Îți încărcăm progresul lecției…

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Distanță, mijloc și mediană · pas cu pas: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă, urmărești un exemplu cu alte date, apoi construiești rezolvarea a câteva exerciții, rând cu rând. Teoria fiecărei părți rămâne disponibilă la exercițiu.

Distanța dintre două puncte: construim triunghiul

Un punct A(xA; yA) are două coordonate: xA spune cât mergem stânga–dreapta, iar yA cât mergem sus–jos. În această parte lucrăm cu puncte care diferă pe ambele direcții, ca în problemele obișnuite cu coordonate.

Distanța AB este lungimea segmentului direct dintre A și B. Ca s-o calculăm, construim un triunghi dreptunghic cu o catetă orizontală și una verticală. Aflăm deplasările separat, le ridicăm la pătrat, le adunăm, apoi extragem radicalul. Fiecare operație are pasul ei pe ecran.

  • Δx = xB − xA; Δy = yB − yA
  • AB2 = (Δx)2 + (Δy)2; AB = (Δx)2 + (Δy)2

Exemplu rezolvat cu alte date

Cât este distanța dintre A(1; 2) și B(4; 6)?

  1. 1. Citim punctele: xA = 1, yA = 2; xB = 4, yB = 6. Prima coordonată este pe Ox, a doua pe Oy. Nu amestecăm cele două axe.
  2. 2. Lungimea cerută este segmentul oblic AB. Îl vedem ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic: mergem separat pe orizontală și pe verticală. Nu adunăm aceste două drumuri pentru a afla AB.
  3. 3. Pe Ox scădem final minus inițial: Δx = 4 − (1) = 3. Păstrăm ordinea B minus A. Semnul arată sensul: spre dreapta.
  4. 4. Pe Oy păstrăm aceeași ordine: Δy = 6 − (2) = 4. Aceasta este deplasarea în sus, nu încă lungimea lui AB.
  5. 5. Catetele sunt perpendiculare și au lungimile |Δx| = 3 și |Δy| = 4. Pitagora dă AB2 = (Δx)2 + (Δy)2.
  6. 6. Calculăm primul pătrat: (3)2 = (3) · (3) = 9. Pătratul înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși; un semn minus în paranteză dispare la această înmulțire.
  7. 7. Calculăm al doilea pătrat, separat: (4)2 = 16. Acum avem ambele valori; nu mai trebuie să reținem calculele precedente.
  8. 8. Adunăm pătratele: AB2 = 9 + 16 = 25. Acesta este pătratul lungimii: AB nu este 25.
  9. 9. Extragem radicalul pozitiv: AB = √25 = 5. Verificare: 5 · 5 = 25.
  10. 10. Interpretăm rezultatul: lungimea este 5, pozitivă. Dacă schimbăm A cu B, diferențele își schimbă semnul, dar pătratele rămân aceleași, deci BA = AB.

Greșeală frecventă: AB = |Δx| + |Δy| Aceasta este lungimea drumului frânt pe catete. Drumul direct AB se află prin Pitagora.

Distanța când o coordonată este negativă

O coordonată negativă nu face lungimea negativă. Ea spune că punctul este în stânga originii sau sub axa Ox. Scădem tot final minus inițial, cu semnul coordonatei inițiale în paranteză.

În 2 − (−1), cele două semne minus se transformă în plus: 2 + 1. Nu schimbăm regula distanței. Calculăm mai întâi diferențele, apoi pătratele lor; numerele deja găsite rămân la vedere.

  • b − (−a) = b + a
  • AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

Exemplu rezolvat cu alte date

Cât este distanța dintre A(-2; -3) și B(1; 1)?

  1. 1. Citim punctele: xA = -2, yA = -3; xB = 1, yB = 1. Prima coordonată este pe Ox, a doua pe Oy. Nu amestecăm cele două axe.
  2. 2. Lungimea cerută este segmentul oblic AB. Îl vedem ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic: mergem separat pe orizontală și pe verticală. Nu adunăm aceste două drumuri pentru a afla AB.
  3. 3. Pe Ox scădem final minus inițial: Δx = 1 − (-2) = 3. Minus în fața unui număr negativ devine plus. Semnul arată sensul: spre dreapta.
  4. 4. Pe Oy păstrăm aceeași ordine: Δy = 1 − (-3) = 4. Aceasta este deplasarea în sus, nu încă lungimea lui AB.
  5. 5. Catetele sunt perpendiculare și au lungimile |Δx| = 3 și |Δy| = 4. Pitagora dă AB2 = (Δx)2 + (Δy)2.
  6. 6. Calculăm primul pătrat: (3)2 = (3) · (3) = 9. Pătratul înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși; un semn minus în paranteză dispare la această înmulțire.
  7. 7. Calculăm al doilea pătrat, separat: (4)2 = 16. Acum avem ambele valori; nu mai trebuie să reținem calculele precedente.
  8. 8. Adunăm pătratele: AB2 = 9 + 16 = 25. Acesta este pătratul lungimii: AB nu este 25.
  9. 9. Extragem radicalul pozitiv: AB = √25 = 5. Verificare: 5 · 5 = 25.
  10. 10. Interpretăm rezultatul: lungimea este 5, pozitivă. Dacă schimbăm A cu B, diferențele își schimbă semnul, dar pătratele rămân aceleași, deci BA = AB.

Greșeală frecventă: 2 − (−1) = 1 Scădem un număr negativ, deci adunăm opusul lui: 2 + 1 = 3.

Deplasare negativă, distanță pozitivă

Dacă punctul final este mai la stânga, Δx este negativ. Dacă este mai jos, Δy este negativ. Semnele descriu direcția în care ne deplasăm; distanța dintre puncte rămâne pozitivă.

Pătratul include tot numărul, cu semn: (−3)2 = (−3)·(−3) = 9. Schimbarea sensului A→B în B→A schimbă semnele ambelor diferențe, dar nu și pătratele. De aceea AB și BA au aceeași lungime.

  • (−a)2 = a2
  • AB = BA

Exemplu rezolvat cu alte date

Cât este distanța dintre A(4; 5) și B(1; 1)?

