Distanță, mijloc și mediană

Legăm coordonatele de două idei cunoscute: teorema lui Pitagora pentru distanță și media aritmetică pentru mijloc.

La o mediană, nu calcula direct. Mai întâi găsește mijlocul laturii opuse, apoi lucrează cu cele două puncte obținute.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

A(1, 1) și B(4, 3) sunt reprezentate în același reper. De la A la B mergem 3 unități orizontal și 2 vertical. Segmentul AB este ipotenuza triunghiului ajutător, deci AB = √(3² + 2²) = √13. Mijlocul este M(2,5; 2).

1. Distanța — Pitagora în coordonate

Diferențele de coordonate formează catetele unui triunghi dreptunghic. Distanța dintre puncte este ipotenuza.

AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²]

OA = x_A² + y_A²

Ordinea scăderilor nu schimbă distanța, deoarece diferențele se ridică la pătrat.
Simplifică radicalul la final.

2. Mijlocul și capătul necunoscut

M(x_A + x_B2, y_A + y_B2)

x_B = 2x_M − x_A

y_B = 2y_M − y_A

Nu confunda mijlocul cu vectorul AB.
Mediana unui triunghi unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.

Exemplu

A(−2, 4), B(6, 0).

1.x_M = −2 + 62 = 2.
2.y_M = 4 + 02 = 2.
3.M(2, 2).

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă progresivă · geometrie analitică · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Care este formula distanței dintre A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
Ex. 2Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Distanța dintre O(0, 0) și A(3, 4) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 3Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Distanța dintre A(1, 2) și B(1, 7) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 4Pornim de la zeroNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Distanța dintre A(−2, 3) și B(4, 3) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6
Ex. 5Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Care este formula mijlocului segmentului AB?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)
Ex. 6Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Mijlocul segmentului cu capetele A(2, 4) și B(6, 8) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(4, 6)
Ex. 7Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Mijlocul segmentului cu capetele A(−3, 5) și B(7, −1) este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(2, 2)
Ex. 8Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
M(3, 2) este mijlocul lui AB, iar A(1, 5). Care este abscisa lui B?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x_B = 2 · 3 − 1 = 5
Ex. 9Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
M(3, 2) este mijlocul lui AB, iar A(1, 5). Care este ordonata lui B?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y_B = 2 · 2 − 5 = −1
Ex. 10Exersăm cu ajutorNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
În triunghiul ABC, mediana din A ajunge în:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În mijlocul laturii BC.
Ex. 11Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
A(0, 0), B(2, 0), C(6, 4). Mijlocul lui BC este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M(4, 2)
Ex. 12Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Pentru datele anterioare, lungimea medianei AM este:
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AM = 16 + 4 = 2√5
Ex. 13Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Calculează distanța dintre A(−1, 2) și B(3, 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 + 9 = 5
Ex. 14Rezolvi singurNucleu comun · Subiectul I, exercițiul 5
Punctul M(2, −1) este mijlocul segmentului AB, iar A(−2, 3). Scrie abscisa lui B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x_B = 2 · 2 − (−2) = 6