Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Citirea ecuației și calculul lui Δ
O ecuație de gradul al II-lea se scrie ax2+bx+c=0, cu a diferit de zero. Citim separat numărul din fața lui x2, pe cel din fața lui x și termenul fără x. Dacă nu vedem un număr în fața lui x2, coeficientul este 1, nu zero.
După ce notăm a, b și c cu semnele lor, calculăm Δ=b2−4ac. Pentru b negativ folosim paranteze: (−3)2 este 9. Δ ne spune câte rădăcini reale vom obține, nu este încă răspunsul ecuației.
🧮 De ținut minte
ax2+bx+c=0, a≠0
Δ=b2−4ac
✓Nu confunda b=−3 cu b=3; semnul minus face parte din coeficient.
✏️Exemplu cu alte date
Calculează Δ pentru x2−3x+2=0.
1Citim a=1, b=−3, c=2.
2Înlocuim cu paranteze: Δ=(−3)2−4·1·2.
3Calculăm 9−8=1, deci Δ=1.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Ecuația de gradul al II-lea · Δ de la zero: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Înveți câte o idee: citești explicația, urmărești exemplul rezolvat, apoi încerci exercițiile înainte de următoarea etapă.
Citirea ecuației și calculul lui Δ
O ecuație de gradul al II-lea se scrie ax2+bx+c=0, cu a diferit de zero. Citim separat numărul din fața lui x2, pe cel din fața lui x și termenul fără x. Dacă nu vedem un număr în fața lui x2, coeficientul este 1, nu zero.
După ce notăm a, b și c cu semnele lor, calculăm Δ=b2−4ac. Pentru b negativ folosim paranteze: (−3)2 este 9. Δ ne spune câte rădăcini reale vom obține, nu este încă răspunsul ecuației.
ax2+bx+c=0, a≠0
Δ=b2−4ac
•Nu confunda b=−3 cu b=3; semnul minus face parte din coeficient.
Exemplu cu alte date
Calculează Δ pentru x2−3x+2=0.
Citim a=1, b=−3, c=2.
Înlocuim cu paranteze: Δ=(−3)2−4·1·2.
Calculăm 9−8=1, deci Δ=1.
Ce înseamnă semnul discriminantului
Dacă Δ este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale diferite. Dacă Δ este zero, are o singură valoare, numită rădăcină dublă. Dacă Δ este negativ, nu are soluții în mulțimea numerelor reale.
Nu încercăm să extragem radicalul dintr-un număr negativ atunci când rezolvăm în ℝ. Pe grafic, aceste trei cazuri înseamnă că parabola taie axa Ox de două ori, o atinge o singură dată sau nu o întâlnește.
Δ>0: două rădăcini
Δ=0: x0=−b2a
Δ<0: nicio rădăcină reală
•Δ=0 înseamnă o valoare dublă, nu două numere diferite.
Exemplu cu alte date
Câte soluții reale are x2+2x+5=0?
a=1, b=2, c=5.
Δ=22−4·1·5=4−20=−16.
Δ<0, deci ecuația nu are soluții reale.
Din Δ aflăm efectiv rădăcinile
Când Δ>0, calculăm √Δ și completăm de două ori formula: o dată cu plus și o dată cu minus. Numitorul este 2a pentru ambele rădăcini. Când Δ=0, termenul cu radical dispare și rămâne x0=−b2a.
La final înlocuim valorile obținute în ecuația inițială, mai ales dacă avem fracții sau semne negative. Acesta este un mod simplu de a depista o eroare de calcul.
x1,2=−b±√Δ2a
•Nu împărți doar radicalul la 2a: întreg numărătorul se împarte la 2a.
Exemplu cu alte date
Rezolvă x2−2x−3=0.
a=1, b=−2, c=−3, deci Δ=4+12=16.
Scriem x=2±42.
Obținem x1=−1 și x2=3; ambele satisfac ecuația.
Parametrul m: alegem condiția cerută
Când unul dintre coeficienți conține m, discriminantul devine o expresie în m. Nu alegem la întâmplare o valoare: traducem exact cerința. Pentru rădăcină dublă cerem Δ=0, iar pentru două rădăcini reale distincte cerem Δ>0.
Rezolvăm apoi ecuația sau inegalitatea în m și verificăm că a rămâne nenul. Dacă se cer doar rădăcini reale, inclusiv una dublă, condiția ar fi Δ≥0.
dublă ⇔ Δ=0
două distincte ⇔ Δ>0
•Cuvântul «distincte» cere >0, nu ≥0.
Exemplu cu alte date
Pentru ce m are x2−6x+m=0 rădăcină dublă?
Coeficienții sunt a=1, b=−6, c=m.
Δ=(−6)2−4m=36−4m.
Cerem Δ=0: 36−4m=0, deci m=9.
Exerciții rezolvate din lecție (13)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Pentru ecuația x2 − 5x + 6 = 0, care sunt coeficienții a, b, c?
Vezi rezolvarea
Coeficientul lui x2 este a = 1.
Coeficientul lui x este b = −5.
Termenul liber este c = 6.
Răspuns: a = 1, b = −5, c = 6
Exercițiul 2
Care este formula discriminantului?
Vezi rezolvarea
Discriminantul ecuației de gradul al doilea este Δ = b2 − 4ac.