  1. 1. Citim punctele: xA = 4, yA = 5; xB = 1, yB = 1. Prima coordonată este pe Ox, a doua pe Oy. Nu amestecăm cele două axe.
  2. 2. Lungimea cerută este segmentul oblic AB. Îl vedem ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic: mergem separat pe orizontală și pe verticală. Nu adunăm aceste două drumuri pentru a afla AB.
  3. 3. Pe Ox scădem final minus inițial: Δx = 1 − (4) = -3. Păstrăm ordinea B minus A. Semnul arată sensul: spre stânga.
  4. 4. Pe Oy păstrăm aceeași ordine: Δy = 1 − (5) = -4. Aceasta este deplasarea în jos, nu încă lungimea lui AB.
  5. 5. Catetele sunt perpendiculare și au lungimile |Δx| = 3 și |Δy| = 4. Pitagora dă AB2 = (Δx)2 + (Δy)2.
  6. 6. Calculăm primul pătrat: (-3)2 = (-3) · (-3) = 9. Pătratul înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși; un semn minus în paranteză dispare la această înmulțire.
  7. 7. Calculăm al doilea pătrat, separat: (-4)2 = 16. Acum avem ambele valori; nu mai trebuie să reținem calculele precedente.
  8. 8. Adunăm pătratele: AB2 = 9 + 16 = 25. Acesta este pătratul lungimii: AB nu este 25.
  9. 9. Extragem radicalul pozitiv: AB = √25 = 5. Verificare: 5 · 5 = 25.
  10. 10. Interpretăm rezultatul: lungimea este 5, pozitivă. Dacă schimbăm A cu B, diferențele își schimbă semnul, dar pătratele rămân aceleași, deci BA = AB.

Greșeală frecventă: (−3)2 = −9 Paranteza include minusul: minus ori minus dă plus. Expresia −32, fără paranteze, este alta.

Distanța nu trebuie să fie un număr întreg

După ce adunăm pătratele putem obține un număr care nu este pătrat perfect. √5 înseamnă lungimea pozitivă al cărei pătrat este 5. La Bac păstrăm forma exactă; nu trebuie să ghicești zecimale.

Dacă numărul conține un factor pătrat perfect, îl separăm: √20 = 4·5 = √4·√5 = 2√5. Nu despărțim un radical de sumă în sumă de radicali. În exerciții, produsul și radicalul mic se verifică separat.

  • a·b = √a·√b, pentru a, b ≥ 0
  • √20 = 2√5; √8 = 2√2

Exemplu rezolvat cu alte date

Cât este distanța dintre A(-3; 1) și B(-1; 5)?

  1. 1. Citim punctele: xA = -3, yA = 1; xB = -1, yB = 5. Prima coordonată este pe Ox, a doua pe Oy. Nu amestecăm cele două axe.
  2. 2. Lungimea cerută este segmentul oblic AB. Îl vedem ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic: mergem separat pe orizontală și pe verticală. Nu adunăm aceste două drumuri pentru a afla AB.
  3. 3. Pe Ox scădem final minus inițial: Δx = -1 − (-3) = 2. Minus în fața unui număr negativ devine plus. Semnul arată sensul: spre dreapta.
  4. 4. Pe Oy păstrăm aceeași ordine: Δy = 5 − (1) = 4. Aceasta este deplasarea în sus, nu încă lungimea lui AB.
  5. 5. Catetele sunt perpendiculare și au lungimile |Δx| = 2 și |Δy| = 4. Pitagora dă AB2 = (Δx)2 + (Δy)2.
  6. 6. Calculăm primul pătrat: (2)2 = (2) · (2) = 4. Pătratul înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși; un semn minus în paranteză dispare la această înmulțire.
  7. 7. Calculăm al doilea pătrat, separat: (4)2 = 16. Acum avem ambele valori; nu mai trebuie să reținem calculele precedente.
  8. 8. Adunăm pătratele: AB2 = 4 + 16 = 20. Acesta este pătratul lungimii: AB nu este 20.
  9. 9. Extragem radicalul pozitiv: AB = √20 = 2√5. Scoatem numai pătratul perfect: 20 = 4 · 5; √4 = 2.
  10. 10. Interpretăm rezultatul: lungimea este 2√5, pozitivă. Dacă schimbăm A cu B, diferențele își schimbă semnul, dar pătratele rămân aceleași, deci BA = AB.

Greșeală frecventă: 1 + 4 = 1 + 2 Radicalul nu se distribuie peste adunare. Calculăm întâi 1 + 4 = 5, apoi păstrăm √5.

Mijlocul: două medii, fără formula distanței

Când cerința spune «află mijlocul», răspunsul este un punct M, deci are două coordonate. M este la aceeași distanță de capete; pe fiecare axă, coordonata lui este exact la jumătate între coordonatele capetelor.

Adunăm abscisele și împărțim la 2. Apoi adunăm ordonatele și împărțim la 2. Nu ridicăm nimic la pătrat și nu amestecăm prima coordonată cu a doua. Scriem rezultatul în ordinea (xM; yM).

  • xM = xA + xB2
  • yM = yA + yB2

Exemplu rezolvat cu alte date

Află mijlocul lui AB, pentru A(0; 2) și B(4; 8).

  1. 1. Căutăm un punct, nu o lungime. M trebuie să fie la jumătatea drumului dintre A și B, deci calculăm două coordonate.
  2. 2. Folosim media pe fiecare axă: xM = xA + xB2 și yM = yA + yB2. Adunăm coordonate de același fel, apoi înjumătățim.
  3. 3. Pe Ox, suma este 0 + (4) = 4. Păstrăm semnele, fără să folosim ordonatele.
  4. 4. Înjumătățim suma: xM = 42 = 2. Am aflat prima coordonată.
  5. 5. Pe Oy, suma este 2 + (8) = 10. Abscisa găsită nu intră în această sumă.
  6. 6. Înjumătățim: yM = 102 = 5. Avem acum și a doua coordonată.
  7. 7. Scriem rezultatul în ordinea (x; y): M(2; 5). Nu inversăm coordonatele.
  8. 8. Verificăm poziția: 2 este între 0 și 4, iar 5 între 2 și 8. Segmentul AM este jumătate din AB, la fel ca MB.

Greșeală frecventă: M(xA + xB; yA + yB) Acestea sunt sumele, nu mediile. Fiecare sumă se împarte la 2.

Mijlocul cu semne și jumătăți

Media se calculează la fel și când avem coordonate negative: păstrăm semnele în sumă. −3 + 7 este 4, iar jumătatea lui 4 este 2. Nu folosim valorile absolute ale coordonatelor.

Dacă suma este impară, mijlocul poate avea o coordonată ca 1,5 sau −0,5. Acestea sunt valori exacte. Un punct nu trebuie să fie pe o intersecție cu coordonate întregi; nu rotunjim rezultatul. În perechea de coordonate scriem jumătățile ca fracții exacte: −0,5 = −12 și 1,5 = 32.

  • 32 = 1,5; −12 = −0,5
  • M(−12; 32) are coordonatele −0,5 și 1,5

Exemplu rezolvat cu alte date

Află mijlocul lui AB, pentru A(-2; 1) și B(3; 4).

