Încărcăm partea curentă…

Derivate, monotonie și inegalități · nivel M2

Derivata și valoarea ei într-un punct

Derivata descrie cât de repede se schimbă funcția. O calculăm ca funcție de x; abia apoi înlocuim x cu abscisa cerută. Constantele au derivata zero.

La produs derivăm pe rând fiecare factor și adunăm. La cât păstrăm ordinea u′v − uv′ și pătrăm numitorul. La o compunere înmulțim cu derivata expresiei din interior.

De ținut minte

(xn)′ = nxn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′ = u′v − uv′v2, v ≠ 0
(ln u)′ = u′u, u > 0

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = 3x2 − 6x + 8, calculează f′(3).

  1. 1Derivăm termen cu termen: f′(x) = 6x − 6.
  2. 2Înlocuim abia acum x = 3: f′(3) = 18 − 6.
  3. 3f′(3) = 12. Nu confundăm cu f(3) = 17.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Derivate, monotonie și inegalități · nivel M2: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O idee pe rând: citești regula, urmărești un model cu alte date, apoi rezolvi trei probleme. Pașii ghidați ai aceleiași probleme rămân împreună.

Derivata și valoarea ei într-un punct

Derivata descrie cât de repede se schimbă funcția. O calculăm ca funcție de x; abia apoi înlocuim x cu abscisa cerută. Constantele au derivata zero.

La produs derivăm pe rând fiecare factor și adunăm. La cât păstrăm ordinea u′v − uv′ și pătrăm numitorul. La o compunere înmulțim cu derivata expresiei din interior.

  • (xn)′ = nxn−1
  • (uv)′ = u′v + uv′
  • (uv)′ = u′v − uv′v2, v ≠ 0
  • (ln u)′ = u′u, u > 0

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = 3x2 − 6x + 8, calculează f′(3).

  1. Derivăm termen cu termen: f′(x) = 6x − 6.
  2. Înlocuim abia acum x = 3: f′(3) = 18 − 6.
  3. f′(3) = 12. Nu confundăm cu f(3) = 17.

Derivarea unui cât: păstrăm ordinea scăderii

Într-o fracție uv, derivăm numărătorul și numitorul separat. Formula are la numărător u′v − uv′ și la numitor v2, cu v nenul.

Simplificăm expresia derivatei înainte de evaluare, dar păstrăm punctele excluse din domeniul inițial. Nu împărțim derivatele între ele.

  • (uv)′ = u′v − uv′v2

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează derivata lui f(x) = 5xx + 3, x ≠ −3.

  1. u = 5x, u′ = 5; v = x + 3, v′ = 1.
  2. f′(x) = 5(x + 3) − 5x(x + 3)2.
  3. Numărătorul devine 5x + 15 − 5x = 15, deci f′(x) = 15(x + 3)2, pentru x ≠ −3.

Derivarea unui produs și a exponențialei compuse

Derivata produsului nu este produsul derivatelor. Un termen derivă primul factor, celălalt termen derivă al doilea, apoi îi adunăm.

Pentru ekx, derivata este kekx. Dacă ambii termeni conțin aceeași exponențială, o scoatem factor comun; aceasta este mereu pozitivă.

  • (uv)′ = u′v + uv′
  • (ekx)′ = kekx

Exemplu rezolvat · alte date

Derivează f(x) = (2x + 3)e2x.

  1. u = 2x + 3, u′ = 2; v = e2x, v′ = 2e2x.
  2. f′ = 2e2x + (2x + 3)·2e2x.
  3. Scoatem e2x: f′(x) = (4x + 8)e2x.

Tangenta: punctul și panta

Tangenta este o dreaptă care trece prin punctul de contact A(a, f(a)). Panta ei este f′(a), nu f(a). Avem nevoie de ambele valori.

O tangentă paralelă cu y = mx + n trebuie să aibă panta m. Pentru o tangentă paralelă cu Ox punem f′(a) = 0, apoi aflăm și ordonata f(a).

