Încărcăm partea curentă…

Limite, parametri și primitive · nivel M1

Ce înseamnă o limită

limx→a f(x) = L se citește „limita lui f(x) când x tinde la a este L”. Înseamnă că, dacă luăm x tot mai aproape de a (dar diferit de a), valorile f(x) ajung oricât de aproape de L.

Dacă funcția este definită de ambele părți ale lui a, ne apropiem din stânga, cu x < a (notăm x → a−), și din dreapta, cu x > a (notăm x → a+). Limita există dacă ambele limite laterale există și sunt egale. La capătul domeniului ne apropiem doar din partea unde funcția este definită: de exemplu, pentru √x în 0 venim din dreapta.

Limita nu este neapărat f(a). Funcția poate să nu fie definită în a (pe grafic apare un punct gol) sau poate avea în a altă valoare: limita privește doar ce se întâmplă în jurul lui a.

De ținut minte

limx→a f(x) = L
x → a−: x < a, tot mai aproape de a
x → a+: x > a, tot mai aproape de a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 + 3xx, definită pentru x ≠ 0. Spre ce se apropie f(x) când x → 0?

  1. 1f(0) nu există: la x = 0 numitorul este 0. Ne uităm deci la valori apropiate de 0.
  2. 2Din stânga: f(−0,1) = 2,9 și f(−0,01) = 2,99. Din dreapta: f(0,1) = 3,1 și f(0,01) = 3,01.
  3. 3Pentru x ≠ 0, x2 + 3x = x(x + 3), deci f(x) = x + 3: graficul este dreapta y = x + 3 fără punctul (0, 3).
  4. 4Ambele părți se apropie de 3, deci limx→0 f(x) = 3, deși f(0) nu există.

Greșeală frecventă

Greșit: „Limita în a este întotdeauna f(a)”, adică se află mereu înlocuind x = a.

De ce: Înlocuirea merge doar când funcția e continuă în a. Limita descrie valorile din jurul lui a: f(a) poate lipsi sau poate fi alt număr.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Limite, parametri și primitive · nivel M1: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Fiecare parte are o idee mică, un exemplu rezolvat (des cu desen animat), o greșeală de evitat și trei probleme: una directă, una cu o mică variație și una pe care o rezolvi singur.

Ce înseamnă o limită

limx→a f(x) = L se citește „limita lui f(x) când x tinde la a este L”. Înseamnă că, dacă luăm x tot mai aproape de a (dar diferit de a), valorile f(x) ajung oricât de aproape de L.

Dacă funcția este definită de ambele părți ale lui a, ne apropiem din stânga, cu x < a (notăm x → a−), și din dreapta, cu x > a (notăm x → a+). Limita există dacă ambele limite laterale există și sunt egale. La capătul domeniului ne apropiem doar din partea unde funcția este definită: de exemplu, pentru √x în 0 venim din dreapta.

Limita nu este neapărat f(a). Funcția poate să nu fie definită în a (pe grafic apare un punct gol) sau poate avea în a altă valoare: limita privește doar ce se întâmplă în jurul lui a.

  • limx→a f(x) = L
  • x → a−: x < a, tot mai aproape de a
  • x → a+: x > a, tot mai aproape de a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x2 + 3xx, definită pentru x ≠ 0. Spre ce se apropie f(x) când x → 0?

  1. f(0) nu există: la x = 0 numitorul este 0. Ne uităm deci la valori apropiate de 0.
  2. Din stânga: f(−0,1) = 2,9 și f(−0,01) = 2,99. Din dreapta: f(0,1) = 3,1 și f(0,01) = 3,01.
  3. Pentru x ≠ 0, x2 + 3x = x(x + 3), deci f(x) = x + 3: graficul este dreapta y = x + 3 fără punctul (0, 3).
  4. Ambele părți se apropie de 3, deci limx→0 f(x) = 3, deși f(0) nu există.

Greșeală frecventă: „Limita în a este întotdeauna f(a)”, adică se află mereu înlocuind x = a. Înlocuirea merge doar când funcția e continuă în a. Limita descrie valorile din jurul lui a: f(a) poate lipsi sau poate fi alt număr.

Înlocuirea directă

Dacă f este continuă în a, limita este chiar f(a): înlocuim x = a. Polinoamele sunt continue peste tot.

La o fracție verificăm întâi numitorul chiar în punctul a. Dacă nu este 0, calculăm separat numărătorul și numitorul și împărțim.

  • limx→a f(x) = f(a), dacă f e continuă în a
  • numitorul în a ≠ 0 ⇒ înlocuim direct

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→3 x2 + 1x − 1.

  1. Numitorul la x = 3: 3 − 1 = 2 ≠ 0, deci înlocuirea directă este permisă.
  2. Numărătorul: 32 + 1 = 10.
  3. Limita este 102 = 5. Verificare: f(2,99) ≈ 4,995 și f(3,01) ≈ 5,005, foarte aproape de 5.

Greșeală frecventă: „x2 − 2xx − 2 cu x → 4 dă 00, pentru că la numitor apare x − 2.” Numitorul se verifică în punctul cerut: la x = 4, x − 2 = 2 ≠ 0. Înlocuiești direct: 16 − 82 = 4.

Forma 00: diferența de pătrate

Dacă înlocuirea dă 00, încă nu știm limita: 00 este o formă nedeterminată. Când numărătorul și numitorul sunt polinoame care se anulează amândouă în a, ele au un factor comun x − a (la radicali, logaritmi sau exponențiale folosim alte metode, în părțile următoare).

Când numărătorul este o diferență de pătrate, îl descompunem: x2 − a2 = (x − a)(x + a). Simplificăm factorul x − a, ceea ce e permis pentru x ≠ a (exact valorile la care se uită limita), apoi înlocuim în ce a rămas.

  • x2 − a2 = (x − a)(x + a)
  • 00 ⇒ descompunem, simplificăm, apoi înlocuim

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→5 x2 − 25x − 5.

  1. Înlocuirea dă 25 − 255 − 5 = 00: trebuie să transformăm expresia.
  2. x2 − 25 = (x − 5)(x + 5). Pentru x ≠ 5 simplificăm x − 5 și rămâne x + 5.
  3. Când x → 5, x + 5 → 10. Limita este 10, deși expresia inițială nu este definită în 5.

Greșeală frecventă: „00 = 0”, sau „00, deci limita nu există”. 00 nu este un rezultat, ci un semnal că trebuie să transformăm expresia. În acest exemplu, polinoamele au factorul comun x − 5, pe care îl simplificăm pentru x ≠ 5. Tabelul arată că valorile se apropie de un număr precis.

