Încărcăm partea curentă…

Derivate, tangente și monotonie · nivel M3

Derivata și valoarea ei într-un punct

Derivata descrie cât de repede se schimbă funcția. O calculăm ca funcție de x; abia apoi înlocuim x cu abscisa cerută. Constantele au derivata zero.

La produs derivăm pe rând fiecare factor și adunăm. La cât păstrăm ordinea u′v − uv′ și pătrăm numitorul. La o compunere înmulțim cu derivata expresiei din interior.

De ținut minte

(xn)′ = nxn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′ = u′v − uv′v2, v ≠ 0
(ln u)′ = u′u, u > 0

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = 3x2 − 6x + 8, calculează f′(3).

  1. 1Derivăm termen cu termen: f′(x) = 6x − 6.
  2. 2Înlocuim abia acum x = 3: f′(3) = 18 − 6.
  3. 3f′(3) = 12. Nu confundăm cu f(3) = 17.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Derivate, tangente și monotonie · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O idee pe rând: citești regula, urmărești un model cu alte date, apoi rezolvi trei probleme. Pașii ghidați ai aceleiași probleme rămân împreună.

Derivata și valoarea ei într-un punct

Derivata descrie cât de repede se schimbă funcția. O calculăm ca funcție de x; abia apoi înlocuim x cu abscisa cerută. Constantele au derivata zero.

La produs derivăm pe rând fiecare factor și adunăm. La cât păstrăm ordinea u′v − uv′ și pătrăm numitorul. La o compunere înmulțim cu derivata expresiei din interior.

  • (xn)′ = nxn−1
  • (uv)′ = u′v + uv′
  • (uv)′ = u′v − uv′v2, v ≠ 0
  • (ln u)′ = u′u, u > 0

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = 3x2 − 6x + 8, calculează f′(3).

  1. Derivăm termen cu termen: f′(x) = 6x − 6.
  2. Înlocuim abia acum x = 3: f′(3) = 18 − 6.
  3. f′(3) = 12. Nu confundăm cu f(3) = 17.

Derivarea unui cât: păstrăm ordinea scăderii

Într-o fracție uv, derivăm numărătorul și numitorul separat. Formula are la numărător u′v − uv′ și la numitor v2, cu v nenul.

Simplificăm expresia derivatei înainte de evaluare, dar păstrăm punctele excluse din domeniul inițial. Nu împărțim derivatele între ele.

  • (uv)′ = u′v − uv′v2

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează derivata lui f(x) = 5xx + 3, x ≠ −3.

  1. u = 5x, u′ = 5; v = x + 3, v′ = 1.
  2. f′(x) = 5(x + 3) − 5x(x + 3)2.
  3. Numărătorul devine 5x + 15 − 5x = 15, deci f′(x) = 15(x + 3)2, pentru x ≠ −3.

Tangenta: punctul și panta

Tangenta este o dreaptă care trece prin punctul de contact A(a, f(a)). Panta ei este f′(a), nu f(a). Avem nevoie de ambele valori.

O tangentă paralelă cu y = mx + n trebuie să aibă panta m. Pentru o tangentă paralelă cu Ox punem f′(a) = 0, apoi aflăm și ordonata f(a).

  • y − f(a) = f′(a)(x − a)
  • paralelă cu Ox: f′(a) = 0

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie tangenta la f(x) = 2x2 + 1 pentru a = 2.

  1. Punctul este A(2, 9), deoarece f(2) = 2·4 + 1 = 9.
  2. f′(x) = 4x, deci panta este f′(2) = 8.
  3. y − 9 = 8(x − 2), adică y = 8x − 7. Verificare: pentru x = 2 obținem y = 9.

Tangenta: punctul și panta · exersare 2

Tangenta este o dreaptă care trece prin punctul de contact A(a, f(a)). Panta ei este f′(a), nu f(a). Avem nevoie de ambele valori.

O tangentă paralelă cu y = mx + n trebuie să aibă panta m. Pentru o tangentă paralelă cu Ox punem f′(a) = 0, apoi aflăm și ordonata f(a).

