru √x în 0 venim din dreapta.

Limita nu este neapărat f(a). Funcția poate să nu fie definită în a (pe grafic apare un punct gol) sau poate avea în a altă valoare: limita privește doar ce se întâmplă în jurul lui a.

De ținut minte

limx→a f(x) = L
x → a−: x < a, tot mai aproape de a
x → a+: x > a, tot mai aproape de a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 + 3xx, definită pentru x ≠ 0. Spre ce se apropie f(x) când x → 0?

  1. 1f(0) nu există: la x = 0 numitorul este 0. Ne uităm deci la valori apropiate de 0.
  2. 2Din stânga: f(−0,1) = 2,9 și f(−0,01) = 2,99. Din dreapta: f(0,1) = 3,1 și f(0,01) = 3,01.
  3. 3Pentru x ≠ 0, x2 + 3x = x(x + 3), deci f(x) = x + 3: graficul este dreapta y = x + 3 fără punctul (0, 3).
  4. 4Ambele părți se apropie de 3, deci limx→0 f(x) = 3, deși f(0) nu există.

Greșeală frecventă

Greșit: „Limita în a este întotdeauna f(a)”, adică se află mereu înlocuind x = a.

De ce: Înlocuirea merge doar când funcția e continuă în a. Limita descrie valorile din jurul lui a: f(a) poate lipsi sau poate fi alt număr.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Limite fundamentale și forme nedeterminate · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Fiecare parte are o idee mică, un exemplu rezolvat (des cu desen animat), o greșeală de evitat și trei probleme: una directă, una cu o mică variație și una pe care o rezolvi singur.

Ce înseamnă o limită

limx→a f(x) = L se citește „limita lui f(x) când x tinde la a este L”. Înseamnă că, dacă luăm x tot mai aproape de a (dar diferit de a), valorile f(x) ajung oricât de aproape de L.

Dacă funcția este definită de ambele părți ale lui a, ne apropiem din stânga, cu x < a (notăm x → a−), și din dreapta, cu x > a (notăm x → a+). Limita există dacă ambele limite laterale există și sunt egale. La capătul domeniului ne apropiem doar din partea unde funcția este definită: de exemplu, pentru √x în 0 venim din dreapta.

Limita nu este neapărat f(a). Funcția poate să nu fie definită în a (pe grafic apare un punct gol) sau poate avea în a altă valoare: limita privește doar ce se întâmplă în jurul lui a.

  • limx→a f(x) = L
  • x → a−: x < a, tot mai aproape de a
  • x → a+: x > a, tot mai aproape de a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 + 3xx, definită pentru x ≠ 0. Spre ce se apropie f(x) când x → 0?

  1. f(0) nu există: la x = 0 numitorul este 0. Ne uităm deci la valori apropiate de 0.
  2. Din stânga: f(−0,1) = 2,9 și f(−0,01) = 2,99. Din dreapta: f(0,1) = 3,1 și f(0,01) = 3,01.
  3. Pentru x ≠ 0, x2 + 3x = x(x + 3), deci f(x) = x + 3: graficul este dreapta y = x + 3 fără punctul (0, 3).
  4. Ambele părți se apropie de 3, deci limx→0 f(x) = 3, deși f(0) nu există.

Greșeală frecventă: „Limita în a este întotdeauna f(a)”, adică se află mereu înlocuind x = a. Înlocuirea merge doar când funcția e continuă în a. Limita descrie valorile din jurul lui a: f(a) poate lipsi sau poate fi alt număr.

Înlocuirea directă

Dacă f este continuă în a, limita este chiar f(a): înlocuim x = a. Polinoamele sunt continue peste tot.

La o fracție verificăm întâi numitorul chiar în punctul a. Dacă nu este 0, calculăm separat numărătorul și numitorul și împărțim.

  • limx→a f(x) = f(a), dacă f e continuă în a
  • numitorul în a ≠ 0 ⇒ înlocuim direct

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→3 x2 + 1x − 1.

  1. Numitorul la x = 3: 3 − 1 = 2 ≠ 0, deci înlocuirea directă este permisă.
  2. Numărătorul: 32 + 1 = 10.
  3. Limita este 102 = 5. Verificare: f(2,99) ≈ 4,995 și f(3,01) ≈ 5,005, foarte aproape de 5.

Greșeală frecventă: „x2 − 2xx − 2 cu x → 4 dă 00, pentru că la numitor apare x − 2.” Numitorul se verifică în punctul cerut: la x = 4, x − 2 = 2 ≠ 0. Înlocuiești direct: 16 − 82 = 4.

Forma 00: diferența de pătrate

Dacă înlocuirea dă 00, încă nu știm limita: 00 este o formă nedeterminată. Când numărătorul și numitorul sunt polinoame care se anulează amândouă în a, ele au un factor comun x − a (la radicali, logaritmi sau exponențiale folosim alte metode, în părțile următoare).

Când numărătorul este o diferență de pătrate, îl descompunem: x2 − a2 = (x − a)(x + a). Simplificăm factorul x − a, ceea ce e permis pentru x ≠ a (exact valorile la care se uită limita), apoi înlocuim în ce a rămas.

  • x2 − a2 = (x − a)(x + a)
  • 00 ⇒ descompunem, simplificăm, apoi înlocuim

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→5 x2 − 25x − 5.

  1. Înlocuirea dă 25 − 255 − 5 = 00: trebuie să transformăm expresia.
  2. x2 − 25 = (x − 5)(x + 5). Pentru x ≠ 5 simplificăm x − 5 și rămâne x + 5.
  3. Când x → 5, x + 5 → 10. Limita este 10, deși expresia inițială nu este definită în 5.

