M1 · Mate-Info⏱ 1 sesiune

L·5

Teorie înainte de exerciții

Provocări finale · 8 exerciții

Ultima serie adună cele mai grele tipare: substituție la infinit, compuneri de limite fundamentale și cerințe cu primitive.

Toate se rezolvă cu metode elementare: definiția derivatei, amplificare sau teorema cleștelui.

1

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 93–96 se rezolvă prin substituție sau amplificare, iar 97–100 folosesc primitive și integrale.

De ținut minte

Substituție la infinit: u = 1x transformă x → +∞ în u → 0

Amplificare: ln(1 + sin x)x = [ln(1 + sin x)sin x]·[sin xx]

Dacă G(x) = ∫₀^x f(t)dt, atunci G(0) = 0 și G′(x) = f(x)

∫ t·e^t dt = t·e^t − e^t, prin integrare prin părți

Dacă |f(t)| ≤ Ct², atunci |F(t)| ≤ (C3)|t|³

Când apare F(x)x cu F(0) = 0, recunoaște definiția derivatei.
Când nu poți calcula explicit, estimează în modul și aplică teorema cleștelui.
Nu folosim regula lui l'Hôpital: toate cerințele au rezolvare elementară.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de antrenament · exercițiile 93–100 · 8 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 93Substituție la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ x²·(1 − cos(1x)).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu t = 1x: lim (1 − cos t)t² = 12
Ex. 94Substituție la infinitM1 · Mate-Info
Calculați limx→+∞ x·sin(1x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu t = 1x: lim (sin t)t = 1
Ex. 95CompunereM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 ln(1 + sin x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 96CompunereM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 e^{sin x} − 1x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1
Ex. 97PrimitivăM1 · Mate-Info
Fie f continuă în 0, cu f(0) = 3, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 F(x)x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F′(0) = f(0) = 3
Ex. 98Integrală cu parametruM1 · Mate-Info
Fie f continuă în 0. Calculați, în funcție de f(0), limx→0 ∫₀^x f(t)dtx.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0)
Ex. 99IntegralăM1 · Mate-Info
Calculați limx→0 ∫₀^x t·e^t dtx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu l'Hospital: lim xe^x2x = 12
Ex. 100Primitivă și cleșteM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x² − 2 + x² + 4, iar F o primitivă cu F(0) = 0. Calculați limx→0 ∫₀^x F(t)dtx².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu l'Hospital: lim F(x)2x = lim f(x)2 = f(0)2 = 0.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Provocări finale · 8 exerciții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Ultima serie adună cele mai grele tipare: substituție la infinit, compuneri de limite fundamentale și cerințe cu primitive.

Ce exersezi în această serie

Exercițiile 93–96 se rezolvă prin substituție sau amplificare, iar 97–100 folosesc primitive și integrale.

Substituție la infinit: u = 1x transformă x → +∞ în u → 0
Amplificare: ln(1 + sin x)x = [ln(1 + sin x)sin x]·[sin xx]
Dacă G(x) = ∫₀^x f(t)dt, atunci G(0) = 0 și G′(x) = f(x)
∫ t·e^t dt = t·e^t − e^t, prin integrare prin părți
Dacă |f(t)| ≤ Ct², atunci |F(t)| ≤ (C3)|t|³

Când apare F(x)x cu F(0) = 0, recunoaște definiția derivatei.
Când nu poți calcula explicit, estimează în modul și aplică teorema cleștelui.
Nu folosim regula lui l'Hôpital: toate cerințele au rezolvare elementară.