  • y − f(a) = f′(a)(x − a)
  • paralelă cu Ox: f′(a) = 0

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie tangenta la f(x) = 2x2 + 1 pentru a = 2.

  1. Punctul este A(2, 9), deoarece f(2) = 2·4 + 1 = 9.
  2. f′(x) = 4x, deci panta este f′(2) = 8.
  3. y − 9 = 8(x − 2), adică y = 8x − 7. Verificare: pentru x = 2 obținem y = 9.

Semnul derivatei, monotonia și extremele

Începem cu domeniul. Rezolvăm f′(x) = 0 și studiem semnul derivatei între punctele găsite. f′ > 0 înseamnă creștere, iar f′ < 0 descreștere.

O rădăcină a derivatei este doar un candidat la extrem. Minus urmat de plus dă minim; plus urmat de minus dă maxim. Valoarea extremului se calculează în funcția inițială.

  • f′: − → + ⇒ minim
  • f′: + → − ⇒ maxim

Exemplu rezolvat · alte date

Află minimul lui f(x) = x2 − 6x + 12 pe ℝ.

  1. f′(x) = 2x − 6 = 0 pentru x = 3.
  2. Derivata este negativă pentru x < 3 și pozitivă pentru x > 3: funcția descrește, apoi crește.
  3. Minimul este f(3) = 9 − 18 + 12 = 3. Verificare: f(x) = (x − 3)2 + 3 ≥ 3.

Semnul derivatei, monotonia și extremele · exersare 2

Începem cu domeniul. Rezolvăm f′(x) = 0 și studiem semnul derivatei între punctele găsite. f′ > 0 înseamnă creștere, iar f′ < 0 descreștere.

O rădăcină a derivatei este doar un candidat la extrem. Minus urmat de plus dă minim; plus urmat de minus dă maxim. Valoarea extremului se calculează în funcția inițială.

  • f′: − → + ⇒ minim
  • f′: + → − ⇒ maxim

Exemplu rezolvat · alte date

Află minimul lui f(x) = x2 − 6x + 12 pe ℝ.

  1. f′(x) = 2x − 6 = 0 pentru x = 3.
  2. Derivata este negativă pentru x < 3 și pozitivă pentru x > 3: funcția descrește, apoi crește.
  3. Minimul este f(3) = 9 − 18 + 12 = 3. Verificare: f(x) = (x − 3)2 + 3 ≥ 3.

Inegalități: construim o funcție auxiliară

Ca să demonstrăm A(x) ≥ B(x), studiem g(x) = A(x) − B(x). Dacă minimul lui g este nenegativ pe domeniul cerut, inegalitatea este adevărată pentru toate valorile din acel domeniu.

La logaritm domeniul este x > 0 și (ln x)′ = 1x. Pentru exponențială, (ex)′ = ex și ex este mereu pozitivă. Semnele și capetele intervalului fac parte din demonstrație.

  • A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0
  • un test cu câteva valori nu este o demonstrație

Exemplu rezolvat · alte date

Demonstrează x2 + 8 ≥ 4x pentru orice x real.

  1. Definim g(x) = x2 − 4x + 8; g′(x) = 2x − 4.
  2. Derivata este negativă înainte de 2 și pozitivă după 2, deci minimul este la x = 2.
  3. g(2) = 4 − 8 + 8 = 4 > 0, deci inegalitatea este adevărată pe ℝ.

Exerciții rezolvate din lecție (26)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Fie f(x) = x2 − 3x + 2. Calculați f′(2).

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm întâi: f′(x) = 2x − 3.
    2. Înlocuim x = 2: 2·2 − 3.
    3. Răspuns final: f′(2) = 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Fie f(x) = 1x2 + 1. Calculați f′(1).

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem f(x) = (x2 + 1)−1 și aplicăm regula lanțului.
    2. f′(x) = −2x(x2 + 1)2.
    3. Înlocuim x = 1: −2(1 + 1)2 = −24.
    4. Răspuns final: f′(1) = −12.

