Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Ecuația y = mx + n: panta și ordonata la origine
Graficul unei ecuații de forma y = mx + n este o dreaptă. Numărul m, coeficientul lui x, se numește pantă și arată cât urcă dreapta când x crește cu 1; dacă m este negativ, dreapta coboară.
Numărul n se numește ordonata la origine: când x = 0 obținem y = n, deci dreapta taie axa Oy în punctul (0, n).
🌍 În viața reală
Un abonament cu 10 lei pe lună și 20 de lei taxă de instalare costă y = 10x + 20 lei după x luni. Panta, 10, arată cât crește costul în fiecare lună, iar 20 este costul de pornire.
🧮 De ținut minte
y = mx + n
m = panta
(0, n) = intersecția cu Oy
✏️Exemplu cu alte date
Pentru dreapta y = −2x + 5, care sunt panta și punctul în care taie axa Oy?
1Coeficientul lui x este −2, deci panta este m = −2.
2Panta negativă arată că dreapta coboară de la stânga la dreapta.
3Pentru x = 0 obținem y = 5, deci dreapta taie Oy în (0, 5).
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Panta și ecuația dreptei: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.
Ecuația y = mx + n: panta și ordonata la origine
Graficul unei ecuații de forma y = mx + n este o dreaptă. Numărul m, coeficientul lui x, se numește pantă și arată cât urcă dreapta când x crește cu 1; dacă m este negativ, dreapta coboară.
Numărul n se numește ordonata la origine: când x = 0 obținem y = n, deci dreapta taie axa Oy în punctul (0, n).
y = mx + n
m = panta
(0, n) = intersecția cu Oy
Exemplu cu alte date
Pentru dreapta y = −2x + 5, care sunt panta și punctul în care taie axa Oy?
Coeficientul lui x este −2, deci panta este m = −2.
Panta negativă arată că dreapta coboară de la stânga la dreapta.
Pentru x = 0 obținem y = 5, deci dreapta taie Oy în (0, 5).
Panta dreptei prin două puncte
Panta este raportul dintre cât urcă dreapta și cât înaintează: diferența ordonatelor împărțită la diferența absciselor, în aceeași ordine.
Scădem în aceeași ordine sus și jos, de exemplu B minus A în ambele locuri. Dacă numitorul este 0, dreapta este verticală și nu are pantă.
m = y2 − y1x2 − x1
Exemplu cu alte date
Calculează panta dreptei prin A(2, 1) și B(4, 7).
Diferența ordonatelor: 7 − 1 = 6.
Diferența absciselor: 4 − 2 = 2.
m = 62 = 3.
Ecuația dreptei printr-un punct, cu panta dată
Dacă dreapta trece prin punctul A(x1, y1) și are panta m, ecuația ei este y − y1 = m(x − x1). Înlocuim coordonatele punctului și panta.
Ca să ajungem la forma y = mx + n, desfacem paranteza și mutăm numărul din stânga în dreapta, schimbându-i semnul.
y − y1 = m(x − x1)
Exemplu cu alte date
Scrie ecuația dreptei prin A(2, −1) cu panta 4.
Înlocuim: y − (−1) = 4(x − 2), adică y + 1 = 4(x − 2).
Desfacem paranteza: y + 1 = 4x − 8.
Scădem 1: y = 4x − 9.
Drepte paralele și drepte perpendiculare
Două drepte neverticale sunt paralele când au aceeași pantă: au aceeași înclinare. Dacă au și aceeași ordonată la origine, ele coincid.
Două drepte sunt perpendiculare când produsul pantelor este −1. Panta perpendicularei se obține întorcând fracția și schimbând semnul.
paralele: m1 = m2
perpendiculare: m1·m2 = −1
Exemplu cu alte date
Pentru dreapta y = −3x + 2, ce pantă are o paralelă și ce pantă are o perpendiculară?
Panta dreptei date este −3.
O paralelă are tot panta −3.
O perpendiculară are panta m cu −3·m = −1, deci m = 13.
Un punct aparține unei drepte?
Un punct aparține unei drepte dacă coordonatele lui verifică ecuația. Înlocuim x cu abscisa punctului și y cu ordonata lui.
Dacă obținem o egalitate adevărată, punctul este pe dreaptă. Dacă o coordonată este necunoscută, egalitatea devine o ecuație din care o aflăm.
P(a, b) ∈ d ⇔ coordonatele verifică ecuația lui d
Exemplu cu alte date
Punctul P(3, 7) aparține dreptei y = 2x + 1?
Înlocuim x cu 3: 2·3 + 1 = 7.
Obținem exact ordonata punctului, 7.
Deci P aparține dreptei.
Exerciții rezolvate din lecție (14)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Graficul funcției y = 2x + 1 este:
Vezi rezolvarea
Ecuația este de gradul I în x și y.
Graficul unei funcții afine este o dreaptă.
Răspuns: O dreaptă
Exercițiul 2
În ecuația y = 3x − 2, panta dreptei este:
Vezi rezolvarea
Forma explicită este y = mx + n.
Coeficientul m este panta.
Aici m = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 3
În ecuația y = −x + 4, ordonata la origine este:
Vezi rezolvarea
Dreapta taie axa Oy când x = 0.