  1. 1. Căutăm un punct, nu o lungime. M trebuie să fie la jumătatea drumului dintre A și B, deci calculăm două coordonate.
  2. 2. Folosim media pe fiecare axă: xM = xA + xB2 și yM = yA + yB2. Adunăm coordonate de același fel, apoi înjumătățim.
  3. 3. Pe Ox, suma este -2 + (3) = 1. Păstrăm semnele, fără să folosim ordonatele.
  4. 4. Înjumătățim suma: xM = 12 = 0,5. Jumătatea poate fi zecimală: nu rotunjim la un întreg.
  5. 5. Pe Oy, suma este 1 + (4) = 5. Abscisa găsită nu intră în această sumă.
  6. 6. Înjumătățim: yM = 52 = 2,5. Avem acum și a doua coordonată.
  7. 7. Scriem rezultatul în ordinea (x; y): M(12; 52). O coordonată cu jumătate se poate scrie ca fracție exactă: xM = 12 = 0,5, yM = 52 = 2,5. Nu rotunjim.
  8. 8. Verificăm poziția: 0,5 este între -2 și 3, iar 2,5 între 1 și 4. Segmentul AM este jumătate din AB, la fel ca MB.

Greșeală frecventă: Rotunjim coordonata mijlocului la un întreg Rotunjirea mută punctul; el nu mai este exact la jumătatea segmentului.

Capătul necunoscut: întoarcem formula mijlocului

Aici mijlocul M este cunoscut, iar un capăt lipsește. Pornim din formula mediei, fără să o confundăm cu distanța. Înmulțim formula cu 2, apoi scădem coordonata capătului cunoscut.

Dacă se cere numai abscisa, lucrăm doar pe Ox. Dacă se cere numai ordonata, lucrăm doar pe Oy. La final verificăm: media dintre coordonata lui A și cea găsită pentru B trebuie să fie coordonata dată a lui M.

  • 2xM = xA + xB ⇒ xB = 2xM − xA
  • 2yM = yA + yB ⇒ yB = 2yM − yA

Exemplu rezolvat cu alte date

M(4; 3) este mijlocul lui AB. Dacă A(2; 1), care este punctul B?

  1. 1. De această dată M este dat, iar B lipsește. Nu mai căutăm media capetelor: folosim media cunoscută pentru a reconstrui capătul.
  2. 2. Pornim din xM = xA + xB2. Înmulțim cu 2: 2xM = xA + xB. Aceeași relație există pentru ordonate.
  3. 3. Scădem coordonata cunoscută a lui A din ambii membri: xB = 2xM − xA și yB = 2yM − yA. Nu este xM − xA: dublarea nu dispare.
  4. 4. Facem întâi dublarea pe Ox: 2 · (4) = 8. Acesta este totalul absciselor capetelor.
  5. 5. Scădem abscisa lui A: xB = 8 − (2) = 6. Am rămas cu abscisa lui B.
  6. 6. Pe Oy dublăm separat: 2 · (3) = 6. Nu folosim rezultatul de pe Ox.
  7. 7. Scădem ordonata lui A: yB = 6 − (1) = 5. Avem ambele coordonate.
  8. 8. Scriem B(6; 5). Pe desen, M se află între A și B: mergem încă o dată de la M în același sens în care am mers de la A la M.
  9. 9. Verificăm prin media capetelor: 2 + (6)2 = 4; 1 + (5)2 = 3. Regăsim exact M(4; 3) din enunț.

Greșeală frecventă: xB = xM − xA Lipsește dublarea mijlocului, care vine din anularea împărțirii la 2.

Capătul necunoscut: aflăm ambele coordonate

Dacă se cere punctul B întreg, aplicăm formula de două ori: o dată pentru abscisă, o dată pentru ordonată. Fiecare dublare și fiecare scădere au pasul lor; nu trebuie să faci tot lanțul în cap.

La coordonate negative păstrăm parantezele. După ce scriem B(xB; yB), verificăm ambele medii. Pe desen, drumul A→M se continuă încă o dată, cu aceeași direcție și același sens, pentru a ajunge în B.

  • B(2xM − xA; 2yM − yA)

Exemplu rezolvat cu alte date

M(1; 1) este mijlocul lui AB. Dacă A(-1; 4), care este punctul B?

  1. 1. De această dată M este dat, iar B lipsește. Nu mai căutăm media capetelor: folosim media cunoscută pentru a reconstrui capătul.
  2. 2. Pornim din xM = xA + xB2. Înmulțim cu 2: 2xM = xA + xB. Aceeași relație există pentru ordonate.
  3. 3. Scădem coordonata cunoscută a lui A din ambii membri: xB = 2xM − xA și yB = 2yM − yA. Nu este xM − xA: dublarea nu dispare.
  4. 4. Facem întâi dublarea pe Ox: 2 · (1) = 2. Acesta este totalul absciselor capetelor.
  5. 5. Scădem abscisa lui A: xB = 2 − (-1) = 3. Scăderea unui număr negativ devine adunare.
  6. 6. Pe Oy dublăm separat: 2 · (1) = 2. Nu folosim rezultatul de pe Ox.
  7. 7. Scădem ordonata lui A: yB = 2 − (4) = -2. Avem ambele coordonate.
  8. 8. Scriem B(3; -2). Pe desen, M se află între A și B: mergem încă o dată de la M în același sens în care am mers de la A la M.
  9. 9. Verificăm prin media capetelor: -1 + (3)2 = 1; 4 + (-2)2 = 1. Regăsim exact M(1; 1) din enunț.

Greșeală frecventă: Schimbăm doar un semn, fără să verificăm media Reconstrucția trebuie să respecte ambele coordonate ale mijlocului, nu numai poziția aproximativă pe desen.

Mediana: alegem latura corectă și îi aflăm mijlocul

Într-un triunghi, mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Pentru mediana din A, latura opusă este BC: A nu intră în calculul mijlocului. Desenul arată mai întâi triunghiul, apoi M și segmentul AM.

Dacă se cere doar punctul unde ajunge mediana, rezolvăm o problemă de mijloc pentru B și C. Nu calculăm încă distanța. Mediana nu este, în general, perpendiculară pe latura BC; aceasta ar fi o altă condiție.

  • M(xB + xC2; yB + yC2)
  • Mediana din A este segmentul AM

Exemplu rezolvat cu alte date

În triunghiul A(0; 0), B(0; 4), C(4; 2), află punctul în care ajunge mediana din A.

  1. 1. Mediana din A unește vârful A cu mijlocul M al laturii opuse BC. Nu căutăm piciorul unei perpendiculare: aceea ar fi înălțimea.
  2. 2. Folosim media pe fiecare axă: xM = xB + xC2 și yM = yB + yC2. Adunăm coordonate de același fel, apoi înjumătățim.
  3. 3. Pe Ox, suma este 0 + (4) = 4. Păstrăm semnele, fără să folosim ordonatele.
  4. 4. Înjumătățim suma: xM = 42 = 2. Am aflat prima coordonată.
  5. 5. Pe Oy, suma este 4 + (2) = 6. Abscisa găsită nu intră în această sumă.
  6. 6. Înjumătățim: yM = 62 = 3. Avem acum și a doua coordonată.
  7. 7. Scriem rezultatul în ordinea (x; y): M(2; 3). Nu inversăm coordonatele.
  8. 8. Unim A cu M. Cerința cere capătul medianei, deci ne oprim la coordonatele lui M; nu calculăm lungimea.

