M1 · Mate-InfoM2 · ȘtiințeM3 · TehnologicM4 · Pedagogic⏱ 20–30 min

ax+b

Încărcăm partea curentă…

Funcția de gradul I · dreapta pas cu pas

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Panta spune dacă dreapta urcă sau coboară

În f(x)=ax+b, a este panta. Dacă a>0, dreapta urcă de la stânga la dreapta și funcția crește; dacă a<0, coboară și funcția descrește.

Termenul b deplasează dreapta în sus sau în jos, dar nu schimbă panta. Dacă a=0, funcția este constantă, nu de gradul I.

De ținut minte

a>0: crescătoare

a<0: descrescătoare

Nu folosi semnul lui b pentru a decide monotonia.

Exemplu cu alte date

Ce pantă are g(x)=−2x+3 și cum variază?

1Comparăm cu forma ax+b: a=−2, b=3.
2Panta −2 este negativă.
3Graficul coboară spre dreapta; g este strict descrescătoare.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcția de gradul I · dreapta pas cu pas: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.

Panta spune dacă dreapta urcă sau coboară

În f(x)=ax+b, a este panta. Dacă a>0, dreapta urcă de la stânga la dreapta și funcția crește; dacă a<0, coboară și funcția descrește.

Termenul b deplasează dreapta în sus sau în jos, dar nu schimbă panta. Dacă a=0, funcția este constantă, nu de gradul I.

a>0: crescătoare
a<0: descrescătoare

Nu folosi semnul lui b pentru a decide monotonia.

Exemplu cu alte date

Ce pantă are g(x)=−2x+3 și cum variază?

Comparăm cu forma ax+b: a=−2, b=3.
Panta −2 este negativă.
Graficul coboară spre dreapta; g este strict descrescătoare.

Intersecțiile cu cele două axe

Pe axa Oy prima coordonată este x=0: calculăm f(0). Pe axa Ox a doua coordonată este y=0: rezolvăm ecuația f(x)=0.

Aceste puncte sunt diferite, cu excepția unei drepte care trece prin origine. Scriem ambele coordonate, nu doar valoarea obținută.

Oy: (0,f(0))
Ox: (x,0), cu f(x)=0

Nu schimba între ele coordonatele punctului de pe Ox și ale celui de pe Oy.

Exemplu cu alte date

Unde taie axele graficul lui g(x)=3x−6?

Pe Oy punem x=0: g(0)=−6, deci (0,−6).
Pe Ox punem g(x)=0: 3x−6=0, deci x=2.
A doua intersecție este (2,0).

Punctele cunoscute determină formula dreptei

Un punct (x₀,y₀) este pe dreaptă exact atunci când f(x₀)=y₀. Înlocuind coordonatele obținem o ecuație pentru coeficienții necunoscuți.

Pentru f(x)=ax+b, două puncte cu abscise diferite dau două ecuații. Dacă primul are x=0, aflăm b imediat; apoi folosim al doilea punct pentru a.

(x₀,y₀) pe grafic ⇔ ax₀+b=y₀

În coordonatele unui punct, prima valoare înlocuiește x, a doua înlocuiește f(x).

Exemplu cu alte date

Dreapta g(x)=ax+b trece prin A(0,2) și B(3,8). Află formula.

Din A(0,2): b=2.
Din B(3,8): 3a+2=8, deci 3a=6 și a=2.
g(x)=2x+2. Verificare: g(0)=2 și g(3)=8.

Drepte paralele: comparăm pantele

Dreptele de forma y=ax+b cu aceeași pantă sunt paralele; dacă au și același termen liber, coincid.

Când panta conține un parametru, impunem egalitatea pantelor și verificăm că ordonatele la origine sunt diferite dacă se cer paralele distincte.

paralele distincte: a₁=a₂ și b₁≠b₂

Aceeași pantă și același termen liber înseamnă aceeași dreaptă, nu două distincte.

Exemplu cu alte date

Sunt paralele y=4x+1 și y=4x−5?

Ambele au panta 4.
Termenii liberi 1 și −5 sunt diferiți, deci nu coincid.
Cele două drepte sunt paralele distincte.

Punctul comun: egalăm cele două funcții

La intersecția a două drepte, aceeași valoare x produce aceeași valoare y în ambele formule. Egalăm expresiile, rezolvăm ecuația în x și apoi calculăm y.

