Limite fundamentale și forme nedeterminate · nivel M2

Lecția M2 combină formele nedeterminate algebrice cu limitele fundamentale ale funcțiilor exponențiale, logaritmice și trigonometrice.

Tehnica de bază este mereu aceeași: creezi la numitor exact expresia care apare în argument.

Ce este o limită și cum începem

O limită descrie spre ce valoare se apropie funcția, nu neapărat cât valorează în punct. De aceea o funcție poate avea limită în a chiar dacă nu este definită pentru x = a. Primul gest corect este întotdeauna substituția: ea îți spune dacă ai un rezultat direct sau o formă nedeterminată.

limx→a f(x) = f(a), dacă f este continuă în a

x → a⁻: apropiere prin valori mai mici; x → a⁺: prin valori mai mari

Polinoamele sunt continue pe ℝ

O fracție de polinoame este continuă unde numitorul nu se anulează

00 și ∞/∞ sunt forme nedeterminate: ele indică metoda, nu rezultatul.
Nu înlocui x = a înainte de a simplifica factorul care produce 00.
Verifică restricțiile: numitor nenul, argument de logaritm pozitiv, radical definit.

Forma 0/0: factorizare și raționalizare

x² − a² = (x − a)(x + a)

x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)

xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + … + x + 1)

Raționalizare: amplifici cu conjugata, folosind (A − B)(A + B) = A² − B²

Caută factorul care se anulează: el este cauza formei 00.
Simplificarea este permisă pentru x ≠ a, iar limita privește exact valorile apropiate de a.
La radicali, conjugata elimină radicalul din partea unde apare nedeterminarea.

Limitele fundamentale

Aceste formule rezolvă majoritatea nedeterminărilor 00 cu exponențiale, logaritmi sau funcții trigonometrice. Tehnica este mereu aceeași: creezi la numitor exact expresia care apare în argument.

limu→0 e^u − 1u = 1

limu→0 ln(1 + u)u = 1

limu→0 sin uu = 1, cu unghiul în radiani

limu→0 1 − cos uu² = 12, folosind 1 − cos u = 2sin²(u2)

Teorema cleștelui: dacă g ≤ f ≤ h și g, h au aceeași limită, atunci și f o are

Pentru e^(ax) − 1x scrii [e^(ax) − 1ax]·a, deci limita este a.
Pentru sin(ax)x limita este a, prin același procedeu.
Când raportul are două funcții diferite, împarte numărătorul și numitorul la x.

Limite la infinit

La ±∞ contează numai termenii dominanți. Compară gradele numărătorului și numitorului, iar la diferențe cu radicali folosește tot conjugata.

Grade egale: limita este raportul coeficienților dominanți

Grad mai mic la numărător: limita este 0

Grad mai mare la numărător: limita este ±∞, după semn

1x → 0 și 1x² → 0 când x → ±∞

∞ − ∞ cu radicali: amplifică cu conjugata

Împarte fiecare termen la puterea dominantă a lui x.
La x → −∞, atenție la paritatea puterii: x³ → −∞, dar x² → +∞.
Când scoți x de sub radical pentru x > 0, ai x² + 1x = 1 + 1x².

Limite laterale și asimptote

Limita bilaterală există ⇔ limitele laterale există și sunt egale

x = a este asimptotă verticală dacă o limită laterală în a este infinită

y = L este asimptotă orizontală dacă limx→±∞ f(x) = L

Număr nenul / 0 cere studiu de semn, nu este formă nedeterminată

Stabilește separat semnul numărătorului și al numitorului, la stânga și la dreapta.
Dacă numitorul este un pătrat, semnul este același din ambele părți.
Dacă limitele laterale diferă, spune explicit că limita bilaterală nu există.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · limită fundamentală exponențială

Calculați limx→0 e^2x − 1x.

1.Pasul 1 — recunoaștem forma apropiată de formula limu→0 e^u − 1u = 1.
2.Pasul 2 — alegem schimbarea de variabilă: u = 2x, iar u → 0 când x → 0.
3.Pasul 3 — avem nevoie de 2x la numitor, dar avem doar x.
4.Pasul 4 — rescriem: e^2x − 1x = [e^2x − 12x]·2.
5.Pasul 5 — aplicăm limita fundamentală: primul factor tinde la 1.
6.Pasul 6 — înmulțim: 1·2 = 2. Răspuns final: limita este 2.

Algoritmul universal

Citește apropierea: x → a, x → a⁻, x → a⁺, x → +∞ sau x → −∞.
Încearcă substituția, ca să identifici forma.
Clasifică rezultatul: număr finit este de obicei răspunsul; 00 și ∞/∞ cer transformare.
Alege o singură metodă: factorizare, raționalizare, termen dominant, limită fundamentală sau clește.
Scrie transformarea exactă și simplifică numai unde operația este permisă.
Verifică restricțiile și, la limite laterale, studiază semnele separat.
Aplică din nou limita și formulează concluzia, inclusiv existența limitei bilaterale.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Științe · 26 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1SubstituțieM2 · Științe
Calculați limx→2 (3x − 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 2SubstituțieM2 · Științe
Calculați limx→−1 x² + 2x + 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + 2−1 + 3 = 32
Ex. 3Forma 0/0M2 · Științe
Calculați limx→3 x² − 9x − 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 3) = 6
Ex. 4Forma 0/0M2 · Științe
Calculați limx→1 x³ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² + x + 1) = 3
Ex. 5RaționalizareM2 · Științe
Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x + 5 + 3) = 16
Ex. 6Limită la infinitM2 · Științe
Calculați limx→+∞ 4x² − 32x² + x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 7Limită la infinitM2 · Științe
Calculați limx→+∞ 5x − 1x² + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 8Polinom la infinitM2 · Științe
Calculați limx→−∞ (2x³ − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 9Limite lateraleM2 · Științe
Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞,+∞
Ex. 10Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 e^x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 11Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 ln(1 + x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 12Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 sin xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 35Cerință cu funcțieM2 · Științe
Fie f(x) = e^x(x² + x − 1). Calculați limx→0 e^x + f(x)e^x(x² + 3x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
e^x + f(x) = e^x(x² + x), deci limita este lim x + 1x + 3 = 13.
Ex. 36Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 e^3x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 37Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 e^2x − 1e^x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (e^x + 1) = 2
Ex. 38Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 ln(1 + 4x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4
Ex. 39Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 ln(1 + 2x)e^x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 40Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 sin(3x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 41Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→0 1 − cos xx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12
Ex. 42Limită la infinitM2 · Științe
Calculați limx→+∞ 2x³ − xx³ + 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 43Limită la infinitM2 · Științe
Calculați limx→−∞ x³ + 1x² + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 44Limită fundamentalăM2 · Științe
Calculați limx→1 ln xx − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 45RaționalizareM2 · Științe
Calculați limx→0 1 + 2x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 46Cerință cu funcțieM2 · Științe
Fie f(x) = e^x(x² + 1). Calculați limx→+∞ f(x)e^xx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim x² + 1x² = 1
Ex. 47ParametruM2 · Științe
Determinați a ∈ ℝ dacă limx→0 e^(ax) − 1x = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 5
Ex. 48Teorema cleșteluiM2 · Științe
Calculați limx→0 x²·sin(1x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0: |x² sin(1x)| ≤ x² → 0 (teorema cleștelui).