Greșeală frecventă: Pentru mediana din A căutăm mijlocul lui AB BC este latura opusă lui A. AB conține vârful de plecare.

Lungimea medianei: mijlocul, apoi distanța oblică

Pentru lungimea medianei avem două sarcini, în această ordine: întâi găsim M, mijlocul lui BC; apoi calculăm distanța dintre A și M. Nu folosim lungimea lui BC în locul lui AM.

Păstrăm pe ecran coordonatele lui M. Le punem în formula distanței ca pe coordonatele oricărui punct: diferențe, pătrate, sumă, radical. Dacă rezultatul conține un pătrat perfect, simplificăm radicalul la final.

  • M(xB + xC2; yB + yC2)
  • AM = (xM − xA)2 + (yM − yA)2

Exemplu rezolvat cu alte date

În triunghiul A(0; -1), B(1; 5), C(5; 1), calculează lungimea medianei din A.

  1. 1. Mediana din A unește vârful A cu mijlocul M al laturii opuse BC. Nu căutăm piciorul unei perpendiculare: aceea ar fi înălțimea.
  2. 2. Folosim media pe fiecare axă: xM = xB + xC2 și yM = yB + yC2. Adunăm coordonate de același fel, apoi înjumătățim.
  3. 3. Pe Ox, suma este 1 + (5) = 6. Păstrăm semnele, fără să folosim ordonatele.
  4. 4. Înjumătățim suma: xM = 62 = 3. Am aflat prima coordonată.
  5. 5. Pe Oy, suma este 5 + (1) = 6. Abscisa găsită nu intră în această sumă.
  6. 6. Înjumătățim: yM = 62 = 3. Avem acum și a doua coordonată.
  7. 7. Scriem rezultatul în ordinea (x; y): M(3; 3). Nu inversăm coordonatele.
  8. 8. Acum folosim distanța dintre A(0; -1) și M(3; 3), nu dintre B și C.
  9. 9. Pe Ox scădem final minus inițial: Δx = 3 − (0) = 3. Păstrăm ordinea M minus A. Semnul arată sensul: spre dreapta.
  10. 10. Pe Oy păstrăm aceeași ordine: Δy = 3 − (-1) = 4. Aceasta este deplasarea în sus, nu încă lungimea lui AM.
  11. 11. Catetele sunt perpendiculare și au lungimile |Δx| = 3 și |Δy| = 4. Pitagora dă AM2 = (Δx)2 + (Δy)2.
  12. 12. Calculăm primul pătrat: (3)2 = (3) · (3) = 9. Pătratul înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși; un semn minus în paranteză dispare la această înmulțire.
  13. 13. Calculăm al doilea pătrat, separat: (4)2 = 16. Acum avem ambele valori; nu mai trebuie să reținem calculele precedente.
  14. 14. Adunăm pătratele: AM2 = 9 + 16 = 25. Acesta este pătratul lungimii: AM nu este 25.
  15. 15. Extragem radicalul pozitiv: AM = √25 = 5. Verificare: 5 · 5 = 25.

Greșeală frecventă: Aplicăm formula distanței direct lui B și C Aceasta dă lungimea laturii BC. Mediana cerută are capetele A și M.

Exerciții rezolvate din lecție (30)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Distanța dintre O(0, 0) și A(3, 4) este:

    Vezi rezolvarea
    1. OA = 32 + 42.
    2. OA = 9 + 16 = √25.
    3. OA = 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Calculează distanța dintre A(2; 1) și B(8; 9).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = 2; xB = 8. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim 2 la A și 8 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = 6. Scădem 2 din 8: obținem 6. Plusul arată că mergem spre dreapta; încă nu am aflat distanța oblică.
    4. Δy = 8. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Scădem 1 din 9. Obținem 8: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 36. Pătratul înseamnă (6) · (6) = 36, nu 6 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    7. (Δy)2 = 64. (8) · (8) = 64. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 100. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 36 + 64 = 100. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 10. AB2 = 100, deci AB = √100 = 10. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 10

  3. Exercițiul 3

    Calculează distanța dintre A(1; 3) și B(5; 6).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = 1; xB = 5. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim 1 la A și 5 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = 4. Scădem 1 din 5: obținem 4. Plusul arată că mergem spre dreapta; încă nu am aflat distanța oblică.
    4. Δy = 3. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Scădem 3 din 6. Obținem 3: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 16. Pătratul înseamnă (4) · (4) = 16, nu 4 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    7. (Δy)2 = 9. (3) · (3) = 9. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 25. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 16 + 9 = 25. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 5. AB2 = 25, deci AB = √25 = 5. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 5

  4. Exercițiul 4

    Calculează distanța dintre A(−1, 2) și B(3, 5).

    Vezi rezolvarea
    1. AB = (3 − (−1))2 + (5 − 2)2.
    2. AB = 42 + 32 = √25.
    3. AB = 5.

    Răspuns: 5

  5. Exercițiul 5

    Calculează distanța dintre A(-2; -1) și B(1; 3).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = -2; xB = 1. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim -2 la A și 1 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = 3. Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: 1 − (-2) = 1 + 2 = 3. Semnul lui Δx arată sensul deplasării, nu lungimea segmentului.
    4. Δy = 4. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Minus în fața lui -1 schimbă scăderea în adunare. Obținem 4: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 9. Pătratul înseamnă (3) · (3) = 9, nu 3 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    7. (Δy)2 = 16. (4) · (4) = 16. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 25. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 9 + 16 = 25. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 5. AB2 = 25, deci AB = √25 = 5. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 5

  6. Exercițiul 6

    Calculează distanța dintre A(-1; -3) și B(5; 5).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = -1; xB = 5. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim -1 la A și 5 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = 6. Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: 5 − (-1) = 5 + 1 = 6. Semnul lui Δx arată sensul deplasării, nu lungimea segmentului.
    4. Δy = 8. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Minus în fața lui -3 schimbă scăderea în adunare. Obținem 8: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 36. Pătratul înseamnă (6) · (6) = 36, nu 6 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    7. (Δy)2 = 64. (8) · (8) = 64. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 100. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 36 + 64 = 100. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 10. AB2 = 100, deci AB = √100 = 10. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 10