    Răspuns: −12

  3. Exercițiul 3

    Exercițiul 79 semi-ghidat · Pentru f(x) = x2, calculați panta tangentei în punctul de abscisă 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 2x.
    2. Panta tangentei în punctul de abscisă a este f′(a).
    3. Aici f′(1) = 2·1 = 2.

    Răspuns: 2

  4. Exercițiul 4

    Acum scrieți ecuația tangentei.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm ordonata punctului: f(1) = 1, deci A(1, 1).
    2. Aplicăm formula y − f(a) = f′(a)(x − a): y − 1 = 2(x − 1).
    3. Desfacem: y − 1 = 2x − 2.
    4. Rezultă y = 2x − 1.

    Răspuns: y = 2x − 1

  5. Exercițiul 5

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm punctul: f(0) = 1, deci A(0, 1).
    2. Derivăm: f′(x) = −1(x + 1)2, deci f′(0) = −1.
    3. Aplicăm formula: y − 1 = −1(x − 0).
    4. Rezultă y = −x + 1.

    Răspuns: y = −x + 1

  6. Exercițiul 6

    Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x3 − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.

    Vezi rezolvarea
    1. Tangenta paralelă cu Ox are panta 0, deci rezolvăm f′(x) = 0.
    2. f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1), deci x = −1 sau x = 1.
    3. Calculăm ordonatele: f(−1) = −1 + 3 = 2 și f(1) = 1 − 3 = −2.
    4. Punctele sunt (−1, 2) și (1, −2).

    Răspuns: (−1, 2); (1, −2)

  7. Exercițiul 7

    Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x2 − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Două drepte paralele au aceeași pantă, deci cerem f′(x) = 3.
    2. f′(x) = 2x − 1, deci 2x − 1 = 3 și x = 2.
    3. Calculăm ordonata: f(2) = 4 − 2 = 2.
    4. Punctul cerut este (2, 2).

    Răspuns: (2, 2)

  8. Exercițiul 8

    Exercițiul 86 semi-ghidat · Pentru f(x) = x2 − 4x + 1, calculați f′(x) și găsiți punctul critic.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm termen cu termen: f′(x) = 2x − 4.
    2. Punem f′(x) = 0: 2x − 4 = 0.
    3. Rezultă x = 2.
    4. Semnul derivatei se schimbă din − în + în acest punct.

    Răspuns: f′(x) = 2x − 4, punct critic x = 2

  9. Exercițiul 9

    Acum calculați valoarea extremului.

    Vezi rezolvarea
    1. Extremul se atinge în x = 2.
    2. f(2) = 22 − 4·2 + 1 = 4 − 8 + 1.
    3. Fiind o parabolă cu deschiderea în sus, este vorba de un minim.
    4. Valoarea minimă este −3.

    Răspuns: −3

  10. Exercițiul 10

    Studiați monotonia funcției f(x) = x3 − 3x2. Scrieți punctele critice separate prin virgulă.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2).
    2. Punctele critice sunt soluțiile ecuației f′(x) = 0, adică x = 0 și x = 2.
    3. Pe (−∞, 0) și (2, +∞) produsul este pozitiv, deci funcția crește.
    4. Pe (0, 2) produsul este negativ, deci funcția descrește.
    5. În x = 0 avem maxim local f(0) = 0, iar în x = 2 minim local f(2) = −4.

    Răspuns: 0,2

  11. Exercițiul 11

    Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x3 − 3x. Scrieți valoarea maximului local.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
    2. Punctele critice sunt x = −1 și x = 1.
    3. Semnul lui f′ este + pe (−∞, −1), − pe (−1, 1) și + pe (1, +∞).
    4. Schimbarea + spre − în x = −1 dă maxim local: f(−1) = −1 + 3 = 2.
    5. Schimbarea − spre + în x = 1 dă minim local: f(1) = −2.

    Răspuns: 2

  12. Exercițiul 12

    Exercițiul 89 ghidat · Pentru f(x) = 1x2 + 4x + 5. Pasul 1: care este domeniul funcției?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul se anulează doar dacă x2 + 4x + 5 = 0.
    2. Scriem forma canonică: x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1.
    3. Un pătrat plus 1 este întotdeauna cel puțin 1, deci numitorul nu se anulează niciodată.
    4. Prin urmare domeniul este ℝ.

