Derivate, tangente și monotonie · nivel M3

Lecția M3 exersează cerințele uzuale de Bac: valoarea derivatei, ecuația tangentei, monotonia și extremele.

Modelul oficial pentru profilul Tehnologic pornește de la derivarea unei funcții raționale, apoi cere o concluzie despre monotonie.

Ce măsoară derivata

Derivata arată cât de repede se schimbă valoarea funcției când x se modifică foarte puțin. Geometric, f′(a) este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă a. De aici vine toată puterea ei: semnul derivatei traduce forma graficului într-un calcul.

f′(a) = limh→0 f(a + h) − f(a)h

f′(a) > 0: graficul urcă lângă a

f′(a) < 0: graficul coboară lângă a

f′(a) = 0: tangentă orizontală, posibil extrem

f′(a) este un număr, iar f′(x) este o funcție.
Derivabilitatea implică continuitatea, dar nu și invers: |x| este continuă în 0, fără să fie derivabilă acolo.
Scrie domeniul înainte de a deriva.

Formulele elementare și regulile de calcul

(c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

(1x)′ = −1x², (√x)′ = 12√x

(e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1x

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

(f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g²

Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
La cos x nu uita semnul minus.
Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x^(−12), scurtează mult calculul.

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

(uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′

(√u)′ = u′2√u

(e^u)′ = e^u·u′ și (ln u)′ = u′u

(sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′

Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
sin(x²) nu este același lucru cu (sin x)².
La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.

Ecuația tangentei

y − f(a) = f′(a)·(x − a)

Tangentă paralelă cu Ox: f′(a) = 0

Tangentă paralelă cu y = mx + n: f′(a) = m

Calculează atât panta f′(a), cât și ordonata f(a).
Punctul de tangență este A(a, f(a)), nu doar abscisa.
La tangentă paralelă cu o dreaptă dată, egalezi derivata cu panta acelei drepte.

Monotonie și puncte de extrem

Derivata transformă studiul graficului într-un studiu de semn. Algoritmul este mereu același: domeniu, derivată, puncte critice, tabel de semn, concluzie.

f′ > 0 pe un interval ⇒ f este strict crescătoare acolo

f′ < 0 pe un interval ⇒ f este strict descrescătoare acolo

Schimbare + spre − ⇒ maxim local

Schimbare − spre + ⇒ minim local

Condiția f′(a) = 0 singură nu garantează un extrem: verifică schimbarea semnului.
Factorii mereu pozitivi, ca e^x sau un pătrat, nu influențează semnul.
Simplifică derivata până când semnul se citește ușor.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · tangenta într-un punct

Fie f(x) = x² − 3x + 2. Determinați ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă a = 1.

1.Pasul 1 — calculăm ordonata punctului: f(1) = 1 − 3 + 2 = 0, deci A(1, 0).
2.Pasul 2 — derivăm funcția: f′(x) = 2x − 3.
3.Pasul 3 — calculăm panta: f′(1) = 2 − 3 = −1.
4.Pasul 4 — scriem formula tangentei: y − f(a) = f′(a)(x − a).
5.Pasul 5 — înlocuim: y − 0 = −1·(x − 1).
6.Pasul 6 — obținem y = −x + 1. Panta negativă confirmă că graficul coboară în acel punct.

Algoritmul universal de derivare

Domeniul: stabilește unde este definită funcția și unde poate exista derivata.
Structura: recunoaște suma, produsul, câtul și eventual funcția compusă.
Formula: scrie regula înainte de a înlocui expresiile concrete.
Derivarea: derivează fiecare componentă și nu uita funcția interioară.
Simplificarea: scoate factor comun sau adu la același numitor numai dacă ajută.
Concluzia: precizează formula finală și intervalul pe care este valabilă.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de aplicații · exercițiile pentru profilul Tehnologic · 11 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 76Valoarea derivateiM3 · Tehnologic
Fie f(x) = x² − 3x + 2. Calculați f′(2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x − 3, deci f′(2) = 1.
Ex. 77Valoarea derivateiM3 · Tehnologic
Fie f(x) = 1x² + 1. Calculați f′(1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −2x(x² + 1)², deci f′(1) = −12.
Ex. 79TangentăM3 · Tehnologic
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x² în punctul de abscisă 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 2x − 1
Ex. 80TangentăM3 · Tehnologic
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 1, f′(0) = −1: y = −x + 1.
Ex. 82Tangentă orizontalăM3 · Tehnologic
Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x³ − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x² − 3 = 0 dă x = ±1: (−1, 2); (1, −2)
Ex. 84Tangentă paralelăM3 · Tehnologic
Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x² − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x − 1 = 3, deci x = 2: punctul (2, 2).
Ex. 86MonotonieM3 · Tehnologic
Studiați monotonia funcției f(x) = x² − 4x + 1 și determinați extremul ei. Scrieți valoarea extremului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Descrescătoare pe (−∞, 2], crescătoare pe [2, +∞); minimul este f(2) = −3.
Ex. 87MonotonieM3 · Tehnologic
Studiați monotonia funcției f(x) = x³ − 3x². Scrieți punctele critice separate prin virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x(x − 2): 0,2 (crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, 2], crescătoare pe [2, +∞)).
Ex. 88ExtremeM3 · Tehnologic
Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x³ − 3x. Scrieți valoarea maximului local.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Maxim local în x = −1, cu valoarea 2; minim local în x = 1, cu valoarea −2.
Ex. 89MonotonieM3 · Tehnologic
Studiați monotonia funcției f(x) = 1x² + 4x + 5 și determinați valoarea sa maximă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); valoarea maximă este f(−2) = 1.
Ex. 95InegalitateM3 · Tehnologic
Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
g′(x) = 1 − 1x, deci minimul este g(1) = 0; atunci g ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1.