Încărcăm partea curentă…

Triunghiuri în coordonate și probleme mixte

Paralel sau perpendicular: două calcule diferite

Pentru vectorii u = (u1, u2) și v = (v1, v2) facem două calcule diferite. Determinantul u1v2 − u2v1 este 0 exact când vectorii sunt paraleli.

Produsul scalar u1v1 + u2v2 este 0 exact când vectorii sunt perpendiculari. La determinant înmulțim în cruce și scădem; la produsul scalar înmulțim pe poziții și adunăm.

În viața reală

În jocurile video, produsul scalar spune cât de direct cade lumina pe o suprafață: când este 0, lumina doar alunecă pe lângă ea, perpendicular pe direcția normalei.

De ținut minte

u ∥ v ⇔ u1v2 − u2v1 = 0
u ⟂ v ⇔ u1v1 + u2v2 = 0

Exemplu cu alte date

Pentru u = (3, −1) și v = (2, 6), sunt vectorii paraleli sau perpendiculari?

  1. 1Determinantul: 3·6 − (−1)·2 = 18 + 2 = 20, nu este 0, deci nu sunt paraleli.
  2. 2Produsul scalar: 3·2 + (−1)·6 = 6 − 6 = 0.
  3. 3Vectorii sunt perpendiculari.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Triunghiuri în coordonate și probleme mixte: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Paralel sau perpendicular: două calcule diferite

Pentru vectorii u = (u1, u2) și v = (v1, v2) facem două calcule diferite. Determinantul u1v2 − u2v1 este 0 exact când vectorii sunt paraleli.

Produsul scalar u1v1 + u2v2 este 0 exact când vectorii sunt perpendiculari. La determinant înmulțim în cruce și scădem; la produsul scalar înmulțim pe poziții și adunăm.

  • u ∥ v ⇔ u1v2 − u2v1 = 0
  • u ⟂ v ⇔ u1v1 + u2v2 = 0

Exemplu cu alte date

Pentru u = (3, −1) și v = (2, 6), sunt vectorii paraleli sau perpendiculari?

  1. Determinantul: 3·6 − (−1)·2 = 18 + 2 = 20, nu este 0, deci nu sunt paraleli.
  2. Produsul scalar: 3·2 + (−1)·6 = 6 − 6 = 0.
  3. Vectorii sunt perpendiculari.

Trei puncte coliniare

Punctele A, B, C sunt coliniare dacă se află pe aceeași dreaptă. Atunci vectorii AB și AC au aceeași direcție, adică sunt paraleli.

Calculăm AB și AC, apoi determinantul lor. Dacă determinantul este 0, punctele sunt coliniare; dacă apare un parametru, egalăm determinantul cu 0 și îl aflăm.

  • A, B, C coliniare ⇔ det(AB, AC) = 0

Exemplu cu alte date

Sunt coliniare punctele A(1, 1), B(2, 3), C(4, 7)?

  1. AB = (1, 2) și AC = (3, 6).
  2. det(AB, AC) = 1·6 − 2·3 = 0.
  3. Determinantul este 0, deci punctele sunt coliniare.

Aria unui triunghi în coordonate

Aria triunghiului ABC este jumătate din valoarea absolută a determinantului vectorilor AB și AC. Valoarea absolută este necesară: o arie nu poate fi negativă.

Dacă triunghiul are două laturi pe axe, putem folosi direct formula cu catetele: produsul lor împărțit la 2.

  • Aria(ABC) = |det(AB, AC)|2

Exemplu cu alte date

Calculează aria triunghiului A(1, 0), B(5, 0), C(1, 6).

  1. AB = (4, 0) și AC = (0, 6).
  2. det(AB, AC) = 4·6 − 0·0 = 24.
  3. Aria = |24|2 = 12.

Mediana: mijlocul, apoi distanța

La o mediană nu calculăm direct. Aflăm întâi mijlocul laturii opuse vârfului, apoi lucrăm cu vârful și acest mijloc.

Dacă vârful este originea O(0, 0), lungimea medianei este chiar xM2 + yM2.

  • M = mijlocul laturii opuse
  • OM = xM2 + yM2

Exemplu cu alte date

În triunghiul A(0, 0), B(2, 6), C(8, 0), află lungimea medianei AM.

