Limite, parametri și primitive · nivel M1

Lecția M1 pornește de la substituție și ajunge la limite compuse, parametri, asimptote oblice și cerințe cu primitive.

Toate cerințele se rezolvă cu metode elementare: nu folosim regula lui l'Hôpital.

Ce este o limită și cum începem

O limită descrie spre ce valoare se apropie funcția, nu neapărat cât valorează în punct. De aceea o funcție poate avea limită în a chiar dacă nu este definită pentru x = a. Primul gest corect este întotdeauna substituția: ea îți spune dacă ai un rezultat direct sau o formă nedeterminată.

limx→a f(x) = f(a), dacă f este continuă în a

x → a⁻: apropiere prin valori mai mici; x → a⁺: prin valori mai mari

Polinoamele sunt continue pe ℝ

O fracție de polinoame este continuă unde numitorul nu se anulează

00 și ∞/∞ sunt forme nedeterminate: ele indică metoda, nu rezultatul.
Nu înlocui x = a înainte de a simplifica factorul care produce 00.
Verifică restricțiile: numitor nenul, argument de logaritm pozitiv, radical definit.

Forma 0/0: factorizare și raționalizare

x² − a² = (x − a)(x + a)

x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)

xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + … + x + 1)

Raționalizare: amplifici cu conjugata, folosind (A − B)(A + B) = A² − B²

Caută factorul care se anulează: el este cauza formei 00.
Simplificarea este permisă pentru x ≠ a, iar limita privește exact valorile apropiate de a.
La radicali, conjugata elimină radicalul din partea unde apare nedeterminarea.

Limite la infinit

La ±∞ contează numai termenii dominanți. Compară gradele numărătorului și numitorului, iar la diferențe cu radicali folosește tot conjugata.

Grade egale: limita este raportul coeficienților dominanți

Grad mai mic la numărător: limita este 0

Grad mai mare la numărător: limita este ±∞, după semn

1x → 0 și 1x² → 0 când x → ±∞

∞ − ∞ cu radicali: amplifică cu conjugata

Împarte fiecare termen la puterea dominantă a lui x.
La x → −∞, atenție la paritatea puterii: x³ → −∞, dar x² → +∞.
Când scoți x de sub radical pentru x > 0, ai x² + 1x = 1 + 1x².

Limitele fundamentale

Aceste formule rezolvă majoritatea nedeterminărilor 00 cu exponențiale, logaritmi sau funcții trigonometrice. Tehnica este mereu aceeași: creezi la numitor exact expresia care apare în argument.

limu→0 e^u − 1u = 1

limu→0 ln(1 + u)u = 1

limu→0 sin uu = 1, cu unghiul în radiani

limu→0 1 − cos uu² = 12, folosind 1 − cos u = 2sin²(u2)

Teorema cleștelui: dacă g ≤ f ≤ h și g, h au aceeași limită, atunci și f o are

Pentru e^(ax) − 1x scrii [e^(ax) − 1ax]·a, deci limita este a.
Pentru sin(ax)x limita este a, prin același procedeu.
Când raportul are două funcții diferite, împarte numărătorul și numitorul la x.

Limite laterale și asimptote

Limita bilaterală există ⇔ limitele laterale există și sunt egale

x = a este asimptotă verticală dacă o limită laterală în a este infinită

y = L este asimptotă orizontală dacă limx→±∞ f(x) = L

Număr nenul / 0 cere studiu de semn, nu este formă nedeterminată

Stabilește separat semnul numărătorului și al numitorului, la stânga și la dreapta.
Dacă numitorul este un pătrat, semnul este același din ambele părți.
Dacă limitele laterale diferă, spune explicit că limita bilaterală nu există.

Limite cu primitive

La nivel M1 apar cerințe în care intervine o primitivă F a funcției f. Cheia este definiția derivatei sau o încadrare urmată de teorema cleștelui.

Dacă F(0) = 0, atunci F(x)x = [F(x) − F(0)]/(x − 0) → F′(0)

F este primitivă a lui f ⇒ F′ = f, deci F′(0) = f(0)

Dacă |f(t)| ≤ Ct², atunci |F(t)| ≤ (C3)|t|³

Încadrarea se integrează, apoi se aplică teorema cleștelui

Condiția F(0) = 0 este cea care transformă raportul în definiția derivatei.
Când nu poți calcula explicit, estimează în modul și folosește cleștele.
Nu folosim regula lui l'Hôpital: toate cerințele se rezolvă cu metode elementare.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · limită cu primitivă și teorema cleștelui

Fie f(x) = x² − 2 + x² + 4, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 (1x²)·∫₀^x F(t)dt.