Greșeală frecventă: „00 = 0”, sau „00, deci limita nu există”. 00 nu este un rezultat, ci un semnal că trebuie să transformăm expresia. În acest exemplu, polinoamele au factorul comun x − 5, pe care îl simplificăm pentru x ≠ 5. Tabelul arată că valorile se apropie de un număr precis.

Forma 00: trinom și cuburi

Dacă a anulează un polinom, atunci x − a este un factor al lui. La un trinom ax2 + bx + c cu rădăcinile x1 și x2 scriem ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Pentru cuburi folosim x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2). După descompunere simplificăm factorul care produce 00 și înlocuim în ce a rămas.

  • ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
  • x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→2 x2 + x − 6x − 2.

  1. Înlocuirea dă 4 + 2 − 60 = 00, deci 2 este rădăcină a numărătorului.
  2. Rădăcinile lui x2 + x − 6 sunt 2 și −3, deci x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3).
  3. Simplificăm x − 2 (pentru x ≠ 2) și rămâne x + 3, care tinde la 2 + 3 = 5.

Greșeală frecventă: x2 + x − 6 = (x + 2)(x − 3). Verifică prin înmulțire: (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6. Factorii corecți vin din rădăcini: 2 și −3 dau (x − 2)(x + 3).

Forma 00 cu radical: conjugata

Când în forma 00 apare un radical, nu putem descompune direct. Amplificăm fracția cu conjugata: pentru √A − B folosim √A + B (aceiași termeni, cu semnul din mijloc schimbat).

Produsul (√A − B)(√A + B) = A − B2 nu mai conține radical. Apare factorul care se anulează; îl simplificăm, iar conjugata rămâne în cealaltă parte a fracției. Apoi înlocuim.

  • (√A − B)(√A + B) = A − B2
  • conjugata lui √A − B este √A + B

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→1 x + 3 − 2x − 1.

  1. Înlocuirea dă √4 − 20 = 00.
  2. Amplificăm cu x + 3 + 2: la numărător rămâne (x + 3) − 4 = x − 1.
  3. Simplificăm x − 1 și rămâne 1x + 3 + 2, care tinde la 12 + 2 = 14.

Greșeală frecventă: Amplifici cu aceeași expresie, x + 3 − 2, sau scrii (x + 3)2 = (x + 3)2. Conjugata are semnul schimbat, x + 3 + 2, iar un radical la pătrat dă exact ce e sub el: (x + 3)2 = x + 3.

Limite la infinit: grade egale sau grad mai mic

La x → +∞ sau x → −∞ nu înlocuim: ∞ nu este un număr. Contează doar termenii cu puterea cea mai mare (termenii dominanți); ceilalți devin neglijabili.

Grade egale: limita este raportul coeficienților dominanți. Numitorul are gradul mai mare: împărțind la puterea lui, numărătorul tinde la 0, deci limita este 0.

Dacă limx→+∞ f(x) = L, un număr, dreapta y = L este asimptotă orizontală spre +∞: graficul se lipește de ea.

  • grade egale: raportul coeficienților dominanți
  • grad mai mic sus: 0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ 9x2 + 13x2 − x.

  1. Numărătorul și numitorul au gradul 2: forma ∞∞.
  2. Împărțim fiecare termen la x2: 9 + 1x23 − 1x, iar 1x2 → 0 și 1x → 0.
  3. Limita este 93 = 3. Dreapta y = 3 este asimptotă orizontală spre +∞.

Greșeală frecventă: „∞∞ = 1”, pentru că sus și jos e infinit. Infinitul nu se simplifică: 2x2x2 → 2, dar x2x → +∞. Rezultatul îl dau gradele și coeficienții dominanți.

Grad mai mare sus: limita e ±∞

Când numărătorul are gradul mai mare, raportul se poartă ca raportul termenilor dominanți, de exemplu x34x2 = x4, care crește nelimitat.

Semnul îl dau coeficienții și direcția: la x → −∞, o putere impară a lui x este negativă, iar una pară este pozitivă.

  • x3ax2 = xa
  • x → −∞ ⇒ x3 → −∞, x2 → +∞

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ x3 + 14x2 − 1.

  1. Termenii dominanți: x34x2 = x4.
  2. x4 crește nelimitat când x → +∞.
  3. Limita este +∞; nu există asimptotă orizontală spre +∞.

Greșeală frecventă: La x → −∞ scrii (−∞)3 = +∞. O putere impară păstrează semnul: (−10)3 = −1000. Doar puterile pare ale unui număr negativ sunt pozitive.

Limite laterale și asimptota verticală

Dacă numitorul tinde la 0, iar numărătorul la un număr nenul, raportul crește nelimitat în valoare absolută: limita este +∞ sau −∞. Nu e o formă nedeterminată; trebuie doar stabilit semnul.

Semnul îl aflăm separat la stânga (x → a−, x < a) și la dreapta (x → a+, x > a), din semnul numărătorului și al numitorului. Dacă limitele laterale diferă, limita în a nu există.

Dacă o limită laterală în a este +∞ sau −∞, dreapta x = a este asimptotă verticală. Când numitorul este un pătrat, semnul lui este același de ambele părți.

  • număr ≠ 0 împărțit la ceva care tinde la 0 ⇒ ±∞
  • limitele laterale diferite ⇒ limita nu există
  • o limită laterală infinită în a ⇒ x = a asimptotă verticală

Exemplu rezolvat, cu alte date

Află limitele laterale ale lui 2x − 3 în 3.