  7. Exercițiul 7

    Calculează distanța dintre A(5; 4) și B(2; 0).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = 5; xB = 2. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim 5 la A și 2 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = -3. Scădem 5 din 2: obținem -3. Minusul arată că mergem spre stânga; o lungime nu va fi negativă.
    4. Δy = -4. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Scădem 4 din 0. Obținem -4: mergem în jos. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 9. Pătratul înseamnă (-3) · (-3) = 9, nu -3 · 2. Minus ori minus dă plus: parantezele includ semnul.
    7. (Δy)2 = 16. (-4) · (-4) = 16. Și aici minus ori minus dă plus. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 25. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 9 + 16 = 25. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 5. AB2 = 25, deci AB = √25 = 5. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 5

  8. Exercițiul 8

    Calculează distanța dintre A(4; -2) și B(-2; 6).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = 4; xB = -2. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim 4 la A și -2 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = -6. Scădem 4 din -2: obținem -6. Minusul arată că mergem spre stânga; o lungime nu va fi negativă.
    4. Δy = 8. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Minus în fața lui -2 schimbă scăderea în adunare. Obținem 8: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 36. Pătratul înseamnă (-6) · (-6) = 36, nu -6 · 2. Minus ori minus dă plus: parantezele includ semnul.
    7. (Δy)2 = 64. (8) · (8) = 64. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 100. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 36 + 64 = 100. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 10. AB2 = 100, deci AB = √100 = 10. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 10

  9. Exercițiul 9

    Calculează distanța dintre A(-2; 5) și B(1; 1).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = -2; xB = 1. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim -2 la A și 1 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = 3. Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: 1 − (-2) = 1 + 2 = 3. Semnul lui Δx arată sensul deplasării, nu lungimea segmentului.
    4. Δy = -4. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Scădem 5 din 1. Obținem -4: mergem în jos. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 9. Pătratul înseamnă (3) · (3) = 9, nu 3 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    7. (Δy)2 = 16. (-4) · (-4) = 16. Și aici minus ori minus dă plus. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 25. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 9 + 16 = 25. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 5. AB2 = 25, deci AB = √25 = 5. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 5

  10. Exercițiul 10

    Calculează distanța dintre A(1; -1) și B(2; 1).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = 1; xB = 2. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim 1 la A și 2 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = 1. Scădem 1 din 2: obținem 1. Plusul arată că mergem spre dreapta; încă nu am aflat distanța oblică.
    4. Δy = 2. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Minus în fața lui -1 schimbă scăderea în adunare. Obținem 2: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 1. Pătratul înseamnă (1) · (1) = 1, nu 1 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    7. (Δy)2 = 4. (2) · (2) = 4. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 5. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 1 + 4 = 5. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. √5. AB2 = 5, deci AB = √5 = √5. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: √5

  11. Exercițiul 11

    Calculează distanța dintre A(-2; 1) și B(0; 3).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = -2; xB = 0. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim -2 la A și 0 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = 2. Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: 0 − (-2) = 0 + 2 = 2. Semnul lui Δx arată sensul deplasării, nu lungimea segmentului.
    4. Δy = 2. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Scădem 1 din 3. Obținem 2: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 4. Pătratul înseamnă (2) · (2) = 4, nu 2 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    7. (Δy)2 = 4. (2) · (2) = 4. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 8. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 4 + 4 = 8. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. 8 = 4 · 2. Scriem 8 = 4 · 2. Regula a·b = √a·√b se aplică pentru a, b ≥ 0; pătratul perfect 4 poate ieși din radical.
    10. √4 = 2. 2 · 2 = 4, deci radicalul pozitiv este 2. Factorul √2 rămâne sub radical.
    11. 2√2. AB2 = 8, deci AB = √8 = 2√2. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: 2√2

  12. Exercițiul 12

    Calculează distanța dintre A(3; 2) și B(2; -1).

    Vezi rezolvarea
    1. xA = 3; xB = 2. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim 3 la A și 2 la B; ordonatele vor fi folosite separat.
    2. Δx = xB − xA. Δx = xB − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    3. Δx = -1. Scădem 3 din 2: obținem -1. Minusul arată că mergem spre stânga; o lungime nu va fi negativă.
    4. Δy = -3. Păstrăm aceeași ordine: yB − yA. Scădem 2 din -1. Obținem -3: mergem în jos. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    5. AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AB este ipotenuza: AB2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    6. (Δx)2 = 1. Pătratul înseamnă (-1) · (-1) = 1, nu -1 · 2. Minus ori minus dă plus: parantezele includ semnul.
    7. (Δy)2 = 9. (-3) · (-3) = 9. Și aici minus ori minus dă plus. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    8. AB2 = 10. Teorema lui Pitagora dă AB2 = 1 + 9 = 10. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    9. √10. AB2 = 10, deci AB = √10 = √10. Distanța este lungimea pozitivă a segmentului, indiferent de sensul deplasării. Rezultatul cerut este lungimea, adică radicalul pozitiv al sumei pătratelor, nu suma însăși.

    Răspuns: √10

  13. Exercițiul 13

    Mijlocul segmentului cu capetele A(2, 4) și B(6, 8) este:

    Vezi rezolvarea
    1. xM = 2 + 62 = 4.
    2. yM = 4 + 82 = 6.
    3. M(4, 6).

    Răspuns: M(4, 6)

  14. Exercițiul 14

    Află mijlocul segmentului cu capetele A(0; -2) și B(4; 4).

    Vezi rezolvarea
    1. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    2. Suma absciselor = 4. Abscisele sunt 0 și 4, cu semnele lor. Suma este 4; nu am înjumătățit-o încă.
    3. xM = 2. xM = 0 + (4)2 = 42 = 2. Mijlocul nu este suma, ci jumătatea ei.
    4. Suma ordonatelor = 2. Ordonatele sunt -2 și 4. Suma este 2. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    5. yM = 1. yM = -2 + (4)2 = 1. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    6. M(2; 1). M(2; 1): xM = 2, yM = 1. Fiecare coordonată este între coordonatele corespunzătoare ale capetelor. Scriem media absciselor prima și media ordonatelor a doua. Mijlocul este un punct, nu o distanță.

    Răspuns: M(2; 1)

  15. Exercițiul 15

    Află mijlocul segmentului cu capetele A(-4; 1) și B(2; 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    2. Suma absciselor = -2. Abscisele sunt -4 și 2, cu semnele lor. Suma este -2; nu am înjumătățit-o încă.
    3. xM = -1. xM = -4 + (2)2 = -22 = -1. Mijlocul nu este suma, ci jumătatea ei.
    4. Suma ordonatelor = 6. Ordonatele sunt 1 și 5. Suma este 6. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    5. yM = 3. yM = 1 + (5)2 = 3. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    6. M(-1; 3). M(-1; 3): xM = -1, yM = 3. Fiecare coordonată este între coordonatele corespunzătoare ale capetelor. Scriem media absciselor prima și media ordonatelor a doua. Mijlocul este un punct, nu o distanță.

