Triunghiuri în coordonate și probleme mixte

În ultimul nivel combinăm formulele într-un algoritm de Bac: calculăm vectorii, alegem condiția și rezolvăm ecuația rămasă.

Determinant nul înseamnă paralelism; produs scalar nul înseamnă perpendicularitate. Această diferență trebuie să devină automată.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

A(1, 1) și B(4, 3) sunt reprezentate în același reper. De la A la B mergem 3 unități orizontal și 2 vertical. Segmentul AB este ipotenuza triunghiului ajutător, deci AB = √(3² + 2²) = √13. Mijlocul este M(2,5; 2).

1. Aceleași două calcule, două idei diferite

Determinantul verifică paralelismul, iar produsul scalar verifică perpendicularitatea. Nu le inversa.

u ∥ v ⇔ u₁v₂ − u₂v₁ = 0

u ⟂ v ⇔ u₁v₁ + u₂v₂ = 0

Coliniaritatea punctelor A, B, C se verifică folosind vectorii AB și AC.
Într-un triunghi dreptunghic, doi vectori care pleacă din vârful unghiului drept au produsul scalar 0.

2. Aria și liniile importante

Aria(ABC) = |det(AB, AC)|/2

Mijlocul lui BC → mediana AM

pentru ax + by + c = 0: n = (a, b), u = (−b, a)

Modulul este obligatoriu la arie.
La mediană, află întâi mijlocul laturii opuse, apoi distanța sau ecuația dreptei.
Verifică vectorul director prin produsul scalar n · u = 0.

Exemplu complet

A(0,0), B(4,0), C(0,3).

1.AB = (4,0), AC = (0,3).
2.det(AB, AC) = 4 · 3 − 0 · 0 = 12.
3.Aria este |12|/2 = 6.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · geometrie analitică · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Punctele A, B și C sunt coliniare dacă:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Vectorii AB și AC sunt coliniari, adică det(AB, AC) = 0.
Ex. 2Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru u = (u₁, u₂) și v = (v₁, v₂), condiția de paralelism este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u₁v₂ − u₂v₁ = 0
Ex. 3Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru u = (u₁, u₂) și v = (v₁, v₂), condiția de perpendicularitate este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u₁v₁ + u₂v₂ = 0
Ex. 4Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Vectorii u = (2, 3) și v = (4, 6) sunt:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Coliniari (paraleli): v = 2u.
Ex. 5Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Vectorii u = (2, 1) și v = (1, −2) sunt:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Perpendiculari: 2 · 1 + 1 · (−2) = 0.
Ex. 6Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
A(0, 0), B(2, 2), C(4, 4). Valoarea determinantului det(AB, AC) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (2, 2), AC = (4, 4): 2 · 4 − 2 · 4 = 0.
Ex. 7Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Care este formula ariei triunghiului ABC în coordonate?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria = |(x_B − x_A)(y_C − y_A) − (x_C − x_A)(y_B − y_A)| : 2, adică |det(AB, AC)| : 2.
Ex. 8Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3), aria triunghiului este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 · 3 : 2 = 6
Ex. 9Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
În triunghiul A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4), mijlocul lui BC este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(4, 2)
Ex. 10Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru triunghiul anterior, lungimea medianei AM este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AM = 16 + 4 = 2√5
Ex. 11Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Dreapta ax + by + c = 0 are un vector normal:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
n = (a, b)
Ex. 12Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru dreapta 2x − 3y + 5 = 0, un vector director este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
u = (3, 2) (perpendicular pe normala (2, −3))
Ex. 13Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru ce valoare a lui a vectorii u = (a, 2) și v = (3, −6) sunt perpendiculari?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3a + 2 · (−6) = 0, deci a = 4.
Ex. 14Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Calculează aria triunghiului cu vârfurile A(0, 0), B(8, 0), C(0, 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 · 5 : 2 = 20
Ex. 15Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru ce valoare a lui a punctele A(0, 0), B(2, 3), C(4, a) sunt coliniare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2a − 3 · 4 = 0, deci a = 6.