  1. Numărătorul 2 este pozitiv.
  2. La stânga, x − 3 < 0 și tinde la 0: raportul tinde la −∞.
  3. La dreapta, x − 3 > 0: raportul tinde la +∞. Limita în 3 nu există, iar x = 3 este asimptotă verticală.

Greșeală frecventă: „Numitorul tinde la 0, deci limita este +∞”, fără să te uiți la semne. Semnul contează: 2x − 3 este negativ la stânga lui 3 (x − 3 < 0) și pozitiv la dreapta. Fiecare parte se studiază separat.

Limitele fundamentale ale lui ex și ln

Două limite de forma 00 se folosesc ca formule: eu − 1u → 1 și ln(1 + u)u → 1 când u → 0.

Dacă punctul nu e 0, facem o schimbare de variabilă: de exemplu, la x → 1 punem u = x − 1, iar u → 0. Dacă raportul e întors, ca xex − 1, limita este tot 1.

  • eu − 1u → 1
  • ln(1 + u)u → 1

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 ln(1 + x)2x.

  1. Înlocuirea dă ln 10 = 00.
  2. Scriem ln(1 + x)2x = (12) · ln(1 + x)x, iar ln(1 + x)x → 1.
  3. Limita este (12) · 1 = 12. Tabelul confirmă: valorile se strâng în jurul lui 0,5.

Greșeală frecventă: ex − 1x → 0, pentru că sus și jos totul tinde la 0. 00 este nedeterminare. Pentru x mic, ex − 1 este aproape egal cu x (e0,01 − 1 ≈ 0,01005), deci raportul se apropie de 1, nu de 0.

Limitele fundamentale cu u = ax

Dacă în funcție apare ax, avem nevoie de ax și la numitor: înmulțim și împărțim cu a. Așa eax − 1x tinde la a; la fel ln(1 + ax)x. Atenție la semn: ln(1 − 2x) = ln(1 + u) cu u = −2x.

Într-un raport de două astfel de expresii împărțim sus și jos la x și facem raportul limitelor.

  • eax − 1x → a
  • ln(1 + ax)x → a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 e4x − 1x.

  1. Scriem e4x − 1x = [e4x − 14x] · 4.
  2. Cu u = 4x → 0, primul factor tinde la 1.
  3. Limita este 1 · 4 = 4.

Greșeală frecventă: e7x − 1x → 1, ca la formula fundamentală. Formula cere același u sus și jos: e7x − 17x → 1. Cu x la numitor, rezultatul se înmulțește cu 7, deci limita este 7.

Raport de limite fundamentale și parametri

Când sus și jos apar două expresii de tipul eu − 1, ln(1 + u), împărțim și numărătorul, și numitorul la x. Fiecare parte tinde la un număr, iar limita este raportul lor.

Dacă apare un parametru a, calculăm întâi limita în funcție de a, de exemplu eax − 1x → a, apoi punem condiția din enunț și rezolvăm ecuația.

  • împărțim sus și jos la x
  • eax − 1x → a
  • ln(1 + ax)x → a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 ln(1 + 4x)e2x − 1.

  1. Împărțim numărătorul și numitorul la x, operație permisă pentru x ≠ 0.
  2. ln(1 + 4x)x → 4, iar e2x − 1x → 2.
  3. Limita este 42 = 2.

Greșeală frecventă: Simplifici „ln” cu „e”, sau x-ul din exponent cu cel de la numitor. Funcțiile nu se simplifică între ele. Doar după împărțirea la x fiecare parte devine o limită fundamentală, cu limita ei.

Funcția dată: simplificăm ex

Când enunțul dă f, o înlocuim întâi în expresie. ex nu este niciodată 0, deci îl putem scoate factor comun și simplifica.

După simplificare rămâne de obicei o fracție de polinoame: la un punct finit simplificăm factorul care produce 00, iar la +∞ comparăm gradele.

  • ex > 0 pentru orice x
  • ex · Aex · B = AB

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ ex(2x + 1)ex · x.

  1. ex ≠ 0 se simplifică.
  2. Rămâne 2x + 1x = 2 + 1x.
  3. 1x → 0, deci limita este 2.

Greșeală frecventă: ex + ex·x2 = ex · x2. Primul termen înseamnă ex · 1: ex + ex·x2 = ex(1 + x2). Fără 1 pierzi un termen.

Regula lui l'Hôpital

Regula se aplică doar în cazurile 00 sau ∞∞. Dacă f și g sunt derivabile lângă a, g′(x) ≠ 0 lângă a și limita lui f′(x)g′(x) există, atunci lim f(x)g(x) = lim f′(x)g′(x).

Derivăm separat numărătorul și numitorul; nu derivăm fracția ca pe un cât. Dacă după derivare obținem tot 00 sau ∞∞, putem aplica regula încă o dată.

Derivatele folosite cel mai des: (xn)′ = nxn−1, (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x, (√x)′ = 12√x, iar o constantă are derivata 0. La Bac, derivata funcției date apare adesea calculată chiar la punctul a).

  • 00 sau ∞∞: lim fg = lim f′g′
  • (xn)′ = nxn−1, (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→1 ln xx2 − 1.

  1. Înlocuirea dă ln 11 − 1 = 00, deci regula se poate aplica.
  2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (x2 − 1)′ = 2x.
  3. limx→1 1x2x = 11 · 2 = 12. Verificare: ln 1,011,012 − 1 ≈ 0,495.

Greșeală frecventă: Aplici regula la limx→1 x + 1x și obții 11 = 1. Înlocuirea dă 21 = 2, nu 00 sau ∞∞, deci regula nu se aplică, iar limita corectă este 2. Verifică întâi forma.