1.Pasul 1 — raționalizăm partea cu radical: t² + 4 − 2 = t²t² + 4 + 2.
2.Pasul 2 — factorizăm t²: f(t) = t²·[1 + 1t² + 4 + 2].
3.Pasul 3 — estimăm aproape de 0: paranteza este mărginită, de exemplu de 2, deci |f(t)| ≤ 2t².
4.Pasul 4 — folosim F(0) = 0: F(t) = ∫₀^t f(u)du, deci |F(t)| ≤ (23)|t|³.
5.Pasul 5 — integrăm încă o dată: |∫₀^x F(t)dt| ≤ |x|⁴6.
6.Pasul 6 — împărțim la x² și aplicăm cleștele: modulul este cel mult x²6 → 0, deci limita este 0.

Algoritmul universal

Citește apropierea: x → a, x → a⁻, x → a⁺, x → +∞ sau x → −∞.
Încearcă substituția, ca să identifici forma.
Clasifică rezultatul: număr finit este de obicei răspunsul; 00 și ∞/∞ cer transformare.
Alege o singură metodă: factorizare, raționalizare, termen dominant, limită fundamentală sau clește.
Scrie transformarea exactă și simplifică numai unde operația este permisă.
Verifică restricțiile și, la limite laterale, studiază semnele separat.
Aplică din nou limita și formulează concluzia, inclusiv existența limitei bilaterale.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Mate-Info · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1SubstituțieM1 · Mate-Info
Calculați limx→2 (3x − 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 2SubstituțieM1 · Mate-Info
Calculați limx→−1 x² + 2x + 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 + 2−1 + 3 = 32
Ex. 3Forma 0/0M1 · Mate-Info
Calculați limx→3 x² − 9x − 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x + 3) = 6
Ex. 4Forma 0/0M1 · Mate-Info
Calculați limx→1 x³ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim (x² + x + 1) = 3
Ex. 5RaționalizareM1 · Mate-Info
Calculați limx→4 x + 5 − 3x − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 1/(x + 5 + 3) = 16
Ex. 6Limită la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ 4x² − 32x² + x + 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 7Limită la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ 5x − 1x² + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0
Ex. 8Polinom la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→−∞ (2x³ − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞
Ex. 9Limite lateraleM1 · Mate-Info
Determinați limitele laterale ale funcției 1x − 1 în punctul 1. Scrieți-le în ordinea stânga,dreapta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−∞,+∞
Ex. 10Limită fundamentalăM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 e^x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 11Limită fundamentalăM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 ln(1 + x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 12Limită fundamentalăM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 sin xx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 49Limită fundamentalăM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 sin(5x)2x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
52
Ex. 50Limite compuseM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 e^2x − 1sin(3x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
23
Ex. 51Limite compuseM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 ln(1 + x)e^x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 52RaționalizareM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 1 + 3x − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 3/(1 + 3x + 1) = 32
Ex. 53Forma 0/0M1 · Mate-Info
Calculați limx→1 x⁵ − 1x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 54Raționalizare la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ (x² + 4 − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim 4/(x² + 4 + x) = 0
Ex. 55Raționalizare la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ x(x² + 1 − x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
lim x/(x² + 1 + x) = 12
Ex. 56Limită infinităM1 · Mate-Info
Calculați limx→2 x + 1(x − 2)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
+∞ (numărătorul tinde la 3, numitorul la 0 prin valori pozitive)
Ex. 57Asimptotă oblicăM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ [x² + 1x − 1 − x − 1].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Expresia este 2x − 1, deci limita este 0.
Ex. 58ParametruM1 · Mate-Info
Determinați a ∈ ℝ dacă limx→0 e^(ax) − 1sin(2x) = 3.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a2 = 3, deci a = 6.
Ex. 59PrimitivăM1 · Mate-Info
Fie f continuă în 0, cu f(0) = 2, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 F(x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F′(0) = f(0) = 2
Ex. 60Primitivă și cleșteM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x² − 2 + x² + 4, iar F o primitivă cu F(0) = 0. Calculați limx→0 (1x²)·∫₀^x F(t)dt.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu l'Hospital: lim F(x)2x = lim f(x)2 = f(0)2 = 0 − 2 + 22 = 0.