  • y − f(a) = f′(a)(x − a)
  • paralelă cu Ox: f′(a) = 0

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie tangenta la f(x) = 2x2 + 1 pentru a = 2.

  1. Punctul este A(2, 9), deoarece f(2) = 2·4 + 1 = 9.
  2. f′(x) = 4x, deci panta este f′(2) = 8.
  3. y − 9 = 8(x − 2), adică y = 8x − 7. Verificare: pentru x = 2 obținem y = 9.

Tangenta: punctul și panta · exersare 2

Tangenta este o dreaptă care trece prin punctul de contact A(a, f(a)). Panta ei este f′(a), nu f(a). Avem nevoie de ambele valori.

O tangentă paralelă cu y = mx + n trebuie să aibă panta m. Pentru o tangentă paralelă cu Ox punem f′(a) = 0, apoi aflăm și ordonata f(a).

  • y − f(a) = f′(a)(x − a)
  • paralelă cu Ox: f′(a) = 0

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie tangenta la f(x) = 2x2 + 1 pentru a = 2.

  1. Punctul este A(2, 9), deoarece f(2) = 2·4 + 1 = 9.
  2. f′(x) = 4x, deci panta este f′(2) = 8.
  3. y − 9 = 8(x − 2), adică y = 8x − 7. Verificare: pentru x = 2 obținem y = 9.

Tangenta: punctul și panta · exersare 3

Tangenta este o dreaptă care trece prin punctul de contact A(a, f(a)). Panta ei este f′(a), nu f(a). Avem nevoie de ambele valori.

O tangentă paralelă cu y = mx + n trebuie să aibă panta m. Pentru o tangentă paralelă cu Ox punem f′(a) = 0, apoi aflăm și ordonata f(a).

  • y − f(a) = f′(a)(x − a)
  • paralelă cu Ox: f′(a) = 0

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie tangenta la f(x) = 2x2 + 1 pentru a = 2.

  1. Punctul este A(2, 9), deoarece f(2) = 2·4 + 1 = 9.
  2. f′(x) = 4x, deci panta este f′(2) = 8.
  3. y − 9 = 8(x − 2), adică y = 8x − 7. Verificare: pentru x = 2 obținem y = 9.

Semnul derivatei, monotonia și extremele

Începem cu domeniul. Rezolvăm f′(x) = 0 și studiem semnul derivatei între punctele găsite. f′ > 0 înseamnă creștere, iar f′ < 0 descreștere.

O rădăcină a derivatei este doar un candidat la extrem. Minus urmat de plus dă minim; plus urmat de minus dă maxim. Valoarea extremului se calculează în funcția inițială.

  • f′: − → + ⇒ minim
  • f′: + → − ⇒ maxim

Exemplu rezolvat · alte date

Află minimul lui f(x) = x2 − 6x + 12 pe ℝ.

  1. f′(x) = 2x − 6 = 0 pentru x = 3.
  2. Derivata este negativă pentru x < 3 și pozitivă pentru x > 3: funcția descrește, apoi crește.
  3. Minimul este f(3) = 9 − 18 + 12 = 3. Verificare: f(x) = (x − 3)2 + 3 ≥ 3.

Semnul derivatei, monotonia și extremele · exersare 2

Începem cu domeniul. Rezolvăm f′(x) = 0 și studiem semnul derivatei între punctele găsite. f′ > 0 înseamnă creștere, iar f′ < 0 descreștere.

O rădăcină a derivatei este doar un candidat la extrem. Minus urmat de plus dă minim; plus urmat de minus dă maxim. Valoarea extremului se calculează în funcția inițială.

  • f′: − → + ⇒ minim
  • f′: + → − ⇒ maxim

Exemplu rezolvat · alte date

Află minimul lui f(x) = x2 − 6x + 12 pe ℝ.

  1. f′(x) = 2x − 6 = 0 pentru x = 3.
  2. Derivata este negativă pentru x < 3 și pozitivă pentru x > 3: funcția descrește, apoi crește.
  3. Minimul este f(3) = 9 − 18 + 12 = 3. Verificare: f(x) = (x − 3)2 + 3 ≥ 3.