Recapitulare: alegi singur metoda

La o cerință nouă nu ghicești metoda: citești încotro merge x, apoi înlocuiești ca să vezi forma. Forma îți alege metoda.

Un număr: acesta e răspunsul. Număr nenul împărțit la 0: studiezi semnele la stânga și la dreapta. 00 sau ∞∞: descompui, amplifici cu conjugata, compari gradele, folosești o limită fundamentală sau regula lui l'Hôpital, cu derivata dată în enunț.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 − 2x + 1 + ln x. Calculează limx→1 f(x) − ln xx2 − 1.

  1. Înlocuim f: f(x) − ln x = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2, deci expresia este (x − 1)2x2 − 1.
  2. La x = 1 avem 00. Descompunem x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) și simplificăm x − 1.
  3. Rămâne x − 1x + 1, care tinde la 02 = 0.

Greșeală frecventă: Te oprești la 00 și scrii că limita nu există. 00 cere o transformare; singură, această formă nu spune dacă limita există. Dacă limitele laterale există și diferă, limita nu există. Ea poate lipsi și când valorile oscilează fără să se apropie de un rezultat. În exercițiile de aici, transformarea sau compararea limitelor laterale justifică răspunsul.

Limita cu sinus (extra, nu intră în programa M2)

Programa M2 nu cere limite cu funcții trigonometrice; partea aceasta e pentru cine vrea mai mult și poate fi sărită la pregătirea pentru Bac.

sin uu → 1 când u → 0, cu unghiul în radiani. Dacă apare sin(ax), avem nevoie de ax la numitor: sin(ax)x → a. Un produs dintre ceva care tinde la 0 și ceva mărginit, ca sin(1x), tinde la 0.

  • sin uu → 1
  • sin(ax)x → a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 sin(4x)2x.

  1. Scriem sin(4x)2x = [sin(4x)4x] · 42.
  2. Primul factor tinde la 1.
  3. Limita este 42 = 2.

Greșeală frecventă: sin(7x)x → 1. Formula cere același argument sus și jos: sin(7x)7x → 1, deci sin(7x)x → 7.

1 − cos x: o identitate, apoi sinusul (extra, nu intră în programa M2)

Programa M2 nu cere limite cu funcții trigonometrice; partea aceasta e pentru cine vrea mai mult și poate fi sărită la pregătirea pentru Bac.

1 − cos x = 2sin2(x2). Scriem x2 = 4(x2)2, ca să apară pătratul lui sin(x2)x2, care tinde la 1.

  • 1 − cos x = 2sin2(x2)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 1 − cos 2xx2.

  1. 1 − cos 2x = 2sin2x.
  2. 2sin2xx2 = 2 · (sin xx)2.
  3. Limita este 2 · 1 = 2.

Greșeală frecventă: 1 − cos x = sin2x. Identitatea corectă este 1 − cos x = 2sin2(x2); sin2x este 1 − cos2x, altă expresie.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · limită fundamentală exponențială

Calculați limx→0 e2x − 1x.

  1. Pasul 1 — recunoaștem forma apropiată de formula limu→0 eu − 1u = 1.
  2. Pasul 2 — alegem schimbarea de variabilă: u = 2x, iar u → 0 când x → 0.
  3. Pasul 3 — avem nevoie de 2x la numitor, dar avem doar x.
  4. Pasul 4 — rescriem: e2x − 1x = [e2x − 12x]·2.
  5. Pasul 5 — aplicăm limita fundamentală: primul factor tinde la 1.
  6. Pasul 6 — înmulțim: 1·2 = 2. Răspuns final: limita este 2.

Algoritmul universal

  • Citește apropierea: x → a, x → a−, x → a+, x → +∞ sau x → −∞.
  • Încearcă substituția, ca să identifici forma.
  • Clasifică rezultatul: număr finit este de obicei răspunsul; 00 și ∞∞ cer transformare.
  • Alege o singură metodă: factorizare, raționalizare, termen dominant, limită fundamentală sau clește.
  • Scrie transformarea exactă și simplifică numai unde operația este permisă.
  • Verifică restricțiile și, la limite laterale, studiază semnele separat.
  • Aplică din nou limita și formulează concluzia, inclusiv existența limitei bilaterale.

Exerciții rezolvate din lecție (51)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia este un polinom, iar orice polinom este continuu pe ℝ.
    2. Prin urmare limita se obține prin înlocuire directă.
    3. Înlocuim x = 2: 3·2 − 1 = 6 − 1.
    4. Răspuns final: limita este 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Calculați limx→−1 x2 + 2x + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm întâi numitorul: pentru x = −1 obținem −1 + 3 = 2 ≠ 0.
    2. Numitorul nefiind nul, raportul de polinoame este continuu în −1.
    3. Numărătorul: (−1)2 + 2 = 3. Numitorul: 2.
    4. Răspuns final: limita este 32.

    Răspuns: 32

  3. Exercițiul 3

    Calculați limx→3 x2 − 9x − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, formă nedeterminată: trebuie să transformăm expresia.
    2. Factorizăm numărătorul ca diferență de pătrate: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
    3. Pentru x ≠ 3 simplificăm factorul x − 3 și rămâne x + 3.
    4. Aplicăm limita expresiei simplificate: 3 + 3 = 6.
    5. Răspuns final: limita este 6.

    Răspuns: 6

  4. Exercițiul 4

    Calculați limx→1 x3 − 1x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00.
    2. Folosim diferența de cuburi: x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).
    3. Simplificăm factorul x − 1, valabil pentru x ≠ 1.
    4. Rămâne x2 + x + 1, iar la x = 1 obținem 1 + 1 + 1.
    5. Răspuns final: limita este 3.