    Răspuns: M(-1; 3)

  16. Exercițiul 16

    Mijlocul segmentului cu capetele A(−3, 5) și B(7, −1) este:

    Vezi rezolvarea
    1. xM = −3 + 72 = 42 = 2.
    2. yM = 5 − 12 = 42 = 2.
    3. M(2, 2).

    Răspuns: M(2, 2)

  17. Exercițiul 17

    Află mijlocul segmentului cu capetele A(-2; 0) și B(1; 3).

    Vezi rezolvarea
    1. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    2. Suma absciselor = -1. Abscisele sunt -2 și 1, cu semnele lor. Suma este -1; nu am înjumătățit-o încă.
    3. xM = -0,5. xM = -2 + (1)2 = -12 = -0,5. O sumă impară poate da o coordonată cu jumătate: un punct nu trebuie să aibă coordonate întregi.
    4. Suma ordonatelor = 3. Ordonatele sunt 0 și 3. Suma este 3. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    5. yM = 1,5. yM = 0 + (3)2 = 1,5. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    6. xM = -12. -12 = -0,5. Fracția și numărul zecimal indică aceeași poziție. În coordonatele punctului folosim fracția exactă, fără rotunjire.
    7. yM = 32. 32 = 1,5. Fracția și numărul zecimal indică aceeași poziție. În coordonatele punctului folosim fracția exactă, fără rotunjire.
    8. M(-12; 32). M(-12; 32): xM = -0,5, yM = 1,5. Fiecare coordonată este între coordonatele corespunzătoare ale capetelor. Scriem media absciselor prima și media ordonatelor a doua. Mijlocul este un punct, nu o distanță.

    Răspuns: M(-12; 32)

  18. Exercițiul 18

    Află mijlocul segmentului cu capetele A(-3; -2) și B(2; 1).

    Vezi rezolvarea
    1. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    2. Suma absciselor = -1. Abscisele sunt -3 și 2, cu semnele lor. Suma este -1; nu am înjumătățit-o încă.
    3. xM = -0,5. xM = -3 + (2)2 = -12 = -0,5. O sumă impară poate da o coordonată cu jumătate: un punct nu trebuie să aibă coordonate întregi.
    4. Suma ordonatelor = -1. Ordonatele sunt -2 și 1. Suma este -1. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    5. yM = -0,5. yM = -2 + (1)2 = -0,5. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    6. xM = -12. -12 = -0,5. Fracția și numărul zecimal indică aceeași poziție. În coordonatele punctului folosim fracția exactă, fără rotunjire.
    7. yM = -12. -12 = -0,5. Fracția și numărul zecimal indică aceeași poziție. În coordonatele punctului folosim fracția exactă, fără rotunjire.
    8. M(-12; -12). M(-12; -12): xM = -0,5, yM = -0,5. Fiecare coordonată este între coordonatele corespunzătoare ale capetelor. Scriem media absciselor prima și media ordonatelor a doua. Mijlocul este un punct, nu o distanță.

    Răspuns: M(-12; -12)

  19. Exercițiul 19

    M(3, 2) este mijlocul lui AB, iar A(1, 5). Care este abscisa lui B?

    Vezi rezolvarea
    1. Din xM = xA + xB2 obținem xB = 2xM − xA.
    2. xB = 2 · 3 − 1 = 5.

    Răspuns: 5

  20. Exercițiul 20

    M(3, 2) este mijlocul lui AB, iar A(1, 5). Care este ordonata lui B?

    Vezi rezolvarea
    1. yB = 2 · 2 − 5.
    2. yB = 4 − 5 = −1.

    Răspuns: −1

  21. Exercițiul 21

    Punctul M(2, −1) este mijlocul segmentului AB, iar A(−2, 3). Scrie abscisa lui B.

    Vezi rezolvarea
    1. xB = 2 · 2 − (−2).
    2. xB = 4 + 2 = 6.

    Răspuns: 6

  22. Exercițiul 22

    M(1; 3) este mijlocul lui AB, iar A(-1; 2). Află punctul B.

    Vezi rezolvarea
    1. 2xM = xA + xB. Pornim din xM = xA + xB2. Înmulțirea ambilor membri cu 2 anulează împărțirea: 2xM = xA + xB.
    2. xB = 2xM − xA. Din 2xM = xA + xB scădem xA din ambii membri. Rămâne xB = 2xM − xA. Formula este aceeași pe Ox și Oy.
    3. 2xM = 2. Dublul coordonatei mijlocului este 2. Acesta este suma celor două coordonate ale capetelor, nu coordonata lui B.
    4. xB = 3. xB = 2 − (-1) = 3. Scăderea unui număr negativ devine adunare.
    5. 2xM (verificare) = 2. Suma coordonatelor capetelor este 2; împărțită la 2 revine la 1, coordonata dată a lui M. Capătul găsit respectă enunțul.
    6. 2yM = yA + yB. Pornim din yM = yA + yB2. Înmulțirea ambilor membri cu 2 anulează împărțirea: 2yM = yA + yB.
    7. yB = 2yM − yA. Din 2yM = yA + yB scădem yA din ambii membri. Rămâne yB = 2yM − yA. Formula este aceeași pe Ox și Oy.
    8. 2yM = 6. Dublul coordonatei mijlocului este 6. Acesta este suma celor două coordonate ale capetelor, nu coordonata lui B.
    9. yB = 4. yB = 6 − (2) = 4. Scădem capătul cunoscut din suma celor două capete.
    10. 2yM (verificare) = 6. Suma coordonatelor capetelor este 6; împărțită la 2 revine la 3, coordonata dată a lui M. Capătul găsit respectă enunțul.
    11. B(3; 4). B(3; 4). Verificare: -1 + (3)2 = 1 și 2 + (4)2 = 3; regăsim M(1; 3). Coordonata găsită trebuie să refacă media dată a capetelor. Verificarea de mai sus confirmă această condiție.

    Răspuns: B(3; 4)

  23. Exercițiul 23

    M(1; 1) este mijlocul lui AB, iar A(3; -1). Află punctul B.