Forma 00: trinom, cuburi și puteri

Dacă a anulează un polinom, atunci x − a este un factor al lui. La un trinom ax2 + bx + c cu rădăcinile x1 și x2 scriem ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Pentru cuburi folosim x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2). După descompunere simplificăm factorul care produce 00 și înlocuim în ce a rămas.

La M1 apare și xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + … + x + 1): paranteza are n termeni, toți cu plus. Verificare pentru n = 3: (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 1. La x = 1, fiecare termen al parantezei devine 1.

  • ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
  • x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2)
  • xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + … + x + 1)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→2 x2 + x − 6x − 2.

  1. Înlocuirea dă 4 + 2 − 60 = 00, deci 2 este rădăcină a numărătorului.
  2. Rădăcinile lui x2 + x − 6 sunt 2 și −3, deci x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3).
  3. Simplificăm x − 2 (pentru x ≠ 2) și rămâne x + 3, care tinde la 2 + 3 = 5.

Greșeală frecventă: x2 + x − 6 = (x + 2)(x − 3). Verifică prin înmulțire: (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6. Factorii corecți vin din rădăcini: 2 și −3 dau (x − 2)(x + 3).

Forma 00 cu radical: conjugata

Când în forma 00 apare un radical, nu putem descompune direct. Amplificăm fracția cu conjugata: pentru √A − B folosim √A + B (aceiași termeni, cu semnul din mijloc schimbat).

Produsul (√A − B)(√A + B) = A − B2 nu mai conține radical. Apare factorul care se anulează; îl simplificăm, iar conjugata rămâne în cealaltă parte a fracției. Apoi înlocuim.

  • (√A − B)(√A + B) = A − B2
  • conjugata lui √A − B este √A + B

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→1 x + 3 − 2x − 1.

  1. Înlocuirea dă √4 − 20 = 00.
  2. Amplificăm cu x + 3 + 2: la numărător rămâne (x + 3) − 4 = x − 1.
  3. Simplificăm x − 1 și rămâne 1x + 3 + 2, care tinde la 12 + 2 = 14.

Greșeală frecventă: Amplifici cu aceeași expresie, x + 3 − 2, sau scrii (x + 3)2 = (x + 3)2. Conjugata are semnul schimbat, x + 3 + 2, iar un radical la pătrat dă exact ce e sub el: (x + 3)2 = x + 3.

Limite la infinit: gradul decide

La x → +∞ sau x → −∞ nu înlocuim: ∞ nu este un număr. Contează doar termenii cu puterea cea mai mare (termenii dominanți); ceilalți devin neglijabili.

Într-un raport de polinoame comparăm gradele. La grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă numitorul are gradul mai mare, limita este 0; dacă numărătorul are gradul mai mare, limita este +∞ sau −∞.

Semnul la infinit îl dau coeficientul dominant și direcția: pentru x → −∞, x2 → +∞, dar x3 → −∞.

  • grade egale: raportul coeficienților dominanți
  • grad mai mic sus: 0
  • grad mai mare sus: ±∞

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ 9x2 + 13x2 − x.

  1. Numărătorul și numitorul au gradul 2: forma ∞∞.
  2. Împărțim fiecare termen la x2: 9 + 1x23 − 1x, iar 1x2 → 0 și 1x → 0.
  3. Limita este 93 = 3. Dreapta y = 3 este asimptotă orizontală spre +∞.

Greșeală frecventă: „∞∞ = 1”, pentru că sus și jos e infinit. Infinitul nu se simplifică: 2x2x2 → 2, dar x2x → +∞. Rezultatul îl dau gradele și coeficienții dominanți.

Limite laterale și asimptota verticală

Dacă numitorul tinde la 0, iar numărătorul la un număr nenul, raportul crește nelimitat în valoare absolută: limita este +∞ sau −∞. Nu e o formă nedeterminată; trebuie doar stabilit semnul.

Semnul îl aflăm separat la stânga (x → a−, x < a) și la dreapta (x → a+, x > a), din semnul numărătorului și al numitorului. Dacă limitele laterale diferă, limita în a nu există.

Dacă o limită laterală în a este +∞ sau −∞, dreapta x = a este asimptotă verticală. Când numitorul este un pătrat, semnul lui este același de ambele părți.

  • număr ≠ 0 împărțit la ceva care tinde la 0 ⇒ ±∞
  • limitele laterale diferite ⇒ limita nu există
  • o limită laterală infinită în a ⇒ x = a asimptotă verticală

Exemplu rezolvat, cu alte date

Află limitele laterale ale lui 2x − 3 în 3.

  1. Numărătorul 2 este pozitiv.
  2. La stânga, x − 3 < 0 și tinde la 0: raportul tinde la −∞.
  3. La dreapta, x − 3 > 0: raportul tinde la +∞. Limita în 3 nu există, iar x = 3 este asimptotă verticală.

Greșeală frecventă: „Numitorul tinde la 0, deci limita este +∞”, fără să te uiți la semne. Semnul contează: 2x − 3 este negativ la stânga lui 3 (x − 3 < 0) și pozitiv la dreapta. Fiecare parte se studiază separat.

∞ − ∞ cu radicali: conjugata la infinit

x2 + bx − x are la +∞ forma ∞ − ∞: ambii termeni cresc nelimitat, iar diferența lor nu se poate citi direct.

Amplificăm cu conjugata x2 + bx + x. La numărător rămâne (x2 + bx) − x2 = bx, iar la numitor o sumă. Împărțim apoi numărătorul și numitorul la x > 0, folosind x2 + bxx = 1 + bx.

  • √A − B = A − B2√A + B
  • pentru x > 0: x2 + bxx = 1 + bx

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ (x2 + 2x − x).

  1. Forma ∞ − ∞; amplificăm cu x2 + 2x + x.
  2. La numărător: (x2 + 2x) − x2 = 2x. Expresia devine 2xx2 + 2x + x.
  3. Împărțim la x: 21 + 2x + 1 → 21 + 1 = 1.

Greșeală frecventă: x2 + 2x − x → ∞ − ∞ = 0. ∞ − ∞ nu este 0: aici rezultatul e 1, iar la x2 + 6x − x ar fi 3. Doar după amplificarea cu conjugata se vede limita.

Asimptota oblică

Dreapta y = mx + n este asimptotă oblică spre +∞ dacă diferența f(x) − (mx + n) tinde la 0: graficul se lipește de dreaptă.

Panta și ordonata la origine se află cu două limite: m = lim f(x)x (un număr finit, nenul), apoi n = lim (f(x) − mx). La o fracție de polinoame cu gradul numărătorului cu 1 mai mare poți și să împarți polinoamele: câtul este mx + n.