    Răspuns: 3

  5. Exercițiul 5

    Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 3 − 30 = 00.
    2. Amplificăm cu conjugata numărătorului, x + 5 + 3.
    3. La numărător apare diferența de pătrate: (x + 5) − 9 = x − 4.
    4. Simplificăm x − 4 și rămâne 1x + 5 + 3.
    5. La x = 4 numitorul devine 3 + 3 = 6. Răspuns final: 16.

    Răspuns: 16

  6. Exercițiul 6

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 32x2 + x + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, 2, deci avem forma ∞∞.
    2. Împărțim fiecare termen la x2, puterea dominantă.
    3. Obținem 4 − 3x22 + 1x + 1x2.
    4. Termenii de forma 1x și 1x2 tind la 0, deci raportul tinde la 42.
    5. Regulă scurtă: la grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  7. Exercițiul 7

    Calculați limx→+∞ 5x − 1x2 + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradul numărătorului este 1, iar al numitorului este 2.
    2. Împărțim totul la x2: 5x − 1x21 + 2x2.
    3. Numărătorul tinde la 0, iar numitorul la 1.
    4. Regulă scurtă: dacă gradul numărătorului este mai mic, limita este 0.
    5. Răspuns final: limita este 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Calculați limx→−∞ (2x3 − x).

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul dominant este 2x3, cel cu gradul cel mai mare.
    2. Scoatem factor comun: 2x3 − x = x3(2 − 1x2), iar paranteza tinde la 2 > 0.
    3. Pentru x → −∞ avem x3 → −∞, pentru că puterea este impară.
    4. Produsul dintre o cantitate care tinde la −∞ și una pozitivă tinde la −∞.
    5. Răspuns final: limita este −∞.

    Răspuns: −∞

  9. Exercițiul 9

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este constant 1, deci rămâne pozitiv.
    2. Pentru x → 1−, x − 1 este negativ și foarte apropiat de 0, deci raportul tinde la −∞.
    3. Pentru x → 1+, x − 1 este pozitiv și foarte apropiat de 0, deci raportul tinde la +∞.
    4. Limitele laterale sunt diferite, deci limita bilaterală nu există.
    5. Dreapta x = 1 este asimptotă verticală.

    Răspuns: −∞,+∞

  10. Exercițiul 10

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, dar aceasta este chiar limita fundamentală a funcției exponențiale.
    2. Formula este limu→0 eu − 1u = 1.
    3. Aici u = x, deci se aplică direct.
    4. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  11. Exercițiul 11

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x apropiat de 0 avem 1 + x > 0, deci logaritmul este definit.
    2. Aceasta este limita fundamentală a logaritmului natural: limu→0 ln(1 + u)u = 1.
    3. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  12. Exercițiul 12

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este limita trigonometrică fundamentală, valabilă cu unghiul măsurat în radiani.
    2. Formula este limu→0 sin uu = 1.
    3. Atenție: dacă unghiul ar fi în grade, rezultatul ar fi altul.
    4. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  13. Exercițiul 13

    Fie f(x) = ex(x2 + x − 1). Calculați limx→0 ex + f(x)ex(x2 + 3x).

    Vezi rezolvarea
    1. Scoatem factor comun ex la numărător: ex + ex(x2 + x − 1) = ex(1 + x2 + x − 1) = ex(x2 + x).
    2. Cum ex > 0 pentru orice x, îl simplificăm cu cel de la numitor.
    3. Rămâne x2 + xx2 + 3x = x(x + 1)x(x + 3).
    4. Simplificăm x, valabil pentru x ≠ 0, și rămâne x + 1x + 3.
    5. La x = 0 obținem 13. Răspuns final: 13.

    Răspuns: 13

  14. Exercițiul 14

    Calculați limx→0 e3x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim de la formula limu→0 eu − 1u = 1.
    2. Punem u = 3x, deci avem nevoie de 3x la numitor.
    3. Scriem e3x − 1x = [e3x − 13x]·3.
    4. Primul factor tinde la 1, deci limita este 1·3.
    5. Răspuns final: limita este 3.

    Răspuns: 3

  15. Exercițiul 15

    Calculați limx→0 e2x − 1ex − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim și numărătorul, și numitorul la x, ceea ce este permis pentru x ≠ 0.
    2. Numărătorul devine e2x − 1x, care tinde la 2.
    3. Numitorul devine ex − 1x, care tinde la 1.
    4. Raportul limitelor este 21.
    5. Răspuns final: limita este 2.

    Răspuns: 2

  16. Exercițiul 16

    Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim limu→0 ln(1 + u)u = 1, cu u = 4x.
    2. Scriem ln(1 + 4x)x = [ln(1 + 4x)4x]·4.
    3. Primul factor tinde la 1.
    4. Răspuns final: limita este 4.

    Răspuns: 4

  17. Exercițiul 17

    Exercițiul 39 semi-ghidat · Pentru limx→0 ln(1 + 2x)ex − 1, ce facem ca să folosim limitele fundamentale?

    Vezi rezolvarea
    1. Formulele fundamentale sunt ln(1 + u)u → 1 și eu − 1u → 1.
    2. Ca să le putem folosi, avem nevoie de x la numitorul fiecărei părți.
    3. Împărțim atât numărătorul, cât și numitorul la x; operația este permisă pentru x ≠ 0.

    Răspuns: Împărțim numărătorul și numitorul la x

  18. Exercițiul 18

    Acum calculați limita.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul devine ln(1 + 2x)x = [ln(1 + 2x)2x]·2, care tinde la 2.
    2. Numitorul devine ex − 1x, care tinde la 1.
    3. Raportul limitelor este 21.
    4. Răspuns final: limita este 2.