Dacă pantele sunt diferite, obținem un punct unic. Dacă se cere numai abscisa, ne oprim după aflarea lui x, dar putem verifica folosind y.

a₁x+b₁=a₂x+b₂

Nu rezolva separat ecuațiile y=0; acelea dau intersecțiile cu Ox.

Exemplu cu alte date

Unde se întâlnesc y=4x+1 și y=−x+11?

Egalăm: 4x+1=−x+11.
Mutăm termenii: 5x=10, deci x=2.
Înlocuim: y=4·2+1=9. Punctul comun este (2,9).

Semnul funcției și poziția față de Ox

Când un punct al dreptei este deasupra lui Ox, ordonata sa este pozitivă, deci f(x)>0. Sub Ox avem f(x)<0. Pentru a afla intervalele, rezolvăm o inegalitate.

Dacă împărțim o inegalitate la un număr negativ, schimbăm sensul semnului. Locul unde f(x)=0 separă intervalele.

deasupra Ox ⇔ f(x)>0
sub Ox ⇔ f(x)<0

La împărțirea printr-un număr negativ, semnul inegalității se inversează.

Exemplu cu alte date

Pentru g(x)=−3x+9, când este g(x)>0?

Scriem −3x+9>0, deci −3x>−9.
Împărțim la −3 și inversăm semnul: x<3.
La x=3, g(x)=0; această valoare nu intră în intervalul strict.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
În f(x) = 2x + 2, care este panta dreptei?
Vezi rezolvarea
1. Comparăm f(x) = 2x + 2 cu forma f(x) = ax + b.
2. Obținem a = 2 și b = 2.
3. Panta este 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 2
Funcția f(x) = −3x + 1 este:
Vezi rezolvarea
1. Panta este a = −3 < 0.
2. O funcție de gradul I cu pantă negativă este strict descrescătoare.
Răspuns: strict descrescătoare
Exercițiul 3
Unde intersectează Oy graficul lui f(x) = 2x + 2?
Vezi rezolvarea
1. f(0) = 2 · 0 + 2 = 2.
2. Intersecția cu Oy este A(0, 2).
Răspuns: A(0, 2)
Exercițiul 4
Unde intersectează Ox aceeași dreaptă?
Vezi rezolvarea
1. 2x + 2 = 0.
2. 2x = −2, deci x = −1.
3. Punctul este B(−1, 0).
Răspuns: B(−1, 0)
Exercițiul 5
Punctul P(3, 7) se află pe graficul lui f(x) = 2x + 1?
Vezi rezolvarea
1. f(3) = 2 · 3 + 1 = 7.
2. Coordonatele respectă y = f(x), deci punctul aparține graficului.
Răspuns: Da
Exercițiul 6
Dreapta y = ax + 1 trece prin P(2, 7). Determină a.
Vezi rezolvarea
1. 7 = 2a + 1.
2. 2a = 6.
3. a = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 7
Determină funcția f(x) = ax + b al cărei grafic trece prin A(0, 1) și B(2, 5).
Vezi rezolvarea
1. Din A(0, 1): b = 1.
2. Din B(2, 5): 5 = 2a + 1.
3. 2a = 4, deci a = 2.
4. Funcția este f(x) = 2x + 1.
Răspuns: f(x) = 2x + 1
Exercițiul 8
Dreptele y = 2x + 1 și y = 2x − 4 sunt:
Vezi rezolvarea
1. Au aceeași pantă, 2.
2. Au ordonate la origine diferite, 1 și −4.
3. Sunt paralele distincte.
Răspuns: paralele distincte
Exercițiul 9
Determină abscisa punctului de intersecție al dreptelor y = 2x + 1 și y = −x + 7.
Vezi rezolvarea
1. Egalăm: 2x + 1 = −x + 7.
2. 3x = 6.
3. x = 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 10
Pentru f(x) = −2x + 6, inegalitatea f(x) > 0 este echivalentă cu:
Vezi rezolvarea
1. −2x + 6 > 0 înseamnă −2x > −6.
2. Împărțim la −2 și schimbăm sensul: x < 3.
Răspuns: x < 3
Exercițiul 11
Graficul unei funcții liniare este sub Ox pentru x > 4. Ce putem spune despre f(x) acolo?
Vezi rezolvarea
1. Punctele aflate sub Ox au coordonata y negativă.
2. Cum y = f(x), rezultă f(x) < 0.
Răspuns: f(x) < 0
Exercițiul 12
Pentru ce valoare a lui m dreptele y = (m − 1)x + 2 și y = 3x − 5 sunt paralele?
Vezi rezolvarea
1. Egalăm pantele: m − 1 = 3.
2. Rezultă m = 4.
3. Ordonatele 2 și −5 sunt diferite, deci dreptele sunt distincte.
Răspuns: 4
Exercițiul 13
Pentru h(x)=5x−7, funcția este:
Vezi rezolvarea
1. Panta este coeficientul lui x: a=5.
2. Cum 5>0, dreapta urcă spre dreapta.
3. Funcția este strict crescătoare.
Răspuns: strict crescătoare
Exercițiul 14
Pentru h(x)=−2x+8, care sunt intersecțiile cu Oy și Ox, în această ordine?
Vezi rezolvarea
1. Pe Oy: x=0, deci h(0)=8 și punctul este (0,8).
2. Pe Ox: −2x+8=0, deci x=4.
3. Intersecția cu Ox este (4,0).
Răspuns: (0,8) și (4,0)
Exercițiul 15
Pentru ce m sunt paralele distincte y=(m+2)x+1 și y=5x−3?
Vezi rezolvarea
1. Egalăm pantele: m+2=5.
2. Scădem 2 și obținem m=3.
3. Termenii liberi 1 și −3 diferă, deci dreptele sunt distincte.
Răspuns: m=3
Exercițiul 16
Care este abscisa intersecției y=3x−2 cu y=x+6?
Vezi rezolvarea
1. Egalăm valorile lui y: 3x−2=x+6.
2. Scădem x și adunăm 2: 2x=8.
3. x=4; ambele drepte dau y=10.
Răspuns: 4
Exercițiul 17
Care este punctul de intersecție al y=x+2 cu y=−2x+8?
Vezi rezolvarea
1. Egalăm: x+2=−2x+8, deci 3x=6 și x=2.
2. În prima funcție, y=2+2=4.
3. Punctul comun este (2,4); a doua funcție dă tot 4.
Răspuns: (2,4)
Exercițiul 18
Pentru h(x)=2x−6, când se află graficul deasupra lui Ox?
Vezi rezolvarea
1. Deasupra lui Ox înseamnă h(x)>0.
2. 2x−6>0 ⇒ 2x>6 ⇒ x>3.
3. La x=3, h(x)=0, deci punctul este pe axă, nu deasupra.
Răspuns: x>3