    Vezi rezolvarea
    1. 2xM = xA + xB. Pornim din xM = xA + xB2. Înmulțirea ambilor membri cu 2 anulează împărțirea: 2xM = xA + xB.
    2. xB = 2xM − xA. Din 2xM = xA + xB scădem xA din ambii membri. Rămâne xB = 2xM − xA. Formula este aceeași pe Ox și Oy.
    3. 2xM = 2. Dublul coordonatei mijlocului este 2. Acesta este suma celor două coordonate ale capetelor, nu coordonata lui B.
    4. xB = -1. xB = 2 − (3) = -1. Scădem capătul cunoscut din suma celor două capete.
    5. 2xM (verificare) = 2. Suma coordonatelor capetelor este 2; împărțită la 2 revine la 1, coordonata dată a lui M. Capătul găsit respectă enunțul.
    6. 2yM = yA + yB. Pornim din yM = yA + yB2. Înmulțirea ambilor membri cu 2 anulează împărțirea: 2yM = yA + yB.
    7. yB = 2yM − yA. Din 2yM = yA + yB scădem yA din ambii membri. Rămâne yB = 2yM − yA. Formula este aceeași pe Ox și Oy.
    8. 2yM = 2. Dublul coordonatei mijlocului este 2. Acesta este suma celor două coordonate ale capetelor, nu coordonata lui B.
    9. yB = 3. yB = 2 − (-1) = 3. Scăderea unui număr negativ devine adunare.
    10. 2yM (verificare) = 2. Suma coordonatelor capetelor este 2; împărțită la 2 revine la 1, coordonata dată a lui M. Capătul găsit respectă enunțul.
    11. B(-1; 3). B(-1; 3). Verificare: 3 + (-1)2 = 1 și -1 + (3)2 = 1; regăsim M(1; 1). Coordonata găsită trebuie să refacă media dată a capetelor. Verificarea de mai sus confirmă această condiție.

    Răspuns: B(-1; 3)

  24. Exercițiul 24

    M(0; -1) este mijlocul lui AB, iar A(-2; -3). Află punctul B.

    Vezi rezolvarea
    1. 2xM = xA + xB. Pornim din xM = xA + xB2. Înmulțirea ambilor membri cu 2 anulează împărțirea: 2xM = xA + xB.
    2. xB = 2xM − xA. Din 2xM = xA + xB scădem xA din ambii membri. Rămâne xB = 2xM − xA. Formula este aceeași pe Ox și Oy.
    3. 2xM = 0. Dublul coordonatei mijlocului este 0. Acesta este suma celor două coordonate ale capetelor, nu coordonata lui B.
    4. xB = 2. xB = 0 − (-2) = 2. Scăderea unui număr negativ devine adunare.
    5. 2xM (verificare) = 0. Suma coordonatelor capetelor este 0; împărțită la 2 revine la 0, coordonata dată a lui M. Capătul găsit respectă enunțul.
    6. 2yM = yA + yB. Pornim din yM = yA + yB2. Înmulțirea ambilor membri cu 2 anulează împărțirea: 2yM = yA + yB.
    7. yB = 2yM − yA. Din 2yM = yA + yB scădem yA din ambii membri. Rămâne yB = 2yM − yA. Formula este aceeași pe Ox și Oy.
    8. 2yM = -2. Dublul coordonatei mijlocului este -2. Acesta este suma celor două coordonate ale capetelor, nu coordonata lui B.
    9. yB = 1. yB = -2 − (-3) = 1. Scăderea unui număr negativ devine adunare.
    10. 2yM (verificare) = -2. Suma coordonatelor capetelor este -2; împărțită la 2 revine la -1, coordonata dată a lui M. Capătul găsit respectă enunțul.
    11. B(2; 1). B(2; 1). Verificare: -2 + (2)2 = 0 și -3 + (1)2 = -1; regăsim M(0; -1). Coordonata găsită trebuie să refacă media dată a capetelor. Verificarea de mai sus confirmă această condiție.

    Răspuns: B(2; 1)

  25. Exercițiul 25

    A(0, 0), B(2, 0), C(6, 4). Mijlocul lui BC este:

    Vezi rezolvarea
    1. xM = 2 + 62 = 4.
    2. yM = 0 + 42 = 2.
    3. M(4, 2).

    Răspuns: M(4, 2)

  26. Exercițiul 26

    În triunghiul A(-1; 0), B(1; 4), C(5; 2), află punctul M în care ajunge mediana din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe BC, latura opusă lui A. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Pentru vârful A, latura opusă este BC: aflăm mijlocul lui B și C, apoi unim A cu M.
    2. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    3. Suma absciselor = 6. Abscisele sunt 1 și 5, cu semnele lor. Suma este 6; nu am înjumătățit-o încă.
    4. xM = 3. xM = 1 + (5)2 = 62 = 3. Mijlocul nu este suma, ci jumătatea ei.
    5. Suma ordonatelor = 6. Ordonatele sunt 4 și 2. Suma este 6. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    6. yM = 3. yM = 4 + (2)2 = 3. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    7. M(3; 3). M(3; 3) este mijlocul lui BC. Mediana este segmentul AM: A este punctul de plecare, M punctul de sosire. Folosim mijlocul laturii BC: mediana din A este segmentul AM. Răspundem exact la cerință, cu punctul sau lungimea cerută.

    Răspuns: M(3; 3)

  27. Exercițiul 27

    În triunghiul A(1; -2), B(-2; 2), C(4; 4), află punctul M în care ajunge mediana din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe BC, latura opusă lui A. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Pentru vârful A, latura opusă este BC: aflăm mijlocul lui B și C, apoi unim A cu M.
    2. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    3. Suma absciselor = 2. Abscisele sunt -2 și 4, cu semnele lor. Suma este 2; nu am înjumătățit-o încă.
    4. xM = 1. xM = -2 + (4)2 = 22 = 1. Mijlocul nu este suma, ci jumătatea ei.
    5. Suma ordonatelor = 6. Ordonatele sunt 2 și 4. Suma este 6. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    6. yM = 3. yM = 2 + (4)2 = 3. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    7. M(1; 3). M(1; 3) este mijlocul lui BC. Mediana este segmentul AM: A este punctul de plecare, M punctul de sosire. Folosim mijlocul laturii BC: mediana din A este segmentul AM. Răspundem exact la cerință, cu punctul sau lungimea cerută.

    Răspuns: M(1; 3)

  28. Exercițiul 28

    Pentru datele anterioare, lungimea medianei AM este:

    Vezi rezolvarea
    1. AM = 42 + 22.
    2. AM = √20.
    3. Simplificăm √20 = 2√5.