Exerciții rezolvate din lecție (8)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculați limx→+∞ x²·(1 − cos(1x)).
Vezi rezolvarea
1. Punem u = 1x; când x → +∞, avem u → 0, iar x² = 1u².
2. Expresia devine 1 − cos uu².
3. Aceasta este limita fundamentală a cosinusului.
4. Răspuns final: 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 2
Calculați limx→+∞ x·sin(1x).
Vezi rezolvarea
1. Punem u = 1x; când x → +∞, avem u → 0, iar x = 1u.
2. Expresia devine sin uu.
3. Aceasta este limita trigonometrică fundamentală.
4. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 3
Calculați limx→0 ln(1 + sin x)x.
Vezi rezolvarea
1. Amplificăm cu sin x, ca să obținem două rapoarte cunoscute.
2. Scriem ln(1 + sin x)x = [ln(1 + sin x)sin x]·[sin xx].
3. Cu u = sin x → 0, primul factor tinde la 1, iar al doilea tot la 1.
4. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 4
Calculați limx→0 e^{sin x} − 1x.
Vezi rezolvarea
1. Amplificăm cu sin x.
2. Scriem e^{sin x} − 1x = [e^{sin x} − 1sin x]·[sin xx].
3. Cu u = sin x → 0, primul factor tinde la 1, iar al doilea tot la 1.
4. Răspuns final: 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 5
Fie f continuă în 0, cu f(0) = 3, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 F(x)x.
Vezi rezolvarea
1. Cum F(0) = 0, scriem F(x)x = F(x) − F(0)x − 0.
2. Aceasta este exact definiția derivatei lui F în punctul 0.
3. Prin urmare limita este F′(0).
4. Cum F este primitivă a lui f, avem F′ = f, deci F′(0) = f(0) = 3.
5. Răspuns final: 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 6
Fie f continuă în 0. Calculați, în funcție de f(0), limx→0 ∫₀^x f(t)dtx.
Vezi rezolvarea
1. Notăm G(x) = ∫₀^x f(t)dt; din definiție G(0) = 0.
2. Raportul devine G(x) − G(0)x − 0, adică definiția derivatei lui G în 0.
3. Cum f este continuă, G este derivabilă și G′(x) = f(x).
4. Prin urmare limita este G′(0) = f(0).
5. Răspuns final: f(0).
Răspuns: f(0)
Exercițiul 7
Calculați limx→0 ∫₀^x t·e^t dtx².
Vezi rezolvarea
1. Calculăm integrala prin părți: ∫ t·e^t dt = t·e^t − e^t.
2. Între 0 și x obținem ∫₀^x t·e^t dt = x·e^x − e^x + 1.
3. La x = 0 această expresie este 0, deci avem forma 00.
4. Folosim dezvoltarea e^x = 1 + x + x²2 + …: numărătorul devine x²2 + termeni de grad mai mare.
5. Împărțind la x², limita este 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 8
Fie f(x) = x² − 2 + x² + 4, iar F o primitivă cu F(0) = 0. Calculați limx→0 ∫₀^x F(t)dtx².
Vezi rezolvarea
1. Raționalizăm partea cu radical: t² + 4 − 2 = t²t² + 4 + 2.
2. Rezultă f(t) = t²·[1 + 1t² + 4 + 2], iar paranteza este mărginită lângă 0.
3. Deci |f(t)| ≤ 2t² pentru t apropiat de 0, iar din F(0) = 0 obținem |F(t)| ≤ (23)|t|³.
4. Integrând din nou: |∫₀^x F(t)dt| ≤ |x|⁴6.
5. Împărțind la x², modulul este cel mult x²6, care tinde la 0. Teorema cleștelui dă limita 0.
Răspuns: 0

Fișa de antrenament · exercițiile 93–100 (8)

93. Substituție la infinit
Calculați limx→+∞ x²·(1 − cos(1x)).
Vezi răspunsul
Cu t = 1x: lim (1 − cos t)t² = 12
94. Substituție la infinit
Calculați limx→+∞ x·sin(1x).
Vezi răspunsul
Cu t = 1x: lim (sin t)t = 1
95. Compunere
Calculați limx→0 ln(1 + sin x)x.
Vezi răspunsul
1
96. Compunere
Calculați limx→0 e^{sin x} − 1x.
Vezi răspunsul
1
97. Primitivă
Fie f continuă în 0, cu f(0) = 3, iar F o primitivă a lui f cu F(0) = 0. Calculați limx→0 F(x)x.
Vezi răspunsul
F′(0) = f(0) = 3
98. Integrală cu parametru
Fie f continuă în 0. Calculați, în funcție de f(0), limx→0 ∫₀^x f(t)dtx.
Vezi răspunsul
f(0)
99. Integrală
Calculați limx→0 ∫₀^x t·e^t dtx².
Vezi răspunsul
Cu l'Hospital: lim xe^x2x = 12
100. Primitivă și clește
Fie f(x) = x² − 2 + x² + 4, iar F o primitivă cu F(0) = 0. Calculați limx→0 ∫₀^x F(t)dtx².
Vezi răspunsul
Cu l'Hospital: lim F(x)2x = lim f(x)2 = f(0)2 = 0.