    Răspuns: ℝ, pentru că x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0

  13. Exercițiul 13

    Pasul 2: calculați f′(x), scriind funcția ca (x2 + 4x + 5)−1.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm regula lanțului: derivata exteriorului este −u−2, iar u′ = 2x + 4.
    2. Rezultă −(2x + 4)·(x2 + 4x + 5)−2.
    3. Scriem cu fracție: −2x + 4(x2 + 4x + 5)2.
    4. Se poate factoriza: 2x + 4 = 2(x + 2).

    Răspuns: −2x + 4(x2 + 4x + 5)2

  14. Exercițiul 14

    Pasul 3: ce determină semnul derivatei?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul (x2 + 4x + 5)2 este un pătrat al unei cantități nenule, deci este strict pozitiv.
    2. Prin urmare semnul derivatei este dat numai de numărătorul −2(x + 2).
    3. Pentru x < −2 avem f′ > 0, iar pentru x > −2 avem f′ < 0.
    4. Funcția crește, apoi descrește: are maxim în x = −2.

    Răspuns: Semnul lui −(x + 2), pentru că numitorul este mereu pozitiv

  15. Exercițiul 15

    Pasul 4: calculați valoarea maximă a funcției.

    Vezi rezolvarea
    1. Maximul se atinge în x = −2, unde derivata își schimbă semnul din + în −.
    2. f(−2) = 1(−2)2 + 4·(−2) + 5 = 14 − 8 + 5.
    3. Numitorul este 1, deci valoarea maximă este 1.
    4. Se putea observa și direct: numitorul (x + 2)2 + 1 are valoarea minimă 1.

    Răspuns: 1

  16. Exercițiul 16

    Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.

    Vezi rezolvarea
    1. Definim g(x) = x − 1 − ln x pe (0, +∞) și arătăm că g ≥ 0.
    2. Derivăm: g′(x) = 1 − 1x = x − 1x.
    3. Pe (0, 1) avem g′ < 0, iar pe (1, +∞) avem g′ > 0.
    4. Funcția are minim global în x = 1, iar g(1) = 1 − 1 − ln 1 = 0.
    5. Cum minimul este 0, rezultă g(x) ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1, cu egalitate doar pentru x = 1.

    Răspuns: 0

  17. Exercițiul 17

    Derivează f(x)=x2+1x+1, pentru x≠−1.

    Vezi rezolvarea
    1. u=x2+1, u′=2x; v=x+1, v′=1. Derivata unei constante este 0, iar derivata lui x este 1.
    2. f′(x)=2x(x+1)−(x2+1)(x+1)2. Formula este u′v−uv′v2. Numitorul se ridică la pătrat.
    3. f′(x)=x2+2x−1(x+1)2. 2x2+2x−x2−1=x2+2x−1. Minusul se aplică întregii paranteze.

    Răspuns: f′(x)=x2+2x−1(x+1)2

  18. Exercițiul 18

    Folosește derivata pentru a afla minimul lui f(x)=x2−4x+7 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x)=2x−4=0 ⇔ x=2. Derivăm polinomul și rezolvăm ecuația derivatei nule.
    2. f descrește pe (−∞,2) și crește pe (2,∞). 2x−4 este negativ pentru x<2 și pozitiv pentru x>2.
    3. f(2)=3, deci f(x)≥3. 4−8+7=3. Trecerea de la descreștere la creștere confirmă minimul global.

    Răspuns: f(2)=3, deci f(x)≥3

  19. Exercițiul 19

    Pentru f(x)=x2+2x, scrie tangenta la grafic în punctul cu abscisa 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x)=2x+2, deci f′(1)=4. Derivăm termen cu termen: derivata lui x2 este 2x, iar a lui 2x este 2.
    2. f(1)=3; y−3=4(x−1). Tangenta trece prin (1,3) și are panta 4. Formula este y−f(a)=f′(a)(x−a).
    3. y=4x−1. y−3=4x−4, deci y=4x−1. La x=1 obținem y=3.