  • m = limx→+∞ f(x)x
  • n = limx→+∞ (f(x) − mx)
  • asimptota: y = mx + n

Exemplu rezolvat, cu alte date

Află asimptota oblică spre +∞ pentru f(x) = x2 + 3x + 1.

  1. m = lim f(x)x = lim (x2 + 3)x2 + x = 1, pentru că gradele sunt egale.
  2. n = lim (f(x) − x) = lim (x2 + 3 − x2 − x)x + 1 = lim (3 − x)x + 1 = −1.
  3. Asimptota oblică este y = x − 1. Verificare: x2 + 3 = (x + 1)(x − 1) + 4, deci f(x) = x − 1 + 4x + 1.

Greșeală frecventă: Calculezi m, apoi spui că asimptota este y = mx, fără n. Trebuie aflat și n = lim (f(x) − mx). La x2 + 3x + 1, n = −1, deci dreapta este y = x − 1, nu y = x.

Limitele fundamentale

Trei limite de forma 00 se folosesc ca formule: eu − 1u, ln(1 + u)u și sin uu tind toate la 1 când u → 0. La sinus, unghiul se măsoară în radiani.

Le recunoaștem după formă: aceeași expresie u apare în funcție și la numitor, iar u tinde la 0.

  • eu − 1u → 1
  • ln(1 + u)u → 1
  • sin uu → 1

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 ln(1 + x)2x.

  1. Înlocuirea dă ln 10 = 00.
  2. Scriem ln(1 + x)2x = (12) · ln(1 + x)x, iar ln(1 + x)x → 1.
  3. Limita este (12) · 1 = 12. Tabelul confirmă: valorile se strâng în jurul lui 0,5.

Greșeală frecventă: ex − 1x → 0, pentru că sus și jos totul tinde la 0. 00 este nedeterminare. Pentru x mic, ex − 1 este aproape egal cu x (e0,01 − 1 ≈ 0,01005), deci raportul se apropie de 1, nu de 0.

Limitele fundamentale cu u = ax

Dacă în funcție apare ax, avem nevoie de ax și la numitor: înmulțim și împărțim cu a. Așa eax − 1x tinde la a; la fel ln(1 + ax)x și sin(ax)x. Atenție la semn: ln(1 − 2x) = ln(1 + u) cu u = −2x.

Într-un raport de două astfel de expresii împărțim sus și jos la x și facem raportul limitelor.

  • eax − 1x → a
  • ln(1 + ax)x → a
  • sin(ax)x → a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 e4x − 1x.

  1. Scriem e4x − 1x = [e4x − 14x] · 4.
  2. Cu u = 4x → 0, primul factor tinde la 1.
  3. Limita este 1 · 4 = 4.

Greșeală frecventă: e7x − 1x → 1, ca la formula fundamentală. Formula cere același u sus și jos: e7x − 17x → 1. Cu x la numitor, rezultatul se înmulțește cu 7, deci limita este 7.

Raport de limite fundamentale și parametri

Când sus și jos apar două expresii de tipul eu − 1, ln(1 + u) sau sin u, împărțim și numărătorul, și numitorul la x. Fiecare parte tinde la un număr, iar limita este raportul lor.

Dacă apare un parametru a, calculăm întâi limita în funcție de a, de exemplu eax − 1x → a, apoi punem condiția din enunț și rezolvăm ecuația.

  • împărțim sus și jos la x
  • eax − 1x → a
  • ln(1 + ax)x → a
  • sin(ax)x → a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 ln(1 + 4x)e2x − 1.

  1. Împărțim numărătorul și numitorul la x, operație permisă pentru x ≠ 0.
  2. ln(1 + 4x)x → 4, iar e2x − 1x → 2.
  3. Limita este 42 = 2.

Greșeală frecventă: Simplifici „ln” cu „e”, sau x-ul din exponent cu cel de la numitor. Funcțiile nu se simplifică între ele. Doar după împărțirea la x fiecare parte devine o limită fundamentală, cu limita ei.

Regula lui l'Hôpital

Regula se aplică doar în cazurile 00 sau ∞∞. Dacă f și g sunt derivabile lângă a, g′(x) ≠ 0 lângă a și limita lui f′(x)g′(x) există, atunci lim f(x)g(x) = lim f′(x)g′(x).

Derivăm separat numărătorul și numitorul; nu derivăm fracția ca pe un cât. Dacă după derivare obținem tot 00 sau ∞∞, putem aplica regula încă o dată.

Derivatele folosite cel mai des: (xn)′ = nxn−1, (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x, (√x)′ = 12√x, iar o constantă are derivata 0. La un produs, (uv)′ = u′v + uv′. La Bac, derivata funcției date apare adesea calculată chiar la punctul a).

  • 00 sau ∞∞: lim fg = lim f′g′
  • (xn)′ = nxn−1, (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→1 ln xx2 − 1.

  1. Înlocuirea dă ln 11 − 1 = 00, deci regula se poate aplica.
  2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (x2 − 1)′ = 2x.
  3. limx→1 1x2x = 11 · 2 = 12. Verificare: ln 1,011,012 − 1 ≈ 0,495.

Greșeală frecventă: Aplici regula la limx→1 x + 1x și obții 11 = 1. Înlocuirea dă 21 = 2, nu 00 sau ∞∞, deci regula nu se aplică, iar limita corectă este 2. Verifică întâi forma.

Limite cu primitive și integrale

Dacă F este o primitivă a lui f, atunci F′ = f. Când F(0) = 0, raportul F(x)x = F(x) − F(0)x − 0 tinde la F′(0) = f(0): este chiar definiția derivatei.

Pentru o integrală cu capătul de sus variabil, G(x) = ∫0x g(t)dt, avem G(0) = 0 și G′(x) = g(x), dacă g e continuă. De aceea limitele cu integrale de forma 00 se rezolvă cu regula lui l'Hôpital.

Când la numitor apare F2(x), derivata lui este 2F(x)·F′(x) = 2F(x)·f(x): derivăm pătratul, apoi înmulțim cu derivata lui F.

  • F(0) = 0 ⇒ F(x)x → F′(0) = f(0)
  • (∫0x g(t)dt)′ = g(x)
  • (F2(x))′ = 2F(x)·f(x)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→0 (1x2)·∫0x 4t·et dt.

  1. Numărătorul ∫0x 4t·et dt și numitorul x2 tind la 0: forma 00.
  2. Regula lui l'Hôpital: (∫0x 4t·et dt)′ = 4x·ex, iar (x2)′ = 2x.
  3. limx→0 4x·ex2x = limx→0 2ex = 2.

