Încărcăm partea curentă…

Funcții de la zero · înlocuim x și citim graficul

Punem o valoare în locul lui x

O funcție este o formulă care asociază fiecărei valori permise a lui x un singur rezultat. Litera f este numele funcției, iar f(x) notează valoarea calculată cu formula ei. Paranteza din f(x) nu înseamnă înmulțire.

În f(3), punem 3 în locul fiecărui x din formulă. Calculăm apoi expresia obținută. Numărul pus în locul lui x și valoarea f(3) nu sunt, în general, același lucru.

Pentru a calcula o valoare, înlocuim fiecare x din formulă cu numărul din paranteză. La un număr negativ păstrăm parantezele, apoi respectăm ordinea operațiilor.

De ținut minte

f(x)=ax+b ⇒ f(t)=a·t+b
  • La înlocuirea lui x cu −2 păstrăm parantezele, ca să nu pierdem semnul minus.

Exemplu cu alte date

Pentru g(x)=4x−3, calculează g(−2).

  1. 1În g(−2), punem −2 în locul lui x.
  2. 2Scriem cu paranteze: g(−2)=4·(−2)−3.
  3. 3Calculăm −8−3=−11, deci g(−2)=−11.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții de la zero · înlocuim x și citim graficul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Punem o valoare în locul lui x

O funcție este o formulă care asociază fiecărei valori permise a lui x un singur rezultat. Litera f este numele funcției, iar f(x) notează valoarea calculată cu formula ei. Paranteza din f(x) nu înseamnă înmulțire.

În f(3), punem 3 în locul fiecărui x din formulă. Calculăm apoi expresia obținută. Numărul pus în locul lui x și valoarea f(3) nu sunt, în general, același lucru.

Pentru a calcula o valoare, înlocuim fiecare x din formulă cu numărul din paranteză. La un număr negativ păstrăm parantezele, apoi respectăm ordinea operațiilor.

  • f(x)=ax+b ⇒ f(t)=a·t+b
  • La înlocuirea lui x cu −2 păstrăm parantezele, ca să nu pierdem semnul minus.

Exemplu cu alte date

Pentru g(x)=4x−3, calculează g(−2).

  1. În g(−2), punem −2 în locul lui x.
  2. Scriem cu paranteze: g(−2)=4·(−2)−3.
  3. Calculăm −8−3=−11, deci g(−2)=−11.

Punctul de pe grafic este (x, f(x))

Graficul unei funcții conține puncte de forma (x, f(x)). Prima coordonată este valoarea pe care o punem în locul lui x, iar a doua este rezultatul calculului f(x).

Pentru un punct deja dat, calculăm funcția în prima coordonată și o comparăm cu a doua. Nu inversăm cele două coordonate.

  • P(a,b) este pe grafic ⇔ f(a)=b
  • Un punct de forma (f(a),a) nu este, în general, pe grafic.

Exemplu cu alte date

P(2,5) este pe graficul lui g(x)=3x−1?

  1. Prima coordonată este 2; calculăm g(2)=3·2−1.
  2. Rezultatul este 5, egal cu a doua coordonată.
  3. Prin urmare P(2,5) aparține graficului.

Domeniul: ce valori putem pune în locul lui x?

Domeniul conține toate valorile permise pentru x. Codomeniul este mulțimea în care spunem că ajung rezultatele; nu le confundăm.

La o fracție, numitorul nu poate fi zero. Rezolvăm interdicția privind x și excludem acea valoare din mulțimea numerelor reale.

  • D={x | formula are sens}
  • Mai întâi află ce valori ale lui x poți introduce, nu ce rezultate obții.

Exemplu cu alte date

Găsește domeniul lui g(x)=1x+3.

  1. Numitorul trebuie să fie diferit de zero: x+3≠0.
  2. Scădem 3 și obținem x≠−3.
  3. Domeniul este ℝ ∖ {−3}; la −3 fracția nu există.

Imaginea: ce rezultate pot apărea?

Imaginea conține valorile f(x) obținute efectiv, nu valorile lui x din domeniu. Codomeniul poate fi mai larg decât imaginea. Aici Im(f) înseamnă «imaginea funcției f», adică mulțimea rezultatelor posibile. Nu o confundăm cu Im(z) din numere complexe, care înseamnă partea imaginară a numărului z.

Pentru un pătrat, rezultatul nu poate fi negativ. Zero apare pentru x=0, iar orice număr pozitiv poate fi obținut ca pătratul rădăcinii sale.

  • Im(f)={f(x) | x∈D}
  • x2≥0 pentru orice x real
  • Nu elimina capătul 2: funcția îl atinge pentru x=0.

Exemplu cu alte date

Ce imagine are g(x)=x2+2, cu domeniul ℝ?