    Răspuns: 2

  19. Exercițiul 19

    Calculați limx→0 sin(3x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim limu→0 sin uu = 1, cu u = 3x și unghiul în radiani.
    2. Scriem sin(3x)x = [sin(3x)3x]·3.
    3. Primul factor tinde la 1.
    4. Răspuns final: limita este 3.

    Răspuns: 3

  20. Exercițiul 20

    Exercițiul 41 ghidat · Calculați limx→0 1 − cos xx2. Pasul 1: ce formă obținem prin substituție?

    Vezi rezolvarea
    1. La x = 0 avem cos 0 = 1, deci numărătorul devine 1 − 1 = 0.
    2. Numitorul x2 devine tot 0.
    3. Obținem forma nedeterminată 00, care ne cere să transformăm expresia.

    Răspuns: 00, formă nedeterminată

  21. Exercițiul 21

    Pasul 2: ce identitate folosim pentru 1 − cos x?

    Vezi rezolvarea
    1. Din formula cos(2u) = 1 − 2sin2u, cu u = x2, obținem cos x = 1 − 2sin2(x2).
    2. Rezultă 1 − cos x = 2sin2(x2).
    3. Această identitate transformă expresia într-una în care apare sinusul, ca să putem folosi limita fundamentală.

    Răspuns: 1 − cos x = 2sin2(x2)

  22. Exercițiul 22

    Pasul 3: după înlocuire obținem 2sin2(x2)x2. Cum o scriem folosind limita fundamentală?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem x2 = 4·(x2)2, deci 2sin2(x2)x2 = 2sin2(x2)4(x2)2.
    2. Simplificăm coeficientul: 24 = 12.
    3. Rămâne (12)·[sin(x2)x2]2, adică pătratul raportului fundamental.

    Răspuns: (12)·[sin(x2)x2]2

  23. Exercițiul 23

    Pasul 4: calculați limita.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x → 0 avem și x2 → 0.
    2. Din limita fundamentală, sin(x2)x2 → 1.
    3. Prin urmare pătratul tinde la 12 = 1.
    4. Limita este (12)·1 = 12. Răspuns final: 12.

    Răspuns: 12

  24. Exercițiul 24

    Calculați limx→+∞ 2x3 − xx3 + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradele sunt egale, ambele 3.
    2. Limita este raportul coeficienților dominanți: 21.
    3. Răspuns final: limita este 2.

    Răspuns: 2

  25. Exercițiul 25

    Calculați limx→−∞ x3 + 1x2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradul numărătorului, 3, este mai mare decât cel al numitorului, 2.
    2. Raportul se comportă ca x3x2 = x.
    3. Pentru x → −∞ avem x → −∞.
    4. Răspuns final: limita este −∞.

    Răspuns: −∞

  26. Exercițiul 26

    Calculați limx→1 ln xx − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, iar punctul nu este 0, deci facem o schimbare de variabilă.
    2. Punem u = x − 1, deci x = 1 + u, iar u → 0 când x → 1.
    3. Expresia devine ln(1 + u)u.
    4. Aceasta este limita fundamentală a logaritmului, egală cu 1.
    5. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  27. Exercițiul 27

    Calculați limx→0 1 + 2x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00.
    2. Amplificăm cu conjugata 1 + 2x + 1.
    3. La numărător rămâne (1 + 2x) − 1 = 2x.
    4. Simplificăm x și rămâne 21 + 2x + 1.
    5. La x = 0 numitorul devine 1 + 1 = 2, deci limita este 22 = 1.

    Răspuns: 1

  28. Exercițiul 28

    Fie f(x) = ex(x2 + 1). Calculați limx→+∞ f(x)exx2.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuim f: ex(x2 + 1)exx2.
    2. Simplificăm factorul ex, nenul pentru orice x.
    3. Rămâne x2 + 1x2 = 1 + 1x2.
    4. Termenul 1x2 tinde la 0.
    5. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  29. Exercițiul 29

    Exercițiul 47 semi-ghidat · Pentru limx→0 eax − 1x, cât este limita în funcție de a?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem eax − 1x = [eax − 1ax]·a, valabil pentru a ≠ 0.
    2. Cu u = ax avem u → 0, deci primul factor tinde la 1.
    3. Limita este 1·a = a.

    Răspuns: a

  30. Exercițiul 30

    Acum determinați a din condiția ca limita să fie 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Din pasul anterior, limita este a.
    2. Punem a = 5.
    3. Verificare: pentru a = 5 limita devine 5.
    4. Răspuns final: a = 5.

    Răspuns: 5

  31. Exercițiul 31

    Calculați limx→0 x2·sin(1x).

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția sin(1x) oscilează, dar este mărginită: |sin(1x)| ≤ 1.
    2. Prin urmare |x2·sin(1x)| ≤ x2.
    3. Avem încadrarea −x2 ≤ x2·sin(1x) ≤ x2.
    4. Cum ambele margini tind la 0, teorema cleștelui dă limita 0.
    5. Răspuns final: limita este 0.

    Răspuns: 0

  32. Exercițiul 32

    Calculează limx→2 x2−4x−2.

    Vezi rezolvarea
    1. Forma nedeterminată 00. Ambii termeni tind la zero. Forma 00 nu este un rezultat numeric.
    2. x2−4x−2=x+2, pentru x≠2. x2−4=(x−2)(x+2). La limită folosim valori apropiate, dar diferite de 2.
    3. Limita este 4. Funcția x+2 este continuă; înlocuind x cu 2 obținem 2+2=4.