Atunci y = 4.
Ordonata la origine este 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 4
Panta dreptei prin A(1, 2) și B(3, 6) este:
Vezi rezolvarea
m = 6 − 23 − 1.
m = 42 = 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 5
Ecuația dreptei prin A(1, 2) cu pantă 3 începe corect cu:
Vezi rezolvarea
Formula este y − yA = m(x − xA).
Înlocuim A(1, 2) și m = 3.
Obținem y − 2 = 3(x − 1).
Răspuns: y − 2 = 3(x − 1)
Exercițiul 6
Care este ecuația dreptei prin A(1, 2) cu pantă 3, în formă explicită?
Vezi rezolvarea
y − 2 = 3(x − 1) = 3x − 3.
Adunăm 2: y = 3x − 1.
Răspuns: y=3x−1
Exercițiul 7
Două drepte neverticale sunt paralele dacă:
Vezi rezolvarea
Dreptele paralele au aceeași înclinare.
În forma y = mx + n, condiția este m1 = m2.
Dacă și n este același, dreptele coincid.
Răspuns: Au aceeași pantă
Exercițiul 8
Două drepte neverticale sunt perpendiculare dacă:
Vezi rezolvarea
Pentru drepte perpendiculare, pantele sunt opuse reciproce.
De aceea produsul lor este −1.
Răspuns: m1 · m2 = −1
Exercițiul 9
Dreapta d1: y = 2x + 1 este paralelă cu:
Vezi rezolvarea
Panta lui d1 este 2.
Dreapta y = 2x − 5 are tot pantă 2.
Termenii liberi diferiți arată că sunt drepte distincte.
Răspuns: y = 2x − 5
Exercițiul 10
Dreapta d1: y = 2x + 1 este perpendiculară pe o dreaptă cu panta:
Vezi rezolvarea
Impunem 2 · m2 = −1.
Rezultă m2 = −12.
Răspuns: −12
Exercițiul 11
Punctul M(2, 5) aparține dreptei y = 2x + 1?
Vezi rezolvarea
Pentru x = 2, membrul drept este 2 · 2 + 1 = 5.
Aceasta este ordonata punctului M.
Deci M aparține dreptei.
Răspuns: Da
Exercițiul 12
Punctul N(1, 4) aparține dreptei 2x − y + 1 = 0?
Vezi rezolvarea
2 · 1 − 4 + 1 = −1.
Rezultatul nu este 0.
Deci N nu aparține dreptei.
Răspuns: Nu
Exercițiul 13
Calculează panta dreptei prin A(−1, 1) și B(3, 9).
Vezi rezolvarea
Diferența ordonatelor este 8.
Diferența absciselor este 4.
m = 84 = 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 14
Pentru ce valoare a lui a punctul M(a, 7) aparține dreptei y = 3x + 1?
Vezi rezolvarea
Condiția de apartenență este 7 = 3a + 1.
3a = 6.
a = 2.
Răspuns: 2
Fișă progresivă · geometrie analitică (14)
1. Pornim de la zero
Graficul funcției y = 2x + 1 este:
Vezi răspunsul
O dreaptă.
2. Pornim de la zero
În ecuația y = 3x − 2, panta dreptei este:
Vezi răspunsul
3
3. Pornim de la zero
În ecuația y = −x + 4, ordonata la origine este:
Vezi răspunsul
4
4. Pornim de la zero
Panta dreptei prin A(1, 2) și B(3, 6) este:
Vezi răspunsul
6 − 23 − 1 = 2
5. Exersăm cu ajutor
Ecuația dreptei prin A(1, 2) cu pantă 3 începe corect cu:
Vezi răspunsul
y − 2 = 3(x − 1)
6. Exersăm cu ajutor
Care este ecuația dreptei prin A(1, 2) cu pantă 3, în formă explicită?
Vezi răspunsul
y = 3x − 1
7. Exersăm cu ajutor
Două drepte neverticale sunt paralele dacă:
Vezi răspunsul
Au pantele egale (și ordonatele la origine diferite).
8. Exersăm cu ajutor
Două drepte neverticale sunt perpendiculare dacă:
Vezi răspunsul
Produsul pantelor este −1.
9. Exersăm cu ajutor
Dreapta d1: y = 2x + 1 este paralelă cu:
Vezi răspunsul
Orice dreaptă cu panta 2, de exemplu y = 2x − 3.
10. Exersăm cu ajutor
Dreapta d1: y = 2x + 1 este perpendiculară pe o dreaptă cu panta:
Vezi răspunsul
−12
11. Rezolvi singur
Punctul M(2, 5) aparține dreptei y = 2x + 1?
Vezi răspunsul
Da: 2 · 2 + 1 = 5.
12. Rezolvi singur
Punctul N(1, 4) aparține dreptei 2x − y + 1 = 0?
Vezi răspunsul
Nu: 2 · 1 − 4 + 1 = −1 ≠ 0.
13. Rezolvi singur
Calculează panta dreptei prin A(−1, 1) și B(3, 9).
Vezi răspunsul
9 − 13 − (−1) = 2
14. Rezolvi singur
Pentru ce valoare a lui a punctul M(a, 7) aparține dreptei y = 3x + 1?