  1. Orice pătrat x2 este cel puțin zero.
  2. Adunăm 2, deci g(x)≥2; valoarea 2 apare pentru x=0.
  3. Orice valoare peste 2 este obținută, așadar imaginea este [2,+∞).

Funcții pare, impare sau niciuna

Înlocuim x cu −x în toată formula. Dacă f(−x)=f(x) pentru orice x dintr-un domeniu simetric față de zero, funcția este pară. Dacă f(−x)=−f(x), este impară.

Verificarea unei singure valori poate arăta că o proprietate este falsă, dar nu o demonstrează pentru toate valorile. Pentru demonstrație simplificăm expresiile simbolice.

  • pară: f(−x)=f(x)
  • impară: f(−x)=−f(x)
  • O funcție poate fi nici pară, nici impară; verifică ambele egalități.

Exemplu cu alte date

Clasifică g(x)=x4+1 și h(x)=x5 pe ℝ.

  1. g(−x)=(−x)4+1=x4+1=g(x), deci g este pară.
  2. h(−x)=(−x)5=−x5=−h(x), deci h este impară.
  3. În ambele cazuri relația este valabilă pentru orice x real.

Când știm f(x), aflăm x

Dacă știm rezultatul funcției, scriem formula egală cu acel rezultat și rezolvăm ecuația. La o funcție de gradul I poate ieși un singur x.

La o funcție pătratică pot exista două valori diferite ale lui x care dau același rezultat. Verificăm toate soluțiile în ecuația inițială.

  • f(x)=c ⇒ rezolvăm ecuația în x
  • Valoarea f(x) este cunoscută; necunoscuta pe care o căutăm este x.

Exemplu cu alte date

Pentru g(x)=5x+1, află x dacă g(x)=16.

  1. Scriem ecuația 5x+1=16.
  2. Scădem 1: 5x=15, apoi împărțim la 5.
  3. x=3; verificare: g(3)=5·3+1=16.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Avem f(x) = 2x + 1 și vrem f(3). Cu ce număr înlocuim x?

    Vezi rezolvarea
    1. În f(3), numărul dintre paranteze este 3.
    2. Înlocuim x cu 3 în formula f(x) = 2x + 1.

    Răspuns: 3

  2. Exercițiul 2

    Pentru aceeași funcție, cât este f(3)?

    Vezi rezolvarea
    1. f(3) = 2 · 3 + 1.
    2. f(3) = 6 + 1 = 7.

    Răspuns: 7

  3. Exercițiul 3

    În f: A → B, cum se numește mulțimea A?

    Vezi rezolvarea
    1. A conține valorile permise pentru x.
    2. De aceea A este domeniul de definiție al funcției.

    Răspuns: Domeniu de definiție

  4. Exercițiul 4

    Dacă f(−1) = 4, ce pereche aparține graficului?

    Vezi rezolvarea
    1. Prima coordonată este valoarea lui x: −1.
    2. A doua coordonată este f(−1) = 4.
    3. Punctul este (−1, 4).

    Răspuns: (−1, 4)

  5. Exercițiul 5

    Punctul P(2, 5) aparține graficului lui f(x) = 2x + 1?

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 2 · 2 + 1 = 5.
    2. Ordonata punctului este tot 5.
    3. Prin urmare P se află pe grafic.

    Răspuns: Da, fiindcă f(2) = 5

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = 3x − 2, calculează f(−2).

    Vezi rezolvarea
    1. f(−2) = 3 · (−2) − 2.
    2. f(−2) = −6 − 2 = −8.

    Răspuns: −8

  7. Exercițiul 7

    Pentru f(x) = 2x + 3, determină x dacă f(x) = 11.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 3 = 11.
    2. 2x = 8.
    3. x = 4.

    Răspuns: 4

  8. Exercițiul 8

    Care este domeniul natural al funcției f(x) = 1x − 2?

    Vezi rezolvarea
    1. Impunem x − 2 ≠ 0.
    2. Rezultă x ≠ 2.
    3. Domeniul este ℝ ∖ {2}.

    Răspuns: ℝ ∖ {2}

  9. Exercițiul 9

    Funcția f(x) = x2 este pară deoarece:

    Vezi rezolvarea
    1. f(−x) = (−x)2 = x2.
    2. Deci f(−x) = f(x), definiția unei funcții pare.

    Răspuns: f(−x) = f(x)

  10. Exercițiul 10

    Funcția f(x) = x3 este impară deoarece:

    Vezi rezolvarea
    1. f(−x) = (−x)3 = −x3.
    2. Aceasta este exact valoarea −f(x).