Semnul derivatei, monotonia și extremele · exersare 3

Începem cu domeniul. Rezolvăm f′(x) = 0 și studiem semnul derivatei între punctele găsite. f′ > 0 înseamnă creștere, iar f′ < 0 descreștere.

O rădăcină a derivatei este doar un candidat la extrem. Minus urmat de plus dă minim; plus urmat de minus dă maxim. Valoarea extremului se calculează în funcția inițială.

  • f′: − → + ⇒ minim
  • f′: + → − ⇒ maxim

Exemplu rezolvat · alte date

Află minimul lui f(x) = x2 − 6x + 12 pe ℝ.

  1. f′(x) = 2x − 6 = 0 pentru x = 3.
  2. Derivata este negativă pentru x < 3 și pozitivă pentru x > 3: funcția descrește, apoi crește.
  3. Minimul este f(3) = 9 − 18 + 12 = 3. Verificare: f(x) = (x − 3)2 + 3 ≥ 3.

Inegalități: construim o funcție auxiliară

Ca să demonstrăm A(x) ≥ B(x), studiem g(x) = A(x) − B(x). Dacă minimul lui g este nenegativ pe domeniul cerut, inegalitatea este adevărată pentru toate valorile din acel domeniu.

La logaritm domeniul este x > 0 și (ln x)′ = 1x. Pentru exponențială, (ex)′ = ex și ex este mereu pozitivă. Semnele și capetele intervalului fac parte din demonstrație.

  • A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0
  • un test cu câteva valori nu este o demonstrație

Exemplu rezolvat · alte date

Demonstrează x2 + 8 ≥ 4x pentru orice x real.

  1. Definim g(x) = x2 − 4x + 8; g′(x) = 2x − 4.
  2. Derivata este negativă înainte de 2 și pozitivă după 2, deci minimul este la x = 2.
  3. g(2) = 4 − 8 + 8 = 4 > 0, deci inegalitatea este adevărată pe ℝ.

Existență și unicitate sunt două argumente

Continuitatea și două valori de semne opuse asigură cel puțin o rădăcină între ele. Monotonia strictă asigură cel mult una. Punem cele două concluzii împreună pentru exact una.

Dacă numărăm mai multe rădăcini, împărțim domeniul în intervale de monotonie, evaluăm extremele și folosim și limitele la capete. Nu numărăm de două ori o rădăcină aflată la un capăt comun.

  • existență: continuitate și schimbare de semn
  • unicitate: monotonie strictă

Exemplu rezolvat · alte date

Arată că x3 + 2x − 4 = 0 are exact o soluție reală.

  1. f este polinom, deci continuă; f(0) = −4 și f(2) = 8: există o rădăcină în (0, 2).
  2. f′(x) = 3x2 + 2 > 0 pe ℝ, deci f este strict crescătoare și are cel mult o rădăcină.
  3. Există cel puțin una și cel mult una: ecuația are exact o soluție reală.

Atelier: construiește singur inegalitatea

Înlocuim afirmația A ≥ B prin g = A − B ≥ 0. Domeniul și punctul unde se atinge minimul trebuie justificate înainte de concluzie.

Dacă o expresie conține un parametru, minimul funcției auxiliare spune și ce valori ale parametrului fac inegalitatea adevărată peste tot. Verificăm egalitatea în punctul de minim.

  • A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0

Model cu alte date

Care este cel mai mare k pentru care x2 + 10 ≥ 6x + k, pentru orice x real?

  1. g(x) = x2 − 6x + 10 = (x − 3)2 + 1.
  2. Minimul este 1 la x = 3; derivata 2x − 6 confirmă descreșterea urmată de creștere.
  3. Trebuie k ≤ 1, iar cel mai mare k este 1. Egalitatea are loc la x = 3.

Exerciții rezolvate din lecție (41)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Fie f(x) = x2 − 3x + 2. Calculați f′(2).

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm întâi: f′(x) = 2x − 3.
    2. Înlocuim x = 2: 2·2 − 3.
    3. Răspuns final: f′(2) = 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Fie f(x) = 1x2 + 1. Calculați f′(1).