Răspuns: Δ = b2 − 4ac
Exercițiul 3
Calculează Δ pentru x2 − 5x + 6 = 0.
Vezi rezolvarea
Δ = (−5)2 − 4 · 1 · 6.
Δ = 25 − 24 = 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 4
Dacă Δ > 0, ecuația de gradul al doilea are:
Vezi rezolvarea
Un discriminant pozitiv produce două valori diferite pentru ±√Δ.
Ecuația are două rădăcini reale distincte.
Răspuns: două rădăcini reale distincte
Exercițiul 5
Dacă Δ = 0, formula rădăcinii duble este:
Vezi rezolvarea
x1,2 = −b ± √Δ2a.
Pentru Δ = 0 obținem x0 = −b2a.
Răspuns: x0 = −b2a
Exercițiul 6
Dacă Δ < 0, ecuația are în ℝ:
Vezi rezolvarea
√Δ nu este număr real când Δ < 0.
Prin urmare ecuația nu are soluții reale.
Răspuns: nicio soluție
Exercițiul 7
Rezolvă x2 − 5x + 6 = 0.
Vezi rezolvarea
x1,2 = 5 ± 12.
x1 = 42 = 2.
x2 = 62 = 3.
Răspuns: x1 = 2, x2 = 3
Exercițiul 8
Rezolvă ecuația x2 − 4x + 4 = 0.
Vezi rezolvarea
Δ = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 0.
x0 = −−42 · 1 = 2.
Rădăcina este dublă.
Răspuns: x = 2
Exercițiul 9
Ecuația x2 + x + 1 = 0 are în ℝ:
Vezi rezolvarea
Δ = 1 − 4 = −3 < 0.
Ecuația nu are soluții reale.
Răspuns: nicio soluție
Exercițiul 10
Determină m astfel încât x2 − 4x + m = 0 să aibă rădăcină dublă.
Vezi rezolvarea
Δ = (−4)2 − 4 · 1 · m = 16 − 4m.
Impunem 16 − 4m = 0.
Rezultă m = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 11
Determină m astfel încât x2 + 2x + m = 0 să aibă două soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
Δ = 22 − 4m = 4 − 4m.
Impunem 4 − 4m > 0.
Rezultă m < 1.
Răspuns: m < 1
Exercițiul 12
Rezolvă 2x2 − 5x − 3 = 0.
Vezi rezolvarea
Δ = (−5)2 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49.
x1,2 = 5 ± 74.
Obținem x1 = −24 = −12 și x2 = 124 = 3.
Răspuns: x1 = −12, x2 = 3
Exercițiul 13
Rezolvă 2x2−7x+3=0.
Vezi rezolvarea
a=2, b=−7, c=3; Δ=49−24=25. Păstrăm semnul lui b. Formula este Δ=b2−4ac.
x=7±54. Formula este x=−b±√Δ2a. Înlocuim −b=7, √Δ=5 și 2a=4.
S={12; 3}. 7−54=12 și 7+54=3. Ambele anulează polinomul.
Răspuns: S={12; 3}
Fișă progresivă · Ecuația de gradul al II-lea · Δ de la zero (12)
1. Descoperire ghidată
Pentru ecuația x2 − 5x + 6 = 0, care sunt coeficienții a, b, c?
Vezi răspunsul
a = 1, b = −5, c = 6
2. Descoperire ghidată
Care este formula discriminantului?
Vezi răspunsul
Δ = b2 − 4ac
3. Descoperire ghidată
Calculează Δ pentru x2 − 5x + 6 = 0.
Vezi răspunsul
Δ = 25 − 24 = 1
4. Descoperire ghidată
Dacă Δ > 0, ecuația de gradul al doilea are:
Vezi răspunsul
Două rădăcini reale distincte.
5. Consolidare
Dacă Δ = 0, formula rădăcinii duble este:
Vezi răspunsul
x1 = x2 = −b2a
6. Consolidare
Dacă Δ < 0, ecuația are în ℝ:
Vezi răspunsul
Nicio rădăcină reală.
7. Consolidare
Rezolvă x2 − 5x + 6 = 0.
Vezi răspunsul
Δ = 1, deci x = 5 ± 12: x = 2 sau x = 3.
8. Consolidare
Rezolvă ecuația x2 − 4x + 4 = 0.
Vezi răspunsul
(x − 2)2 = 0, deci x = 2 (rădăcină dublă).
9. Consolidare
Ecuația x2 + x + 1 = 0 are în ℝ:
Vezi răspunsul
Nicio soluție reală: Δ = 1 − 4 = −3 < 0.
10. Rezolvi singur
Determină m astfel încât x2 − 4x + m = 0 să aibă rădăcină dublă.
Vezi răspunsul
Δ = 16 − 4m = 0, deci m = 4.
11. Rezolvi singur
Determină m astfel încât x2 + 2x + m = 0 să aibă două soluții reale distincte.
Vezi răspunsul
Δ = 4 − 4m > 0, deci m < 1.
12. Rezolvi singur
Rezolvă 2x2 − 5x − 3 = 0.
Vezi răspunsul
Δ = 25 + 24 = 49, deci x = 5 ± 74: x = 3 sau x = −12.