    Răspuns: y=4x−1

  20. Exercițiul 20

    Pentru f(x) = 5x3 + 7, calculează f′(1).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 15x2; constanta 7 dispare.
    2. Înlocuim x = 1, deci x2 = 1.
    3. f′(1) = 15.

    Răspuns: 15

  21. Exercițiul 21

    Pentru f(x) = 6x3 + 7, calculează f′(1).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 18x2; constanta 7 dispare.
    2. Înlocuim x = 1, deci x2 = 1.
    3. f′(1) = 18.

    Răspuns: 18

  22. Exercițiul 22

    f(x) = 6x + 2, x ≠ −2. Calculează 4f′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = −6(x + 2)2.
    2. f′(0) = −64.
    3. 4f′(0) = −6.

    Răspuns: -6

  23. Exercițiul 23

    Tangenta la f(x) = 6x2 în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 12x.
    2. m = f′(2) = 12·2.
    3. m = 24; punctul de contact este (2, 24).

    Răspuns: 24

  24. Exercițiul 24

    Află valoarea minimă a lui f(x) = (x − 6)2 + 8 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 2(x − 6).
    2. Semnul se schimbă din minus în plus la x = 6.
    3. f(6) = 8, valoarea minimă.

    Răspuns: 8

  25. Exercițiul 25

    Pentru g(x) = (x − 5)2 + 5, ce valoare minimă folosești ca să demonstrezi g(x) ≥ 5?

    Vezi rezolvarea
    1. g′(x) = 2(x − 5).
    2. g descrește până la 5 și crește după 5.
    3. Minimul este g(5) = 5, deci g(x) ≥ 5.

    Răspuns: 5

  26. Exercițiul 26

    Pentru g(x) = (x − 6)2 + 6, ce valoare minimă folosești ca să demonstrezi g(x) ≥ 6?

    Vezi rezolvarea
    1. g′(x) = 2(x − 6).
    2. g descrește până la 6 și crește după 6.
    3. Minimul este g(6) = 6, deci g(x) ≥ 6.

    Răspuns: 6

Fișa de aplicații · exercițiile pentru profilul Tehnologic (11)

  1. 76. Valoarea derivatei

    Fie f(x) = x2 − 3x + 2. Calculați f′(2).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x − 3, deci f′(2) = 1.

  2. 77. Valoarea derivatei

    Fie f(x) = 1x2 + 1. Calculați f′(1).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2x(x2 + 1)2, deci f′(1) = −12.

  3. 79. Tangentă

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x2 în punctul de abscisă 1.

    Vezi răspunsul

    y = 2x − 1

  4. 80. Tangentă

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.

    Vezi răspunsul

    f(0) = 1, f′(0) = −1: y = −x + 1.

  5. 82. Tangentă orizontală

    Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x3 − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x2 − 3 = 0 dă x = ±1: (−1, 2); (1, −2)

  6. 84. Tangentă paralelă

    Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x2 − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.

    Vezi răspunsul

    2x − 1 = 3, deci x = 2: punctul (2, 2).

  7. 86. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x2 − 4x + 1 și determinați extremul ei. Scrieți valoarea extremului.

    Vezi răspunsul

    Descrescătoare pe (−∞, 2], crescătoare pe [2, +∞); minimul este f(2) = −3.

  8. 87. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x3 − 3x2. Scrieți punctele critice separate prin virgulă.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x(x − 2): 0,2 (crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, 2], crescătoare pe [2, +∞)).

  9. 88. Extreme

    Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x3 − 3x. Scrieți valoarea maximului local.

    Vezi răspunsul

    Maxim local în x = −1, cu valoarea 2; minim local în x = 1, cu valoarea −2.

  10. 89. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = 1x2 + 4x + 5 și determinați valoarea sa maximă.

    Vezi răspunsul

    Crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); valoarea maximă este f(−2) = 1.

  11. 95. Inegalitate

    Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.

    Vezi răspunsul

    g′(x) = 1 − 1x, deci minimul este g(1) = 0; atunci g ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.