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem f(x) = (x2 + 1)−1 și aplicăm regula lanțului.
    2. f′(x) = −2x(x2 + 1)2.
    3. Înlocuim x = 1: −2(1 + 1)2 = −24.
    4. Răspuns final: f′(1) = −12.

    Răspuns: −12

  3. Exercițiul 3

    Fie f(x) = (x − 1)·ex. Calculați f′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm regula produsului: f′(x) = ex + (x − 1)ex = x·ex.
    2. Observă cât de mult simplifică factorul comun.
    3. Înlocuim x = 0: 0·e0 = 0.
    4. Răspuns final: f′(0) = 0.

    Răspuns: 0

  4. Exercițiul 4

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x2 în punctul de abscisă 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm punctul: f(1) = 1, deci A(1, 1).
    2. Derivăm: f′(x) = 2x, deci panta este f′(1) = 2.
    3. Aplicăm y − f(a) = f′(a)(x − a): y − 1 = 2(x − 1).
    4. Rezultă y = 2x − 1.

    Răspuns: y = 2x − 1

  5. Exercițiul 5

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm punctul: f(0) = 1, deci A(0, 1).
    2. Derivăm: f′(x) = −1(x + 1)2, deci f′(0) = −1.
    3. Aplicăm formula: y − 1 = −1(x − 0).
    4. Rezultă y = −x + 1.

    Răspuns: y = −x + 1

  6. Exercițiul 6

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = ln x în punctul de abscisă 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm punctul: f(1) = ln 1 = 0, deci A(1, 0).
    2. Derivăm: f′(x) = 1x, deci f′(1) = 1.
    3. Aplicăm formula: y − 0 = 1·(x − 1).
    4. Rezultă y = x − 1. Aceasta este chiar tangenta din inegalitatea ln x ≤ x − 1.

    Răspuns: y = x − 1

  7. Exercițiul 7

    Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x3 − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.

    Vezi rezolvarea
    1. Tangenta paralelă cu Ox are panta 0, deci rezolvăm f′(x) = 0.
    2. f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1), deci x = −1 sau x = 1.
    3. Calculăm ordonatele: f(−1) = −1 + 3 = 2 și f(1) = 1 − 3 = −2.
    4. Punctele sunt (−1, 2) și (1, −2).

    Răspuns: (−1, 2); (1, −2)

  8. Exercițiul 8

    Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x2 − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Două drepte paralele au aceeași pantă, deci cerem f′(x) = 3.
    2. f′(x) = 2x − 1, deci 2x − 1 = 3 și x = 2.
    3. Calculăm ordonata: f(2) = 4 − 2 = 2.
    4. Punctul cerut este (2, 2).

    Răspuns: (2, 2)

  9. Exercițiul 9

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x·ex în punctul de abscisă 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm punctul: f(0) = 0·e0 = 0, deci A(0, 0).
    2. Derivăm: f′(x) = ex(x + 1), deci f′(0) = 1.
    3. Aplicăm formula: y − 0 = 1·(x − 0).
    4. Rezultă y = x.

    Răspuns: y = x

  10. Exercițiul 10

    Studiați monotonia funcției f(x) = x2 − 4x + 1 și determinați extremul ei. Scrieți valoarea extremului.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 2x − 4 = 2(x − 2).
    2. f′ < 0 pe (−∞, 2), deci funcția este strict descrescătoare.
    3. f′ > 0 pe (2, +∞), deci funcția este strict crescătoare.
    4. Schimbarea − spre + arată un minim în x = 2.
    5. Valoarea minimă este f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.

    Răspuns: −3

  11. Exercițiul 11

    Studiați monotonia funcției f(x) = x3 − 3x2. Scrieți punctele critice separate prin virgulă.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2).
    2. Punctele critice sunt soluțiile ecuației f′(x) = 0, adică x = 0 și x = 2.
    3. Pe (−∞, 0) și (2, +∞) produsul este pozitiv, deci funcția crește.
    4. Pe (0, 2) produsul este negativ, deci funcția descrește.
    5. În x = 0 avem maxim local f(0) = 0, iar în x = 2 minim local f(2) = −4.