    Răspuns: Limita este 4

  33. Exercițiul 33

    Urmărește tabelul de sub enunț pentru f(x) = 2x + 1. Spre ce număr se apropie f(x) când x se apropie de 3?

    Vezi rezolvarea
    1. În tabel, x se apropie de 3 din stânga și din dreapta .
    2. Valorile f(x) sunt 6,8 și 6,98 din stânga, 7,2 și 7,02 din dreapta: distanța până la 7 scade de fiecare dată.
    3. Ambele părți duc la 7, deci limx→3 (2x + 1) = 7. Aici f(3) = 7, pentru că funcția este continuă.

    Răspuns: 7

  34. Exercițiul 34

    f(x) = x2 − 1x − 1 nu este definită pentru x = 1. Urmărește tabelul și alege afirmația corectă despre limx→1 f(x).

    Vezi rezolvarea
    1. La x = 1 obținem 00, deci f(1) nu este definit.
    2. Din stânga f(x) ia valorile 1,9 și 1,99, iar din dreapta 2,1 și 2,01: ambele părți se apropie de 2.
    3. Concluzie: f(1) nu există, dar limx→1 f(x) = 2. Pe grafic, în (1, 2) este un punct gol.

    Răspuns: f(1) nu există, dar limx→1 f(x) = 2

  35. Exercițiul 35

    Fie f definită prin f(x) = x + 1 pentru x ≠ 2 și f(2) = 5. Cât este limx→2 f(x)?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x ≠ 2, f(x) = x + 1. Când x se apropie de 2, x + 1 se apropie de 2 + 1 = 3.
    2. Valoarea f(2) = 5 nu intervine: limita privește doar punctele din jurul lui 2, nu punctul 2.
    3. Din stânga și din dreapta obținem 3, deci limx→2 f(x) = 3, iar f(2) = 5 este alt număr.

    Răspuns: 3

  36. Exercițiul 36

    Calculează limx→−1 x2 − 4xx − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul la x = −1: −1 − 4 = −5 ≠ 0, deci nu avem 00; funcția este continuă în −1.
    2. Numărătorul: (−1)2 − 4 · (−1) = 1 + 4 = 5.
    3. Limita este 5−5 = −1.

    Răspuns: −1

  37. Exercițiul 37

    Calculează limx→−4 x2 − 16x + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 16 − 16−4 + 4 = 00.
    2. x2 − 16 = (x − 4)(x + 4). Pentru x ≠ −4 simplificăm x + 4 și rămâne x − 4.
    3. Când x → −4, x − 4 → −4 − 4 = −8. Limita este −8.

    Răspuns: −8

  38. Exercițiul 38

    Calculează limx→3 x2 − 5x + 6x − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 9 − 15 + 60 = 00, deci 3 este rădăcină a numărătorului.
    2. x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3); pentru x ≠ 3 simplificăm x − 3.
    3. Rămâne x − 2, care tinde la 3 − 2 = 1.

    Răspuns: 1

  39. Exercițiul 39

    Calculează limx→1 2x2 − x − 1x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 2 − 1 − 11 − 1 = 00.
    2. Rădăcinile lui 2x2 − x − 1 sunt 1 și −12, deci 2x2 − x − 1 = 2(x − 1)(x + 12) = (x − 1)(2x + 1).
    3. Simplificăm x − 1 și rămâne 2x + 1, care tinde la 2 + 1 = 3.

    Răspuns: 3

  40. Exercițiul 40

    Calculează limx→3 x − 3x + 1 − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 0√4 − 2 = 00.
    2. Amplificăm cu x + 1 + 2: la numitor rămâne (x + 1) − 4 = x − 3, care se simplifică cu numărătorul.
    3. Rămâne x + 1 + 2, care tinde la √4 + 2 = 4.

    Răspuns: 4

  41. Exercițiul 41

    Calculează limx→−∞ 2x3 + xx3 − 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, 3.
    2. Împărțim la x3: 2 + 1x21 − 5x3, iar termenii cu x la numitor tind la 0 și la −∞.
    3. Limita este 21 = 2; la grade egale, direcția −∞ nu schimbă rezultatul.

    Răspuns: 2

  42. Exercițiul 42

    Determină limitele laterale ale funcției x − 3x − 1 în punctul 1. Scrie-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul tinde la 1 − 3 = −2, deci este negativ lângă 1.
    2. La stânga, x − 1 < 0: −− dă un număr pozitiv tot mai mare, deci limita este +∞.
    3. La dreapta, x − 1 > 0: −+ dă −∞. Limitele laterale diferă, deci limita în 1 nu există, iar x = 1 este asimptotă verticală.

    Răspuns: +∞,−∞

  43. Exercițiul 43

    Calculează limx→1 3(x − 1)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este 3, pozitiv.
    2. Numitorul (x − 1)2 este pozitiv pentru x ≠ 1 și tinde la 0, de ambele părți.
    3. Un număr pozitiv împărțit la un pozitiv foarte mic tinde la +∞, deci limita este +∞, iar x = 1 este asimptotă verticală.

    Răspuns: +∞

  44. Exercițiul 44

    Calculează limx→0 e3x − 1ln(1 + 6x).

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x, operație permisă pentru x ≠ 0.
    2. e3x − 1x → 3 și ln(1 + 6x)x → 6.
    3. Limita este 36 = 12.

    Răspuns: 12

  45. Exercițiul 45

    Fie f(x) = ex(x2 + 3x). Calculează limx→0 f(x)x·ex + x2·ex.

