Panta și ecuația dreptei

Trecem de la două puncte la dreapta care le unește și înțelegem ce spun panta și termenul liber.

Dacă numitorul formulei pantei este zero, dreapta este verticală și se scrie x = constantă.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Dreapta y = 2x + 1 are pantă 2 și intersectează axa Oy în 1.

1. Panta și ecuația dreptei

Panta arată cât urcă sau coboară dreapta atunci când x crește cu o unitate. O pantă pozitivă urcă, una negativă coboară, iar panta 0 dă o dreaptă orizontală.

m = y_B − y_Ax_B − x_A

y − y_A = m(x − x_A)

y = mx + n

O dreaptă verticală are forma x = a și nu are pantă finită.
Verifici apartenența unui punct înlocuind coordonatele în ecuație.

2. Paralelism și perpendicularitate

d₁ ∥ d₂ ⇔ m₁ = m₂

d₁ ⟂ d₂ ⇔ m₁m₂ = −1

pentru ax + by + c = 0, un vector normal este n = (a, b)

Dreptele paralele distincte au aceeași pantă, dar termeni liberi diferiți.
Pentru perpendicularitate, nu este suficient ca pantele să aibă semne opuse; produsul trebuie să fie −1.

Exemplu

Dreaptă perpendiculară pe y = 2x + 1.

1.Panta inițială este 2.
2.Impunem 2m = −1.
3.Noua pantă este m = −12.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · geometrie analitică · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Graficul funcției y = 2x + 1 este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O dreaptă.
Ex. 2Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
În ecuația y = 3x − 2, panta dreptei este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 3Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
În ecuația y = −x + 4, ordonata la origine este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4
Ex. 4Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Panta dreptei prin A(1, 2) și B(3, 6) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 − 23 − 1 = 2
Ex. 5Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Ecuația dreptei prin A(1, 2) cu pantă 3 începe corect cu:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y − 2 = 3(x − 1)
Ex. 6Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Care este ecuația dreptei prin A(1, 2) cu pantă 3, în formă explicită?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 3x − 1
Ex. 7Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Două drepte neverticale sunt paralele dacă:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Au pantele egale (și ordonatele la origine diferite).
Ex. 8Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Două drepte neverticale sunt perpendiculare dacă:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Produsul pantelor este −1.
Ex. 9Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Dreapta d₁: y = 2x + 1 este paralelă cu:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Orice dreaptă cu panta 2, de exemplu y = 2x − 3.
Ex. 10Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Dreapta d₁: y = 2x + 1 este perpendiculară pe o dreaptă cu panta:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−12
Ex. 11Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Punctul M(2, 5) aparține dreptei y = 2x + 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 2 · 2 + 1 = 5.
Ex. 12Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Punctul N(1, 4) aparține dreptei 2x − y + 1 = 0?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: 2 · 1 − 4 + 1 = −1 ≠ 0.
Ex. 13Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Calculează panta dreptei prin A(−1, 1) și B(3, 9).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 − 13 − (−1) = 2
Ex. 14Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru ce valoare a lui a punctul M(a, 7) aparține dreptei y = 3x + 1?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3a + 1 = 7, deci a = 2.