    Răspuns: 0,2

  12. Exercițiul 12

    Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x3 − 3x. Scrieți valoarea maximului local.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
    2. Punctele critice sunt x = −1 și x = 1.
    3. Semnul lui f′ este + pe (−∞, −1), − pe (−1, 1) și + pe (1, +∞).
    4. Schimbarea + spre − în x = −1 dă maxim local: f(−1) = −1 + 3 = 2.
    5. Schimbarea − spre + în x = 1 dă minim local: f(1) = −2.

    Răspuns: 2

  13. Exercițiul 13

    Studiați monotonia funcției f(x) = 1x2 + 4x + 5 și determinați valoarea sa maximă.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul este x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0, deci domeniul este ℝ.
    2. Derivăm: f′(x) = −2(x + 2)(x2 + 4x + 5)2.
    3. Numitorul este strict pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui −(x + 2).
    4. f′ > 0 pentru x < −2 și f′ < 0 pentru x > −2, deci maxim în x = −2.
    5. Valoarea maximă este f(−2) = 14 − 8 + 5 = 1.

    Răspuns: 1

  14. Exercițiul 14

    Exercițiul 90 ghidat · Pentru f(x) = (x − 1)·ex. Pasul 1: ce regulă de derivare folosim?

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția este produsul dintre x − 1 și ex.
    2. Se aplică (f·g)′ = f′g + fg′.
    3. Atenție: derivata produsului NU este produsul derivatelor.

    Răspuns: Regula produsului: (f·g)′ = f′g + fg′

  15. Exercițiul 15

    Pasul 2: calculați f′(x) și dați factor comun.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 1·ex + (x − 1)·ex.
    2. Dăm factor comun ex: ex(1 + x − 1).
    3. Paranteza se reduce la x.
    4. Rezultă f′(x) = x·ex.

    Răspuns: x·ex

  16. Exercițiul 16

    Pasul 3: ce determină semnul derivatei x·ex?

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția exponențială este strict pozitivă pentru orice x real.
    2. Prin urmare semnul produsului x·ex coincide cu semnul lui x.
    3. f′ < 0 pentru x < 0 și f′ > 0 pentru x > 0.
    4. Funcția descrește, apoi crește: are minim în x = 0.

    Răspuns: Semnul lui x, pentru că ex > 0 mereu

  17. Exercițiul 17

    Pasul 4: calculați valoarea minimă a funcției.

    Vezi rezolvarea
    1. Minimul se atinge în x = 0, unde derivata își schimbă semnul din − în +.
    2. f(0) = (0 − 1)·e0 = −1·1.
    3. Valoarea minimă este −1.
    4. Funcția este strict descrescătoare pe (−∞, 0) și strict crescătoare pe (0, +∞).

    Răspuns: −1

  18. Exercițiul 18

    Exercițiul 91 semi-ghidat · Pentru f(x) = ln x − x, x > 0, calculați f′(x) și găsiți punctul critic.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 1x − 1.
    2. Aducem la numitorul comun x: 1 − xx.
    3. Numitorul este pozitiv pe domeniu, deci punem 1 − x = 0.
    4. Rezultă x = 1.

    Răspuns: f′(x) = 1 − xx, punct critic x = 1

  19. Exercițiul 19

    Acum calculați valoarea maximă a funcției.

    Vezi rezolvarea
    1. Pe (0, 1) avem 1 − x > 0, deci f′ > 0: funcția crește.
    2. Pe (1, +∞) avem 1 − x < 0, deci f′ < 0: funcția descrește.
    3. Schimbarea + spre − arată un maxim în x = 1.
    4. Valoarea maximă este f(1) = ln 1 − 1 = −1.