Greșeală frecventă: Derivata lui ∫0x F(t)dt este F′(x) = f(x). Derivata integralei cu capătul de sus x este funcția de sub integrală, calculată în x: F(x). Abia la o a doua derivare apare f(x).

Cazul 1^∞ și numărul e

O putere f(x)g(x) în care baza tinde la 1 și exponentul la ±∞ este o nedeterminare: 1^∞ nu este 1. O bază puțin peste 1, ridicată la o putere uriașă, poate da orice rezultat.

Folosim limita (1 + u)1u → e când u → 0 (e ≈ 2,718). Scriem baza ca 1 + u, cu u = f(x) − 1 → 0, și obținem f(x)g(x) → eL, unde L = lim (f(x) − 1)·g(x).

  • (1 + u)1u → e, când u → 0
  • f → 1, g → ±∞: fg → eL, L = lim (f − 1)·g
  • (1 + ax)x → ea, când x → +∞

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează limx→+∞ (1 + 2x)^x.

  1. Baza tinde la 1, exponentul la +∞: cazul 1^∞.
  2. u = 2x → 0, iar L = lim (2x) · x = 2.
  3. Limita este e2 ≈ 7,389, nu 1.

Greșeală frecventă: „1^∞ = 1”, deci (1 + 2x)x → 1. Baza nu este exact 1, ci puțin peste 1, iar exponentul crește. Tabelul arată 3; 4; 5,38; 6,19; 6,93… spre e2 ≈ 7,39.

Recapitulare: alegi singur metoda

La o cerință nouă nu ghicești metoda: citești încotro merge x, apoi înlocuiești ca să vezi forma. Forma îți alege metoda.

Un număr: acesta e răspunsul. Număr nenul împărțit la 0: studiezi semnele la stânga și la dreapta. 00 sau ∞∞: descompui, amplifici cu conjugata, compari gradele, folosești o limită fundamentală sau regula lui l'Hôpital. ∞ − ∞: conjugata sau aducerea la același numitor. 1^∞: eL.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Fie f(x) = x3 + x2 + 2x2 + 1. Arată că y = x + 1 este asimptota oblică spre +∞.

  1. m = lim f(x)x = lim (x3 + x2 + 2)x3 + x = 1, pentru că gradele sunt egale.
  2. n = lim (f(x) − x) = lim (x3 + x2 + 2 − x3 − x)x2 + 1 = lim (x2 − x + 2)x2 + 1 = 1.
  3. Asimptota oblică spre +∞ este y = mx + n = x + 1.

Greșeală frecventă: La Bac scrii direct rezultatul, fără forma de pornire. Baremul punctează pașii: forma (00, ∞∞, 1^∞), metoda aleasă și calculul. Scrie fiecare dintre ei.

Radicalul cubic: diferența de cuburi

La ∛u − a, conjugata de la radicalul pătrat nu ajută. Folosim identitatea u3 − a3 = (u − a)(u2 + au + a2), cu u egal cu radicalul cubic.

Înmulțim numărătorul și numitorul cu factorul pătratic, simplificăm numai pentru x ≠ 0, apoi calculăm limita. Factorul nou este nenul în apropierea punctului din exemplu.

  • (u − a)(u2 + au + a2) = u3 − a3

Exemplu complet · alte date

Calculează limx→0 ∛(x + 27) − 3x.

  1. Înlocuirea dă 00. Notăm u = ∛(x + 27); u3 − 27 = x.
  2. Înmulțim cu u2 + 3u + 9: raportul devine xx(u2 + 3u + 9).
  3. Pentru x ≠ 0 simplificăm x. Când x → 0, u → 3 și numitorul tinde la 9 + 9 + 9 = 27.
  4. Limita este 127. Simplificarea nu pretinde că formula inițială era definită în 0.

Greșeală frecventă: Înmulțim doar cu ∛(x + 27) + 3, ca la radicalul pătrat. La radicalul cubic folosim diferența de cuburi: factorul este u2 + 3u + 9. Conjugata cu doi termeni nu produce x și nu elimină forma 00.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · limită cu primitivă și teorema cleștelui

Fie f(x) = x2 − 2 + x2 + 4, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 (1x2)·∫0x F(t)dt.

  1. Pasul 1 — raționalizăm partea cu radical: t2 + 4 − 2 = t2t2 + 4 + 2.
  2. Pasul 2 — factorizăm t2: f(t) = t2·[1 + 1t2 + 4 + 2].
  3. Pasul 3 — estimăm aproape de 0: paranteza este mărginită, de exemplu de 2, deci |f(t)| ≤ 2t2.
  4. Pasul 4 — folosim F(0) = 0: F(t) = ∫0t f(u)du, deci |F(t)| ≤ (23)|t|3.
  5. Pasul 5 — integrăm încă o dată: |∫0x F(t)dt| ≤ |x|46.
  6. Pasul 6 — împărțim la x2 și aplicăm cleștele: modulul este cel mult x26 → 0, deci limita este 0.

Algoritmul universal

  • Citește apropierea: x → a, x → a−, x → a+, x → +∞ sau x → −∞.
  • Încearcă substituția, ca să identifici forma.
  • Clasifică rezultatul: număr finit este de obicei răspunsul; 00 și ∞∞ cer transformare.
  • Alege o singură metodă: factorizare, raționalizare, termen dominant, limită fundamentală sau clește.
  • Scrie transformarea exactă și simplifică numai unde operația este permisă.
  • Verifică restricțiile și, la limite laterale, studiază semnele separat.
  • Aplică din nou limita și formulează concluzia, inclusiv existența limitei bilaterale.

Exerciții rezolvate din lecție (56)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia este un polinom, iar orice polinom este continuu pe ℝ.
    2. Prin urmare limita se obține prin înlocuire directă.
    3. Înlocuim x = 2: 3·2 − 1 = 6 − 1.
    4. Răspuns final: limita este 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Calculați limx→−1 x2 + 2x + 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm întâi numitorul: pentru x = −1 obținem −1 + 3 = 2 ≠ 0.
    2. Numitorul nefiind nul, raportul de polinoame este continuu în −1.
    3. Numărătorul: (−1)2 + 2 = 3. Numitorul: 2.
    4. Răspuns final: limita este 32.

    Răspuns: 32

  3. Exercițiul 3

    Calculați limx→3 x2 − 9x − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, formă nedeterminată: trebuie să transformăm expresia.
    2. Factorizăm numărătorul ca diferență de pătrate: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
    3. Pentru x ≠ 3 simplificăm factorul x − 3 și rămâne x + 3.
    4. Aplicăm limita expresiei simplificate: 3 + 3 = 6.
    5. Răspuns final: limita este 6.