Fișă progresivă · Funcția de gradul I · dreapta pas cu pas (12)

1. Descoperire ghidată
În f(x) = 2x + 2, care este panta dreptei?
Vezi răspunsul
2
2. Descoperire ghidată
Funcția f(x) = −3x + 1 este:
Vezi răspunsul
Strict descrescătoare (a = −3 < 0).
3. Descoperire ghidată
Unde intersectează Oy graficul lui f(x) = 2x + 2?
Vezi răspunsul
În punctul (0, 2).
4. Descoperire ghidată
Unde intersectează Ox aceeași dreaptă?
Vezi răspunsul
2x + 2 = 0, deci în punctul (−1, 0).
5. Consolidare
Punctul P(3, 7) se află pe graficul lui f(x) = 2x + 1?
Vezi răspunsul
Da: f(3) = 7.
6. Consolidare
Dreapta y = ax + 1 trece prin P(2, 7). Determină a.
Vezi răspunsul
2a + 1 = 7, deci a = 3.
7. Consolidare
Determină funcția f(x) = ax + b al cărei grafic trece prin A(0, 1) și B(2, 5).
Vezi răspunsul
b = 1 și 2a + 1 = 5, deci a = 2: f(x) = 2x + 1.
8. Consolidare
Dreptele y = 2x + 1 și y = 2x − 4 sunt:
Vezi răspunsul
Paralele: au aceeași pantă (2) și termeni liberi diferiți.
9. Consolidare
Determină abscisa punctului de intersecție al dreptelor y = 2x + 1 și y = −x + 7.
Vezi răspunsul
2x + 1 = −x + 7, deci x = 2.
10. Rezolvi singur
Pentru f(x) = −2x + 6, inegalitatea f(x) > 0 este echivalentă cu:
Vezi răspunsul
−2x + 6 > 0, adică x < 3.
11. Rezolvi singur
Graficul unei funcții liniare este sub Ox pentru x > 4. Ce putem spune despre f(x) acolo?
Vezi răspunsul
f(x) < 0 pentru x > 4.
12. Rezolvi singur
Pentru ce valoare a lui m dreptele y = (m − 1)x + 2 și y = 3x − 5 sunt paralele?
Vezi răspunsul
m − 1 = 3, deci m = 4.