    Răspuns: −1

  20. Exercițiul 20

    Studiați monotonia funcției f(x) = x + 1x, x > 0, și determinați valoarea minimă.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: f′(x) = 1 − 1x2 = x2 − 1x2.
    2. Pe x > 0 numitorul este pozitiv, deci semnul îl dă x2 − 1.
    3. f′ < 0 pe (0, 1) și f′ > 0 pe (1, +∞).
    4. Funcția are minim în x = 1.
    5. Valoarea minimă este f(1) = 1 + 1 = 2.

    Răspuns: 2

  21. Exercițiul 21

    Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.

    Vezi rezolvarea
    1. Definim g(x) = x − 1 − ln x pe (0, +∞) și arătăm că g ≥ 0.
    2. Derivăm: g′(x) = 1 − 1x = x − 1x.
    3. Pe (0, 1) avem g′ < 0, iar pe (1, +∞) avem g′ > 0.
    4. Funcția are minim global în x = 1, iar g(1) = 1 − 1 − ln 1 = 0.
    5. Cum minimul este 0, rezultă g(x) ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1, cu egalitate doar pentru x = 1.

    Răspuns: 0

  22. Exercițiul 22

    Exercițiul 96 semi-ghidat · Pentru a demonstra că ex ≥ x + 1, ce funcție auxiliară construim?

    Vezi rezolvarea
    1. Inegalitatea ex ≥ x + 1 se rescrie ca ex − x − 1 ≥ 0.
    2. Definim g(x) = ex − x − 1 și demonstrăm că are minimul 0.
    3. Varianta cu semnul invers ar cere g ≤ 0, deci nu este forma cerută.

    Răspuns: g(x) = ex − x − 1, și arătăm că g ≥ 0

  23. Exercițiul 23

    Acum calculați valoarea minimă a lui g.

    Vezi rezolvarea
    1. Derivăm: g′(x) = ex − 1, care se anulează pentru x = 0.
    2. Pe (−∞, 0) avem ex < 1, deci g′ < 0; pe (0, +∞) avem g′ > 0.
    3. Minimul global este în x = 0: g(0) = 1 − 0 − 1 = 0.
    4. Cum minimul este 0, inegalitatea ex ≥ x + 1 este demonstrată.

    Răspuns: 0

  24. Exercițiul 24

    Demonstrați că ecuația ex + x − 3 = 0 are o singură soluție reală. Câte soluții are ecuația?

    Vezi rezolvarea
    1. Definim g(x) = ex + x − 3, funcție continuă pe ℝ.
    2. Derivăm: g′(x) = ex + 1 > 0 pentru orice x, deci g este strict crescătoare.
    3. Strict monotonă înseamnă că ecuația nu poate avea două soluții.
    4. Pentru existență: g(0) = 1 − 3 = −2 < 0, iar g(1) = e − 2 ≈ 0,72 > 0.
    5. Schimbarea de semn și continuitatea garantează o soluție în (0, 1). Deci exact una.

    Răspuns: 1

  25. Exercițiul 25

    Demonstrați că ex + 3·(x2 + x − 1) ≤ 5 pentru orice x ≤ 0. Scrieți valoarea maximă a expresiei.

    Vezi rezolvarea
    1. Definim h(x) = ex + 3(x2 + x − 1) pe (−∞, 0].
    2. Aplicăm regula produsului: h′(x) = ex + 3(x2 + x − 1) + ex + 3(2x + 1).
    3. Dăm factor comun: h′(x) = ex + 3(x2 + 3x) = ex + 3·x(x + 3).
    4. Factorul exponențial este pozitiv, deci h′ > 0 pe (−∞, −3) și h′ < 0 pe (−3, 0).
    5. Maximul pe (−∞, 0] este în x = −3: h(−3) = e0(9 − 3 − 1) = 5, deci h(x) ≤ 5.

    Răspuns: 5

  26. Exercițiul 26

    Derivează f(x)=x2+1x+1, pentru x≠−1.

    Vezi rezolvarea
    1. u=x2+1, u′=2x; v=x+1, v′=1. Derivata unei constante este 0, iar derivata lui x este 1.
    2. f′(x)=2x(x+1)−(x2+1)(x+1)2. Formula este u′v−uv′v2. Numitorul se ridică la pătrat.
    3. f′(x)=x2+2x−1(x+1)2. 2x2+2x−x2−1=x2+2x−1. Minusul se aplică întregii paranteze.