    Răspuns: 6

  4. Exercițiul 4

    Calculați limx→1 x3 − 1x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00.
    2. Folosim diferența de cuburi: x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).
    3. Simplificăm factorul x − 1, valabil pentru x ≠ 1.
    4. Rămâne x2 + x + 1, iar la x = 1 obținem 1 + 1 + 1.
    5. Răspuns final: limita este 3.

    Răspuns: 3

  5. Exercițiul 5

    Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 3 − 30 = 00.
    2. Amplificăm cu conjugata numărătorului, x + 5 + 3.
    3. La numărător apare diferența de pătrate: (x + 5) − 9 = x − 4.
    4. Simplificăm x − 4 și rămâne 1x + 5 + 3.
    5. La x = 4 numitorul devine 3 + 3 = 6. Răspuns final: 16.

    Răspuns: 16

  6. Exercițiul 6

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 32x2 + x + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, 2, deci avem forma ∞∞.
    2. Împărțim fiecare termen la x2, puterea dominantă.
    3. Obținem 4 − 3x22 + 1x + 1x2.
    4. Termenii de forma 1x și 1x2 tind la 0, deci raportul tinde la 42.
    5. Regulă scurtă: la grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Răspuns final: 2.

    Răspuns: 2

  7. Exercițiul 7

    Calculați limx→+∞ 5x − 1x2 + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradul numărătorului este 1, iar al numitorului este 2.
    2. Împărțim totul la x2: 5x − 1x21 + 2x2.
    3. Numărătorul tinde la 0, iar numitorul la 1.
    4. Regulă scurtă: dacă gradul numărătorului este mai mic, limita este 0.
    5. Răspuns final: limita este 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Calculați limx→−∞ (2x3 − x).

    Vezi rezolvarea
    1. Termenul dominant este 2x3, cel cu gradul cel mai mare.
    2. Scoatem factor comun: 2x3 − x = x3(2 − 1x2), iar paranteza tinde la 2 > 0.
    3. Pentru x → −∞ avem x3 → −∞, pentru că puterea este impară.
    4. Produsul dintre o cantitate care tinde la −∞ și una pozitivă tinde la −∞.
    5. Răspuns final: limita este −∞.

    Răspuns: −∞

  9. Exercițiul 9

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul este constant 1, deci rămâne pozitiv.
    2. Pentru x → 1−, x − 1 este negativ și foarte apropiat de 0, deci raportul tinde la −∞.
    3. Pentru x → 1+, x − 1 este pozitiv și foarte apropiat de 0, deci raportul tinde la +∞.
    4. Limitele laterale sunt diferite, deci limita bilaterală nu există.
    5. Dreapta x = 1 este asimptotă verticală.

    Răspuns: −∞,+∞

  10. Exercițiul 10

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, dar aceasta este chiar limita fundamentală a funcției exponențiale.
    2. Formula este limu→0 eu − 1u = 1.
    3. Aici u = x, deci se aplică direct.
    4. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  11. Exercițiul 11

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x apropiat de 0 avem 1 + x > 0, deci logaritmul este definit.
    2. Aceasta este limita fundamentală a logaritmului natural: limu→0 ln(1 + u)u = 1.
    3. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  12. Exercițiul 12

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este limita trigonometrică fundamentală, valabilă cu unghiul măsurat în radiani.
    2. Formula este limu→0 sin uu = 1.
    3. Atenție: dacă unghiul ar fi în grade, rezultatul ar fi altul.
    4. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  13. Exercițiul 13

    Calculați limx→0 sin(5x)2x.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim limu→0 sin uu = 1, cu u = 5x.
    2. Scriem sin(5x)2x = [sin(5x)5x]·(52).
    3. Primul factor tinde la 1.
    4. Răspuns final: limita este 52.

    Răspuns: 52

  14. Exercițiul 14

    Calculați limx→0 e2x − 1sin(3x).

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x.
    2. Numărătorul: e2x − 1x → 2.
    3. Numitorul: sin(3x)x → 3.
    4. Raportul limitelor este 23.
    5. Răspuns final: limita este 23.

    Răspuns: 23

  15. Exercițiul 15

    Calculați limx→0 ln(1 + x)ex − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x.
    2. Numărătorul: ln(1 + x)x → 1.
    3. Numitorul: ex − 1x → 1.
    4. Raportul este 11.
    5. Răspuns final: limita este 1.

    Răspuns: 1

  16. Exercițiul 16

    Calculați limx→0 1 + 3x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00, deci amplificăm cu conjugata 1 + 3x + 1.
    2. La numărător rămâne (1 + 3x) − 1 = 3x.
    3. Simplificăm x și rămâne 31 + 3x + 1.
    4. La x = 0 numitorul devine 2, deci limita este 32.

    Răspuns: 32

  17. Exercițiul 17

    Calculați limx→1 x5 − 1x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Substituția dă 00.
    2. Folosim factorizarea xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + … + x + 1).
    3. Aici x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1).
    4. După simplificare, la x = 1 fiecare dintre cei 5 termeni devine 1.
    5. Răspuns final: limita este 5.

    Răspuns: 5

  18. Exercițiul 18

    Calculați limx→+∞ (x2 + 4 − x).

    Vezi rezolvarea
    1. Avem forma ∞ − ∞.
    2. Amplificăm cu conjugata x2 + 4 + x.
    3. La numărător rămâne (x2 + 4) − x2 = 4.
    4. Expresia devine 4x2 + 4 + x, cu numitorul care crește nelimitat.
    5. Răspuns final: limita este 0.

    Răspuns: 0

  19. Exercițiul 19

    Exercițiul 55 ghidat · Calculați limx→+∞ x(x2 + 1 − x). Pasul 1: ce formă avem?

    Vezi rezolvarea
    1. Primul factor, x, tinde la +∞.
    2. Al doilea factor, x2 + 1 − x, tinde la 0, așa cum se vede prin raționalizare.
    3. Produsul unei cantități care crește nelimitat cu una care tinde la 0 este forma nedeterminată ∞·0.

    Răspuns: ∞·0, formă nedeterminată

  20. Exercițiul 20

    Pasul 2: raționalizați paranteza x2 + 1 − x.

    Vezi rezolvarea
    1. Amplificăm cu conjugata x2 + 1 + x.
    2. La numărător apare (x2 + 1) − x2 = 1.
    3. Obținem x2 + 1 − x = 1x2 + 1 + x.
    4. Expresia inițială devine xx2 + 1 + x.