  1. Mijlocul lui BC: M(2 + 82, 6 + 02) = M(5, 3).
  2. AM = 52 + 32 = 25 + 9.
  3. AM = √34.

Vector normal, vector director și un parametru

Pentru dreapta ax + by + c = 0, vectorul n = (a, b), format din coeficienții lui x și y, este perpendicular pe dreaptă: se numește vector normal.

Un vector de-a lungul dreptei, numit vector director, este u = (−b, a). Verificăm că n·u = 0. Dacă un vector are un parametru și trebuie să fie perpendicular pe altul, egalăm produsul scalar cu 0.

  • ax + by + c = 0: n = (a, b)
  • u = (−b, a)
  • n·u = 0

Exemplu cu alte date

Pentru dreapta x + 2y − 4 = 0, scrie un vector normal și un vector director.

  1. Coeficienții sunt a = 1 și b = 2, deci n = (1, 2).
  2. Vectorul director este u = (−2, 1).
  3. Verificare: 1·(−2) + 2·1 = 0.

Exerciții rezolvate din lecție (15)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Punctele A, B și C sunt coliniare dacă:

    Vezi rezolvarea
    1. Trei puncte coliniare se află pe aceeași dreaptă.
    2. Vectorii AB și AC sunt atunci paraleli.
    3. În coordonate, componentele lor sunt proporționale.

    Răspuns: Vectorii AB și AC sunt proporționali

  2. Exercițiul 2

    Pentru u = (u1, u2) și v = (v1, v2), condiția de paralelism este:

    Vezi rezolvarea
    1. Determinantul a doi vectori paraleli este nul.
    2. Formula este u1v2 − u2v1 = 0.

    Răspuns: u1v2 − u2v1 = 0

  3. Exercițiul 3

    Pentru u = (u1, u2) și v = (v1, v2), condiția de perpendicularitate este:

    Vezi rezolvarea
    1. Produsul scalar al vectorilor perpendiculari este 0.
    2. Formula este u · v = u1v1 + u2v2.

    Răspuns: u1v1 + u2v2 = 0

  4. Exercițiul 4

    Vectorii u = (2, 3) și v = (4, 6) sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. v = 2u, deoarece (4, 6) = 2(2, 3).
    2. Vectorii sunt paraleli și de același sens.

    Răspuns: Paraleli

  5. Exercițiul 5

    Vectorii u = (2, 1) și v = (1, −2) sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. u · v = 2 · 1 + 1 · (−2).
    2. u · v = 2 − 2 = 0.
    3. Deci vectorii sunt perpendiculari.

    Răspuns: Perpendiculari

  6. Exercițiul 6

    A(0, 0), B(2, 2), C(4, 4). Valoarea determinantului det(AB, AC) este:

    Vezi rezolvarea
    1. det(AB, AC) = 2 · 4 − 2 · 4.
    2. Rezultatul este 0.
    3. Prin urmare punctele sunt coliniare.

    Răspuns: 0

  7. Exercițiul 7

    Care este formula ariei triunghiului ABC în coordonate?

    Vezi rezolvarea
    1. Modulul determinantului dă aria paralelogramului construit pe AB și AC.
    2. Triunghiul ocupă jumătate din acel paralelogram.
    3. De aceea împărțim la 2.

    Răspuns: A = |det(AB, AC)|2

  8. Exercițiul 8

    Pentru A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3), aria triunghiului este:

    Vezi rezolvarea
    1. Putem folosi A = bază · înălțime2.
    2. A = 4 · 32 = 6.
    3. Determinantul ar da același rezultat.

    Răspuns: 6

  9. Exercițiul 9

    În triunghiul A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4), mijlocul lui BC este:

    Vezi rezolvarea
    1. xM = 6 + 22 = 4.
    2. yM = 0 + 42 = 2.
    3. M(4, 2).

    Răspuns: M(4, 2)

  10. Exercițiul 10

    Pentru triunghiul anterior, lungimea medianei AM este:

    Vezi rezolvarea
    1. AM = 42 + 22.
    2. AM = √20 = 2√5.

    Răspuns: √20=4·5=2√5

  11. Exercițiul 11

    Dreapta ax + by + c = 0 are un vector normal:

    Vezi rezolvarea
    1. Vectorul normal este perpendicular pe dreaptă.
    2. Pentru ecuația generală ax + by + c = 0, el este n = (a, b).