    Răspuns: √20=4·5=2√5

  29. Exercițiul 29

    În triunghiul A(-1; 0), B(1; 4), C(5; 2), calculează lungimea medianei din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe BC, latura opusă lui A. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Pentru vârful A, latura opusă este BC: aflăm mijlocul lui B și C, apoi unim A cu M.
    2. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    3. Suma absciselor = 6. Abscisele sunt 1 și 5, cu semnele lor. Suma este 6; nu am înjumătățit-o încă.
    4. xM = 3. xM = 1 + (5)2 = 62 = 3. Mijlocul nu este suma, ci jumătatea ei.
    5. Suma ordonatelor = 6. Ordonatele sunt 4 și 2. Suma este 6. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    6. yM = 3. yM = 4 + (2)2 = 3. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    7. Între A(-1; 0) și M(3; 3). M(3; 3) este noul capăt al medianei. Folosim A și M în formula de distanță; calculele mijlocului rămân vizibile.
    8. xA = -1; xM = 3. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim -1 la A și 3 la M; ordonatele vor fi folosite separat.
    9. Δx = xM − xA. Δx = xM − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    10. Δx = 4. Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: 3 − (-1) = 3 + 1 = 4. Semnul lui Δx arată sensul deplasării, nu lungimea segmentului.
    11. Δy = 3. Păstrăm aceeași ordine: yM − yA. Scădem 0 din 3. Obținem 3: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    12. AM2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AM este ipotenuza: AM2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    13. (Δx)2 = 16. Pătratul înseamnă (4) · (4) = 16, nu 4 · 2. Rezultatul măsoară pătratul catetei, nu lungimea oblică.
    14. (Δy)2 = 9. (3) · (3) = 9. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    15. AM2 = 25. Teorema lui Pitagora dă AM2 = 16 + 9 = 25. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    16. 5. M(3; 3) este mijlocul lui BC. AM2 = 25, deci mediana are lungimea AM = 5. Folosim mijlocul laturii BC: mediana din A este segmentul AM. Răspundem exact la cerință, cu punctul sau lungimea cerută.

    Răspuns: 5

  30. Exercițiul 30

    În triunghiul A(2; -1), B(-2; 3), C(2; 5), calculează lungimea medianei din A.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe BC, latura opusă lui A. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Pentru vârful A, latura opusă este BC: aflăm mijlocul lui B și C, apoi unim A cu M.
    2. Le adunăm, apoi împărțim suma la 2. Mijlocul este la jumătatea drumului dintre capete. Pe fiecare axă, poziția lui este media aritmetică a celor două poziții: prima + a doua2.
    3. Suma absciselor = 0. Abscisele sunt -2 și 2, cu semnele lor. Suma este 0; nu am înjumătățit-o încă.
    4. xM = 0. xM = -2 + (2)2 = 02 = 0. Mijlocul nu este suma, ci jumătatea ei.
    5. Suma ordonatelor = 8. Ordonatele sunt 3 și 5. Suma este 8. Nu adunăm o abscisă cu o ordonată.
    6. yM = 4. yM = 3 + (5)2 = 4. Acum avem separat xM și yM; la final le scriem în ordinea (x; y).
    7. Între A(2; -1) și M(0; 4). M(0; 4) este noul capăt al medianei. Folosim A și M în formula de distanță; calculele mijlocului rămân vizibile.
    8. xA = 2; xM = 0. Într-un punct (x; y), prima valoare arată poziția stânga–dreapta. Citim 2 la A și 0 la M; ordonatele vor fi folosite separat.
    9. Δx = xM − xA. Δx = xM − xA: poziția la care ajungem minus poziția de plecare. Paranteza păstrează semnul coordonatei inițiale.
    10. Δx = -2. Scădem 2 din 0: obținem -2. Minusul arată că mergem spre stânga; o lungime nu va fi negativă.
    11. Δy = 5. Păstrăm aceeași ordine: yM − yA. Minus în fața lui -1 schimbă scăderea în adunare. Obținem 5: mergem în sus. Δx rămâne mai sus, nu trebuie ținut în minte.
    12. AM2 = (Δx)2 + (Δy)2. Pe desen construim două catete perpendiculare, de lungimi |Δx| și |Δy|. AM este ipotenuza: AM2 = (Δx)2 + (Δy)2. Nu trebuie ca punctele să fie pe aceeași axă.
    13. (Δx)2 = 4. Pătratul înseamnă (-2) · (-2) = 4, nu -2 · 2. Minus ori minus dă plus: parantezele includ semnul.
    14. (Δy)2 = 25. (5) · (5) = 25. Ridicăm la pătrat, nu înmulțim cu 2. Cele două pătrate sunt acum disponibile pe ecran.
    15. AM2 = 29. Teorema lui Pitagora dă AM2 = 4 + 25 = 29. Acesta este pătratul lungimii; mai avem de extras radicalul pozitiv.
    16. √29. M(0; 4) este mijlocul lui BC. AM2 = 29, deci mediana are lungimea AM = √29. Folosim mijlocul laturii BC: mediana din A este segmentul AM. Răspundem exact la cerință, cu punctul sau lungimea cerută.

    Răspuns: √29

Fișă progresivă · geometrie analitică (14)

  1. 1. Pornim de la zero

    Care este formula distanței dintre A(x1, y1) și B(x2, y2)?

    Vezi răspunsul

    AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

  2. 2. Pornim de la zero

    Distanța dintre O(0, 0) și A(3, 4) este:

    Vezi răspunsul

    5

  3. 3. Pornim de la zero

    Distanța dintre A(1, 2) și B(1, 7) este:

    Vezi răspunsul

    5

  4. 4. Pornim de la zero

    Distanța dintre A(−2, 3) și B(4, 3) este:

    Vezi răspunsul

    6

  5. 5. Exersăm cu ajutor

    Care este formula mijlocului segmentului AB?

    Vezi răspunsul

    M(x1 + x22, y1 + y22)

  6. 6. Exersăm cu ajutor

    Mijlocul segmentului cu capetele A(2, 4) și B(6, 8) este:

    Vezi răspunsul

    (4, 6)

  7. 7. Exersăm cu ajutor

    Mijlocul segmentului cu capetele A(−3, 5) și B(7, −1) este:

    Vezi răspunsul

    (2, 2)

  8. 8. Exersăm cu ajutor

    M(3, 2) este mijlocul lui AB, iar A(1, 5). Care este abscisa lui B?

    Vezi răspunsul

    xB = 2 · 3 − 1 = 5

  9. 9. Exersăm cu ajutor

    M(3, 2) este mijlocul lui AB, iar A(1, 5). Care este ordonata lui B?

    Vezi răspunsul

    yB = 2 · 2 − 5 = −1

  10. 10. Exersăm cu ajutor

    În triunghiul ABC, mediana din A ajunge în:

    Vezi răspunsul

    În mijlocul laturii BC.

  11. 11. Rezolvi singur

    A(0, 0), B(2, 0), C(6, 4). Mijlocul lui BC este:

    Vezi răspunsul

    M(4, 2)

  12. 12. Rezolvi singur

    Pentru datele anterioare, lungimea medianei AM este:

    Vezi răspunsul

    AM = 16 + 4 = 2√5

  13. 13. Rezolvi singur

    Calculează distanța dintre A(−1, 2) și B(3, 5).

    Vezi răspunsul

    16 + 9 = 5

  14. 14. Rezolvi singur

    Punctul M(2, −1) este mijlocul segmentului AB, iar A(−2, 3). Scrie abscisa lui B.

    Vezi răspunsul

    xB = 2 · 2 − (−2) = 6

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.