    Răspuns: 1x2 + 1 + x

  21. Exercițiul 21

    Pasul 3: împărțim numărătorul și numitorul la x > 0. Ce obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. La numărător: xx = 1.
    2. La numitor, x2 + 1x = x2 + 1x2 = 1 + 1x2, pentru că x > 0.
    3. Tot la numitor, xx = 1.
    4. Rezultă 11 + 1x2 + 1.

    Răspuns: 11 + 1x2 + 1

  22. Exercițiul 22

    Pasul 4: calculați limita.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x → +∞, termenul 1x2 tinde la 0.
    2. Radicalul tinde la √1 = 1.
    3. Numitorul tinde la 1 + 1 = 2, iar numărătorul rămâne 1.
    4. Răspuns final: limita este 12.

    Răspuns: 12

  23. Exercițiul 23

    Calculați limx→2 x + 1(x − 2)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul tinde la 2 + 1 = 3, deci este pozitiv.
    2. Numitorul (x − 2)2 este pozitiv pentru x ≠ 2 și tinde la 0.
    3. Un număr pozitiv împărțit la o cantitate pozitivă foarte mică tinde la +∞.
    4. Numitorul fiind pătrat, rezultatul este același din ambele părți.
    5. Răspuns final: limita este +∞.

    Răspuns: +∞

  24. Exercițiul 24

    Exercițiul 57 semi-ghidat · Pentru limx→+∞ [x2 + 1x − 1 − x − 1], ce obținem efectuând împărțirea x2 + 1x − 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim x2 + 1 la x − 1: câtul este x + 1, iar restul este 2.
    2. Verificare: (x + 1)(x − 1) + 2 = x2 − 1 + 2 = x2 + 1.
    3. Prin urmare x2 + 1x − 1 = x + 1 + 2x − 1.

    Răspuns: x + 1 + 2x − 1

  25. Exercițiul 25

    Acum calculați limita expresiei date.

    Vezi rezolvarea
    1. Scăzând x + 1, rămâne exact 2x − 1.
    2. Pentru x → +∞, numitorul crește nelimitat.
    3. Un număr fix împărțit la o cantitate care crește nelimitat tinde la 0.
    4. Rezultatul arată că y = x + 1 este asimptotă oblică. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  26. Exercițiul 26

    Exercițiul 58 semi-ghidat · Pentru limx→0 eax − 1sin(2x), cât este limita în funcție de a?

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim la x: numărătorul devine eax − 1x → a.
    2. Numitorul devine sin(2x)x = [sin(2x)2x]·2 → 2.
    3. Raportul limitelor este a2.

    Răspuns: a2

  27. Exercițiul 27

    Acum determinați a din condiția ca limita să fie 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Punem a2 = 3.
    2. Înmulțim cu 2: a = 6.
    3. Verificare: pentru a = 6 limita devine 62 = 3.
    4. Răspuns final: a = 6.

    Răspuns: 6

  28. Exercițiul 28

    Fie f continuă în 0, cu f(0) = 2, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 F(x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Cum F(0) = 0, putem scrie F(x)x = F(x) − F(0)x − 0.
    2. Aceasta este exact definiția derivatei lui F în punctul 0.
    3. Prin urmare limita este F′(0).
    4. Cum F este primitivă a lui f, avem F′ = f, deci F′(0) = f(0) = 2.
    5. Răspuns final: limita este 2.

    Răspuns: 2

  29. Exercițiul 29

    Fie f(x) = x2 − 2 + x2 + 4, iar F o primitivă cu F(0) = 0. Calculați limx→0 (1x2)·∫0x F(t)dt.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul ∫0x F(t)dt și numitorul x2 tind la 0: forma 00.
    2. Regula lui l'Hôpital: derivata numărătorului este F(x), a numitorului 2x. Obținem F(x)2x, tot 00, pentru că F(0) = 0.
    3. Aplicăm din nou regula: F′(x) = f(x), iar (2x)′ = 2, deci obținem f(x)2.
    4. f este continuă și f(0) = 0 − 2 + √4 = 0, deci limita este 02 = 0.

    Răspuns: 0

  30. Exercițiul 30

    Calculează limx→2 x2−4x−2.

    Vezi rezolvarea
    1. Forma nedeterminată 00. Ambii termeni tind la zero. Forma 00 nu este un rezultat numeric.
    2. x2−4x−2=x+2, pentru x≠2. x2−4=(x−2)(x+2). La limită folosim valori apropiate, dar diferite de 2.
    3. Limita este 4. Funcția x+2 este continuă; înlocuind x cu 2 obținem 2+2=4.

    Răspuns: Limita este 4

  31. Exercițiul 31

    Urmărește tabelul de sub enunț pentru f(x) = 2x + 1. Spre ce număr se apropie f(x) când x se apropie de 3?

    Vezi rezolvarea
    1. În tabel, x se apropie de 3 din stânga și din dreapta .
    2. Valorile f(x) sunt 6,8 și 6,98 din stânga, 7,2 și 7,02 din dreapta: distanța până la 7 scade de fiecare dată.
    3. Ambele părți duc la 7, deci limx→3 (2x + 1) = 7. Aici f(3) = 7, pentru că funcția este continuă.

    Răspuns: 7

  32. Exercițiul 32

    f(x) = x2 − 1x − 1 nu este definită pentru x = 1. Urmărește tabelul și alege afirmația corectă despre limx→1 f(x).

    Vezi rezolvarea
    1. La x = 1 obținem 00, deci f(1) nu este definit.
    2. Din stânga f(x) ia valorile 1,9 și 1,99, iar din dreapta 2,1 și 2,01: ambele părți se apropie de 2.
    3. Concluzie: f(1) nu există, dar limx→1 f(x) = 2. Pe grafic, în (1, 2) este un punct gol.

    Răspuns: f(1) nu există, dar limx→1 f(x) = 2

  33. Exercițiul 33

    Fie f definită prin f(x) = x + 1 pentru x ≠ 2 și f(2) = 5. Cât este limx→2 f(x)?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x ≠ 2, f(x) = x + 1. Când x se apropie de 2, x + 1 se apropie de 2 + 1 = 3.
    2. Valoarea f(2) = 5 nu intervine: limita privește doar punctele din jurul lui 2, nu punctul 2.
    3. Din stânga și din dreapta obținem 3, deci limx→2 f(x) = 3, iar f(2) = 5 este alt număr.

    Răspuns: 3

  34. Exercițiul 34

    Calculează limx→−1 x2 − 4xx − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul la x = −1: −1 − 4 = −5 ≠ 0, deci nu avem 00; funcția este continuă în −1.
    2. Numărătorul: (−1)2 − 4 · (−1) = 1 + 4 = 5.
    3. Limita este 5−5 = −1.