    Vezi rezolvarea
    1. f(x) = ex · x(x + 3), iar numitorul este x·ex + x2·ex = ex · x(1 + x).
    2. Simplificăm ex ≠ 0 și x ≠ 0: rămâne x + 31 + x.
    3. La x = 0: 31 = 3.

    Răspuns: 3

  46. Exercițiul 46

    Calculează limx→0 ex − 1x2 + 3x.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 1 − 10 = 00.
    2. Regula lui l'Hôpital: (ex − 1)′ = ex și (x2 + 3x)′ = 2x + 3.
    3. La x = 0: e03 = 13. Verificare: ex − 1x · 1x + 3 → 1 · 13.

    Răspuns: 13

  47. Exercițiul 47

    Calculează limx→+∞ x2ex.

    Vezi rezolvarea
    1. La +∞, x2 → +∞ și ex → +∞: forma ∞∞.
    2. Prima aplicare dă 2xex, tot ∞∞; a doua dă 2ex.
    3. 2ex → 0, deci lim x2ex = 0: exponențiala crește mai repede decât orice putere a lui x.

    Răspuns: 0

  48. Exercițiul 48

    Fie f(x) = x2 + ln x − 1, cu f′(x) = 2x + 1x. Calculează limx→1 f(x)x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = 1 + 0 − 1 = 0, iar x − 1 → 0: forma 00.
    2. Regula lui l'Hôpital: lim f(x)x − 1 = lim f′(x)1 = lim (2x + 1x).
    3. La x = 1: 2 + 1 = 3.

    Răspuns: 3

  49. Exercițiul 49

    Fie f(x) = ex(x2 − 4x). Calculează limx→0 f(x) + 2xf(x) − 2x.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim sus și jos la x ≠ 0: f(x)x + 2f(x)x − 2.
    2. f(x)x = ex(x − 4), care tinde la e0 · (−4) = −4.
    3. Limita este −4 + 2−4 − 2 = −2−6 = 13.

    Răspuns: 13

  50. Exercițiul 50

    Fie f(x) = x2 + 2x − 3 + 2ln x. Calculează limx→1 f(x)ln x.

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = 1 + 2 − 3 + 0 = 0 și ln 1 = 0: forma 00.
    2. Regula lui l'Hôpital: f′(x) = 2x + 2 + 2x, iar (ln x)′ = 1x.
    3. La x = 1: 2 + 2 + 21 = 6.

    Răspuns: 6

  51. Exercițiul 51

    Fie f(x) = x3 − 3ln x, cu f′(x) = 3x2 − 3x. Calculează limx→+∞ f′(x)x2.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x)x2 = 3x2 − 3xx2 = 3 − 3x3.
    2. Când x → +∞, 3x3 → 0.
    3. Limita este 3.

    Răspuns: 3

Fișa integrală · nucleu comun și profil Științe (26)

  1. 1. Substituție

    Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi răspunsul

    5

  2. 2. Substituție

    Calculați limx→−1 x2 + 2x + 3.

    Vezi răspunsul

    1 + 2−1 + 3 = 32

  3. 3. Forma 0/0

    Calculați limx→3 x2 − 9x − 3.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 3) = 6

  4. 4. Forma 0/0

    Calculați limx→1 x3 − 1x − 1.

    Vezi răspunsul

    lim (x2 + x + 1) = 3

  5. 5. Raționalizare

    Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

    Vezi răspunsul

    lim 1x + 5 + 3 = 16

  6. 6. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 32x2 + x + 1.

    Vezi răspunsul

    2

  7. 7. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 5x − 1x2 + 2.

    Vezi răspunsul

    0

  8. 8. Polinom la infinit

    Calculați limx→−∞ (2x3 − x).

    Vezi răspunsul

    −∞

  9. 9. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  10. 10. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi răspunsul

    1

  11. 11. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi răspunsul

    1

  12. 12. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi răspunsul

    1

  13. 35. Cerință cu funcție

    Fie f(x) = ex(x2 + x − 1). Calculați limx→0 ex + f(x)ex(x2 + 3x).

    Vezi răspunsul

    ex + f(x) = ex(x2 + x), deci limita este lim (x + 1)x + 3 = 13.

  14. 36. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 e3x − 1x.

    Vezi răspunsul

    3

  15. 37. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 e2x − 1ex − 1.

    Vezi răspunsul

    lim (ex + 1) = 2

  16. 38. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.

    Vezi răspunsul

    4

  17. 39. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ln(1 + 2x)ex − 1.

    Vezi răspunsul

    2

  18. 40. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 sin(3x)x.

    Vezi răspunsul

    3

  19. 41. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 1 − cos xx2.

    Vezi răspunsul

    12

  20. 42. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 2x3 − xx3 + 4.

    Vezi răspunsul

    2

  21. 43. Limită la infinit

    Calculați limx→−∞ x3 + 1x2 + 1.

    Vezi răspunsul

    −∞

  22. 44. Limită fundamentală

    Calculați limx→1 ln xx − 1.

    Vezi răspunsul

    1

  23. 45. Raționalizare

    Calculați limx→0 1 + 2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    1

  24. 46. Cerință cu funcție

    Fie f(x) = ex(x2 + 1). Calculați limx→+∞ f(x)exx2.

    Vezi răspunsul

    lim (x2 + 1)x2 = 1

  25. 47. Parametru

    Determinați a ∈ ℝ dacă limx→0 eax − 1x = 5.

    Vezi răspunsul

    a = 5

  26. 48. Teorema cleștelui

    Calculați limx→0 x2·sin(1x).

    Vezi răspunsul

    0: |x2 sin(1x)| ≤ x2 → 0 (teorema cleștelui).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.