    Răspuns: n = (a, b)

  12. Exercițiul 12

    Pentru dreapta 2x − 3y + 5 = 0, un vector director este:

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector normal este n = (2, −3).
    2. Alegem directorul u = (−b, a) = (3, 2).
    3. Verificare: n · u = 2 · 3 + (−3) · 2 = 0.

    Răspuns: u = (3, 2)

  13. Exercițiul 13

    Pentru ce valoare a lui a vectorii u = (a, 2) și v = (3, −6) sunt perpendiculari?

    Vezi rezolvarea
    1. u · v = 3a + 2 · (−6).
    2. Impunem 3a − 12 = 0.
    3. Rezultă a = 4.

    Răspuns: a = 4

  14. Exercițiul 14

    Calculează aria triunghiului cu vârfurile A(0, 0), B(8, 0), C(0, 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Triunghiul este dreptunghic în A.
    2. Aria este 8 · 52.
    3. Rezultatul este 20.

    Răspuns: 20

  15. Exercițiul 15

    Pentru ce valoare a lui a punctele A(0, 0), B(2, 3), C(4, a) sunt coliniare?

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (2, 3), iar AC = (4, a).
    2. Condiția este 2a − 3 · 4 = 0.
    3. 2a − 12 = 0, deci a = 6.

    Răspuns: 6

Fișă progresivă · geometrie analitică (15)

  1. 1. Pornim de la zero

    Punctele A, B și C sunt coliniare dacă:

    Vezi răspunsul

    Vectorii AB și AC sunt coliniari, adică det(AB, AC) = 0.

  2. 2. Pornim de la zero

    Pentru u = (u1, u2) și v = (v1, v2), condiția de paralelism este:

    Vezi răspunsul

    u1v2 − u2v1 = 0

  3. 3. Pornim de la zero

    Pentru u = (u1, u2) și v = (v1, v2), condiția de perpendicularitate este:

    Vezi răspunsul

    u1v1 + u2v2 = 0

  4. 4. Pornim de la zero

    Vectorii u = (2, 3) și v = (4, 6) sunt:

    Vezi răspunsul

    Coliniari (paraleli): v = 2u.

  5. 5. Exersăm cu ajutor

    Vectorii u = (2, 1) și v = (1, −2) sunt:

    Vezi răspunsul

    Perpendiculari: 2 · 1 + 1 · (−2) = 0.

  6. 6. Exersăm cu ajutor

    A(0, 0), B(2, 2), C(4, 4). Valoarea determinantului det(AB, AC) este:

    Vezi răspunsul

    AB = (2, 2), AC = (4, 4): 2 · 4 − 2 · 4 = 0.

  7. 7. Exersăm cu ajutor

    Care este formula ariei triunghiului ABC în coordonate?

    Vezi răspunsul

    Aria = |(xB − xA)(yC − yA) − (xC − xA)(yB − yA)| : 2, adică |det(AB, AC)| : 2.

  8. 8. Exersăm cu ajutor

    Pentru A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3), aria triunghiului este:

    Vezi răspunsul

    4 · 3 : 2 = 6

  9. 9. Exersăm cu ajutor

    În triunghiul A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4), mijlocul lui BC este:

    Vezi răspunsul

    M(4, 2)

  10. 10. Exersăm cu ajutor

    Pentru triunghiul anterior, lungimea medianei AM este:

    Vezi răspunsul

    AM = 16 + 4 = 2√5

  11. 11. Rezolvi singur

    Dreapta ax + by + c = 0 are un vector normal:

    Vezi răspunsul

    n = (a, b)

  12. 12. Rezolvi singur

    Pentru dreapta 2x − 3y + 5 = 0, un vector director este:

    Vezi răspunsul

    u = (3, 2) (perpendicular pe normala (2, −3))

  13. 13. Rezolvi singur

    Pentru ce valoare a lui a vectorii u = (a, 2) și v = (3, −6) sunt perpendiculari?

    Vezi răspunsul

    3a + 2 · (−6) = 0, deci a = 4.

  14. 14. Rezolvi singur

    Calculează aria triunghiului cu vârfurile A(0, 0), B(8, 0), C(0, 5).

    Vezi răspunsul

    8 · 5 : 2 = 20

  15. 15. Rezolvi singur

    Pentru ce valoare a lui a punctele A(0, 0), B(2, 3), C(4, a) sunt coliniare?

    Vezi răspunsul

    2a − 3 · 4 = 0, deci a = 6.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.