    Răspuns: f(−x) = −f(x)

  11. Exercițiul 11

    Imaginea funcției f(x) = x2, cu domeniul ℝ, este:

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru orice x, x2 ≥ 0.
    2. Valoarea 0 se obține pentru x = 0, iar orice număr pozitiv este pătratul unui număr real.
    3. Imaginea este [0, +∞).

    Răspuns: [0, +∞)

  12. Exercițiul 12

    Pentru f(x) = x2 − 1, află toate valorile lui x pentru care f(x) = 8.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 1 = 8.
    2. x2 = 9.
    3. O ecuație de forma x2 = 9 are două soluții: x = −3 și x = 3.

    Răspuns: x = −3 sau x = 3

  13. Exercițiul 13

    Pentru h(x)=3x+2, care punct aparține graficului?

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm h(2)=3·2+2=8.
    2. P(2,8) are a doua coordonată egală cu h(2).
    3. Celelalte puncte nu respectă regula y=h(x).

    Răspuns: P(2,8)

  14. Exercițiul 14

    Care este domeniul lui h(x)=1x−5?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul nu poate fi zero: x−5≠0.
    2. Rezultă x≠5.
    3. Sunt permise toate numerele reale în afară de 5.

    Răspuns: ℝ ∖ {5}

  15. Exercițiul 15

    Care este imaginea lui h(x)=x2+5 pe ℝ?

    Vezi rezolvarea
    1. x2≥0, deci h(x)≥5.
    2. h(0)=5, astfel 5 este inclus.
    3. Orice valoare mai mare decât 5 se obține; imaginea este [5,+∞).

    Răspuns: [5,+∞)

  16. Exercițiul 16

    Care este imaginea lui h(x)=−x2 pe ℝ?

    Vezi rezolvarea
    1. x2≥0, prin urmare −x2≤0.
    2. Valoarea 0 apare pentru x=0.
    3. Toate valorile negative apar; imaginea este (−∞,0].

    Răspuns: (−∞,0]

  17. Exercițiul 17

    Funcția h(x)=x2+x pe ℝ este:

    Vezi rezolvarea
    1. h(−x)=x2−x.
    2. Aceasta nu este egală pentru orice x nici cu h(x)=x2+x, nici cu −h(x)=−x2−x.
    3. Deci funcția nu este nici pară, nici impară.

    Răspuns: nici pară, nici impară

  18. Exercițiul 18

    Pentru h(x)=3x−4, află x dacă h(x)=11.

    Vezi rezolvarea
    1. Egalăm formula cu rezultatul: 3x−4=11.
    2. Adunăm 4: 3x=15.
    3. Împărțim la 3: x=5; verificare: h(5)=11.

    Răspuns: 5

Fișă progresivă · Funcții de la zero · înlocuim x și citim graficul (12)

  1. 1. Descoperire ghidată

    Avem f(x) = 2x + 1 și vrem f(3). Cu ce număr înlocuim x?

    Vezi răspunsul

    Înlocuim x cu 3.

  2. 2. Descoperire ghidată

    Pentru aceeași funcție, cât este f(3)?

    Vezi răspunsul

    f(3) = 2 · 3 + 1 = 7

  3. 3. Descoperire ghidată

    În f: A → B, cum se numește mulțimea A?

    Vezi răspunsul

    Domeniul de definiție.

  4. 4. Descoperire ghidată

    Dacă f(−1) = 4, ce pereche aparține graficului?

    Vezi răspunsul

    (−1, 4)

  5. 5. Consolidare

    Punctul P(2, 5) aparține graficului lui f(x) = 2x + 1?

    Vezi răspunsul

    Da: f(2) = 2 · 2 + 1 = 5.

  6. 6. Consolidare

    Pentru f(x) = 3x − 2, calculează f(−2).

    Vezi răspunsul

    f(−2) = −6 − 2 = −8

  7. 7. Consolidare

    Pentru f(x) = 2x + 3, determină x dacă f(x) = 11.

    Vezi răspunsul

    2x + 3 = 11, deci x = 4.

  8. 8. Consolidare

    Care este domeniul natural al funcției f(x) = 1x − 2?

    Vezi răspunsul

    ℝ \ {2}

  9. 9. Consolidare

    Funcția f(x) = x2 este pară deoarece:

    Vezi răspunsul

    f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) pentru orice x real.

  10. 10. Rezolvi singur

    Funcția f(x) = x3 este impară deoarece:

    Vezi răspunsul

    f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x) pentru orice x real.

  11. 11. Rezolvi singur

    Imaginea funcției f(x) = x2, cu domeniul ℝ, este:

    Vezi răspunsul

    [0, +∞)

  12. 12. Rezolvi singur

    Pentru f(x) = x2 − 1, află toate valorile lui x pentru care f(x) = 8.

    Vezi răspunsul

    x2 = 9, deci x = 3 sau x = −3.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.