Provocări finale · 8 exerciții

Ultima serie adună cele mai grele tipare: substituție la infinit, compuneri de limite fundamentale și cerințe cu primitive.

Toate se rezolvă cu metode elementare: definiția derivatei, amplificare sau teorema cleștelui.

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 93–96 se rezolvă prin substituție sau amplificare, iar 97–100 folosesc primitive și integrale.

Substituție la infinit: u = 1x transformă x → +∞ în u → 0

Amplificare: ln(1 + sin x)x = [ln(1 + sin x)/sin x]·[sin xx]

Dacă G(x) = ∫₀^x f(t)dt, atunci G(0) = 0 și G′(x) = f(x)

∫ t·e^t dt = t·e^t − e^t, prin integrare prin părți

Dacă |f(t)| ≤ Ct², atunci |F(t)| ≤ (C3)|t|³

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 93–100 · 8 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 93Substituție la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ x²·(1 − cos(1x)).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu t = 1x: lim 1 − cos tt² = 12
Ex. 94Substituție la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ x·sin(1x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu t = 1x: lim sin tt = 1
Ex. 95CompunereM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 ln(1 + sin x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 96CompunereM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 e^(sin x) − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 97PrimitivăM1 · Mate-Info
Fie f continuă în 0, cu f(0) = 3, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 F(x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F′(0) = f(0) = 3
Ex. 98Integrală cu parametruM1 · Mate-Info
Fie f continuă în 0. Calculați, în funcție de f(0), limx→0 ∫₀^x f(t)dtx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0)
Ex. 99IntegralăM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 ∫₀^x t·e^t dtx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu l'Hospital: lim xe^x/(2x) = 12
Ex. 100Primitivă și cleșteM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x² − 2 + x² + 4, iar F o primitivă cu F(0) = 0. Calculați limx→0 ∫₀^x F(t)dtx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu l'Hospital: lim F(x)2x = lim f(x)2 = f(0)2 = 0.