    Răspuns: −1

  35. Exercițiul 35

    Calculează limx→−4 x2 − 16x + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 16 − 16−4 + 4 = 00.
    2. x2 − 16 = (x − 4)(x + 4). Pentru x ≠ −4 simplificăm x + 4 și rămâne x − 4.
    3. Când x → −4, x − 4 → −4 − 4 = −8. Limita este −8.

    Răspuns: −8

  36. Exercițiul 36

    Calculează limx→1 2x2 − x − 1x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 2 − 1 − 11 − 1 = 00.
    2. Rădăcinile lui 2x2 − x − 1 sunt 1 și −12, deci 2x2 − x − 1 = 2(x − 1)(x + 12) = (x − 1)(2x + 1).
    3. Simplificăm x − 1 și rămâne 2x + 1, care tinde la 2 + 1 = 3.

    Răspuns: 3

  37. Exercițiul 37

    Calculează limx→3 x − 3x + 1 − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 0√4 − 2 = 00.
    2. Amplificăm cu x + 1 + 2: la numitor rămâne (x + 1) − 4 = x − 3, care se simplifică cu numărătorul.
    3. Rămâne x + 1 + 2, care tinde la √4 + 2 = 4.

    Răspuns: 4

  38. Exercițiul 38

    Determină limitele laterale ale funcției x − 3x − 1 în punctul 1. Scrie-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul tinde la 1 − 3 = −2, deci este negativ lângă 1.
    2. La stânga, x − 1 < 0: −− dă un număr pozitiv tot mai mare, deci limita este +∞.
    3. La dreapta, x − 1 > 0: −+ dă −∞. Limitele laterale diferă, deci limita în 1 nu există, iar x = 1 este asimptotă verticală.

    Răspuns: +∞,−∞

  39. Exercițiul 39

    Calculează limx→+∞ (4x2 + x − 2x).

    Vezi rezolvarea
    1. Amplificăm cu 4x2 + x + 2x: la numărător rămâne (4x2 + x) − 4x2 = x.
    2. Expresia devine x4x2 + x + 2x; împărțim la x > 0 și obținem 14 + 1x + 2.
    3. Radicalul tinde la √4 = 2, deci limita este 12 + 2 = 14.

    Răspuns: 14

  40. Exercițiul 40

    Fie f(x) = 2x2 + 3xx + 1. Care este asimptota oblică spre +∞ a graficului lui f?

    Vezi rezolvarea
    1. m = lim f(x)x = lim (2x2 + 3x)x2 + x = 2.
    2. n = lim (f(x) − 2x) = lim xx + 1 = 1.
    3. Asimptota oblică spre +∞ este y = 2x + 1.

    Răspuns: y = 2x + 1

  41. Exercițiul 41

    Fie f(x) = 3x2 − x + 2x + 2. Asimptota oblică spre +∞ are ecuația y = 3x + n. Scrie numărul n.

    Vezi rezolvarea
    1. n = lim (f(x) − 3x) = lim (3x2 − x + 2 − 3x2 − 6x)x + 2.
    2. La numărător rămâne −7x + 2, deci raportul este −7x + 2x + 2, cu grade egale.
    3. Limita este −71 = −7, deci asimptota oblică este y = 3x − 7.

    Răspuns: −7

  42. Exercițiul 42

    Calculează limx→0 ln(1 − 2x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Sub logaritm avem 1 + u cu u = −2x, care tinde la 0.
    2. Scriem ln(1 − 2x)x = [ln(1 − 2x)−2x] · (−2); paranteza tinde la 1.
    3. Limita este 1 · (−2) = −2.

    Răspuns: −2

  43. Exercițiul 43

    Calculează limx→0 e3x − 1ln(1 + 6x).

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim numărătorul și numitorul la x, operație permisă pentru x ≠ 0.
    2. e3x − 1x → 3 și ln(1 + 6x)x → 6.
    3. Limita este 36 = 12.

    Răspuns: 12

  44. Exercițiul 44

    Calculează limx→+∞ ln x√x.

    Vezi rezolvarea
    1. La +∞, ln x → +∞ și √x → +∞: forma ∞∞.
    2. Derivăm separat: (ln x)′ = 1x și (√x)′ = 12√x; raportul lor este 2√xx = 2√x.
    3. 2√x → 0, deci limita este 0: ln x crește mai încet chiar și decât √x.

    Răspuns: 0

  45. Exercițiul 45

    Calculează limx→0 ex − 1 − xx2.

    Vezi rezolvarea
    1. Înlocuirea dă 1 − 1 − 00 = 00.
    2. Prima aplicare dă ex − 12x, tot 00; a doua dă ex2.
    3. La x = 0: e02 = 12. Verificare după primul pas: ex − 1x → 1, deci ex − 12x → 12.

    Răspuns: 12

  46. Exercițiul 46

    Calculează limx→1 x·ln xx − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. La x = 1: 1 · ln 11 − 1 = 00.
    2. Derivăm separat: (x·ln x)′ = ln x + x · 1x = ln x + 1, iar (x − 1)′ = 1.
    3. La x = 1: 0 + 11 = 1.

    Răspuns: 1

  47. Exercițiul 47

    Calculează limx→0 (1x)·∫0x et2 dt.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x → 0, ∫0x et2 dt → 0 și x → 0: forma 00.
    2. Derivata integralei este ex2, iar derivata lui x este 1.
    3. limx→0 e^(x2) = e0 = 1.

    Răspuns: 1

  48. Exercițiul 48

    Calculează limx→0 (1 + 3x)^(1x).

    Vezi rezolvarea
    1. Baza 1 + 3x tinde la 1, iar exponentul 1x crește nelimitat în valoare absolută: cazul 1^∞.
    2. L = lim (baza − 1) · exponent = lim 3x · 1x = 3.
    3. Limita este e3.

    Răspuns: e3

  49. Exercițiul 49

    Calculează limx→+∞ (x + 1x − 1)^x.

    Vezi rezolvarea
    1. Baza tinde la 1 (grade egale), exponentul la +∞: cazul 1^∞.
    2. Baza − 1 = 2x − 1, iar L = lim 2xx − 1 = 2.
    3. Limita este e2.

    Răspuns: e2

  50. Exercițiul 50

    Limita limx→+∞ (x2 + 3xx2 + 1)^x este de forma ek. Scrie numărul k.

    Vezi rezolvarea
    1. Baza tinde la 1 (grade egale, coeficienți dominanți 1), exponentul la +∞: cazul 1^∞.
    2. Baza − 1 = x2 + 3x − x2 − 1x2 + 1 = 3x − 1x2 + 1; înmulțit cu x dă 3x2 − xx2 + 1.
    3. Limita este 3, deci rezultatul este e3 și k = 3.

    Răspuns: 3

  51. Exercițiul 51

    Fie f(x) = 2x3 − x2 + 5x2 + 3. Asimptota oblică spre +∞ are ecuația y = 2x + n. Scrie numărul n.

    Vezi rezolvarea
    1. n = lim (f(x) − 2x) = lim (2x3 − x2 + 5 − 2x3 − 6x)x2 + 3.
    2. La numărător rămâne −x2 − 6x + 5, de același grad cu numitorul.
    3. Limita este −11 = −1, deci asimptota este y = 2x − 1.

    Răspuns: −1

  52. Exercițiul 52

    Calculează limx→0 (1x3)·∫0x (et2 − 1) dt.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul tind la 0: forma 00.
    2. Regula lui l'Hôpital: derivata integralei este ex2 − 1, iar (x3)′ = 3x2.
    3. ex2 − 13x2 → 13, pentru că eu − 1u → 1 cu u = x2.

    Răspuns: 13

  53. Exercițiul 53

    Limita limx→+∞ (x + 3x + 1)^(2x) este de forma ek. Scrie numărul k.

    Vezi rezolvarea
    1. Baza tinde la 1, exponentul la +∞: cazul 1^∞.
    2. Baza − 1 = 2x + 1; înmulțit cu 2x dă 4xx + 1.
    3. Limita este 4, deci rezultatul este e4 și k = 4.

    Răspuns: 4

  54. Exercițiul 54

    Limita limx→0 ∛(x + 8) − 2x este 1N. Cât este N?

    Vezi rezolvarea
    1. Punem u = ∛(x + 8); (u − 2)(u2 + 2u + 4) = x.
    2. Pentru x ≠ 0, raportul este 1u2 + 2u + 4. Când x → 0, u → 2.
    3. Numitorul tinde la 4 + 4 + 4 = 12, deci N = 12.

    Răspuns: 12

  55. Exercițiul 55

    Limita limx→0 ∛(x + 64) − 4x este 1N. Cât este N?

    Vezi rezolvarea
    1. Punem u = ∛(x + 64); (u − 4)(u2 + 4u + 16) = x.
    2. Pentru x ≠ 0, raportul este 1u2 + 4u + 16. Când x → 0, u → 4.
    3. Numitorul tinde la 16 + 16 + 16 = 48, deci N = 48.

    Răspuns: 48

  56. Exercițiul 56

    Limita limx→0 ∛(x + 125) − 5x este 1N. Cât este N?

    Vezi rezolvarea
    1. Punem u = ∛(x + 125); (u − 5)(u2 + 5u + 25) = x.
    2. Pentru x ≠ 0, raportul este 1u2 + 5u + 25. Când x → 0, u → 5.
    3. Numitorul tinde la 25 + 25 + 25 = 75, deci N = 75.

    Răspuns: 75

Fișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info (24)

  1. 1. Substituție

    Calculați limx→2 (3x − 1).

    Vezi răspunsul

    5

  2. 2. Substituție

    Calculați limx→−1 x2 + 2x + 3.

    Vezi răspunsul

    1 + 2−1 + 3 = 32

  3. 3. Forma 0/0

    Calculați limx→3 x2 − 9x − 3.

    Vezi răspunsul

    lim (x + 3) = 6

  4. 4. Forma 0/0

    Calculați limx→1 x3 − 1x − 1.

    Vezi răspunsul

    lim (x2 + x + 1) = 3

  5. 5. Raționalizare

    Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.

    Vezi răspunsul

    lim 1x + 5 + 3 = 16

  6. 6. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 4x2 − 32x2 + x + 1.

    Vezi răspunsul

    2

  7. 7. Limită la infinit

    Calculați limx→+∞ 5x − 1x2 + 2.

    Vezi răspunsul

    0

  8. 8. Polinom la infinit

    Calculați limx→−∞ (2x3 − x).

    Vezi răspunsul

    −∞

  9. 9. Limite laterale

    Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.

    Vezi răspunsul

    −∞,+∞

  10. 10. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ex − 1x.

    Vezi răspunsul

    1

  11. 11. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 ln(1 + x)x.

    Vezi răspunsul

    1

  12. 12. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 sin xx.

    Vezi răspunsul

    1

  13. 49. Limită fundamentală

    Calculați limx→0 sin(5x)2x.

    Vezi răspunsul

    52

  14. 50. Limite compuse

    Calculați limx→0 e2x − 1sin(3x).

    Vezi răspunsul

    23

  15. 51. Limite compuse

    Calculați limx→0 ln(1 + x)ex − 1.

    Vezi răspunsul

    1

  16. 52. Raționalizare

    Calculați limx→0 1 + 3x − 1x.

    Vezi răspunsul

    lim 31 + 3x + 1 = 32

  17. 53. Forma 0/0

    Calculați limx→1 x5 − 1x − 1.

    Vezi răspunsul

    5

  18. 54. Raționalizare la infinit

    Calculați limx→+∞ (x2 + 4 − x).

    Vezi răspunsul

    lim 4x2 + 4 + x = 0

  19. 55. Raționalizare la infinit

    Calculați limx→+∞ x(x2 + 1 − x).

    Vezi răspunsul

    lim xx2 + 1 + x = 12

  20. 56. Limită infinită

    Calculați limx→2 x + 1(x − 2)2.

    Vezi răspunsul

    +∞ (numărătorul tinde la 3, numitorul la 0 prin valori pozitive)

  21. 57. Asimptotă oblică

    Calculați limx→+∞ [x2 + 1x − 1 − x − 1].

    Vezi răspunsul

    Expresia este 2x − 1, deci limita este 0.

  22. 58. Parametru

    Determinați a ∈ ℝ dacă limx→0 eax − 1sin(2x) = 3.

    Vezi răspunsul

    a2 = 3, deci a = 6.

  23. 59. Primitivă

    Fie f continuă în 0, cu f(0) = 2, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 F(x)x.

    Vezi răspunsul

    F′(0) = f(0) = 2

  24. 60. Primitivă și clește

    Fie f(x) = x2 − 2 + x2 + 4, iar F o primitivă cu F(0) = 0. Calculați limx→0 (1x2)·∫0x F(t)dt.

    Vezi răspunsul

    Cu l'Hospital: lim F(x)2x = lim f(x)2 = f(0)2 = 0 − 2 + 22 = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.