    Răspuns: f′(x)=x2+2x−1(x+1)2

  27. Exercițiul 27

    Folosește derivata pentru a afla minimul lui f(x)=x2−4x+7 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x)=2x−4=0 ⇔ x=2. Derivăm polinomul și rezolvăm ecuația derivatei nule.
    2. f descrește pe (−∞,2) și crește pe (2,∞). 2x−4 este negativ pentru x<2 și pozitiv pentru x>2.
    3. f(2)=3, deci f(x)≥3. 4−8+7=3. Trecerea de la descreștere la creștere confirmă minimul global.

    Răspuns: f(2)=3, deci f(x)≥3

  28. Exercițiul 28

    Pentru f(x)=x2+2x, scrie tangenta la grafic în punctul cu abscisa 1.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x)=2x+2, deci f′(1)=4. Derivăm termen cu termen: derivata lui x2 este 2x, iar a lui 2x este 2.
    2. f(1)=3; y−3=4(x−1). Tangenta trece prin (1,3) și are panta 4. Formula este y−f(a)=f′(a)(x−a).
    3. y=4x−1. y−3=4x−4, deci y=4x−1. La x=1 obținem y=3.

    Răspuns: y=4x−1

  29. Exercițiul 29

    Pentru f(x) = 5x3 + 7, calculează f′(1).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 15x2; constanta 7 dispare.
    2. Înlocuim x = 1, deci x2 = 1.
    3. f′(1) = 15.

    Răspuns: 15

  30. Exercițiul 30

    Pentru f(x) = 6x3 + 7, calculează f′(1).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 18x2; constanta 7 dispare.
    2. Înlocuim x = 1, deci x2 = 1.
    3. f′(1) = 18.

    Răspuns: 18

  31. Exercițiul 31

    f(x) = 6x + 2, x ≠ −2. Calculează 4f′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = −6(x + 2)2.
    2. f′(0) = −64.
    3. 4f′(0) = −6.

    Răspuns: -6

  32. Exercițiul 32

    Pentru f(x) = (5x + 1)ex, calculează f′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 5ex + (5x + 1)ex.
    2. În 0: 5·1 + 1·1.
    3. f′(0) = 6.

    Răspuns: 6

  33. Exercițiul 33

    Pentru f(x) = (6x + 1)ex, calculează f′(0).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 6ex + (6x + 1)ex.
    2. În 0: 6·1 + 1·1.
    3. f′(0) = 7.

    Răspuns: 7

  34. Exercițiul 34

    Tangenta la f(x) = 5x2 în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 10x.
    2. m = f′(2) = 10·2.
    3. m = 20; punctul de contact este (2, 20).

    Răspuns: 20

  35. Exercițiul 35

    Tangenta la f(x) = 6x2 în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 12x.
    2. m = f′(2) = 12·2.
    3. m = 24; punctul de contact este (2, 24).

    Răspuns: 24

  36. Exercițiul 36

    Află valoarea minimă a lui f(x) = (x − 6)2 + 8 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = 2(x − 6).
    2. Semnul se schimbă din minus în plus la x = 6.
    3. f(6) = 8, valoarea minimă.

    Răspuns: 8

  37. Exercițiul 37

    Câte soluții reale are ecuația x3 + x − 5 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = −5, iar f(5) = 125 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x2 + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

  38. Exercițiul 38

    Câte soluții reale are ecuația x3 + x − 6 = 0?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = −6, iar f(6) = 216 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x2 + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

  39. Exercițiul 39

    Care este cel mai mare k pentru care x2 + 18 ≥ 8x + k pentru orice x real?

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 8x + 18 = (x − 4)2 + 2.
    2. Minimul este 2 la x = 4; toate celelalte valori sunt cel puțin 2.
    3. k trebuie să fie cel mult 2; valoarea maximă posibilă este 2.

    Răspuns: 2

  40. Exercițiul 40

    Care este cel mai mare k pentru care x2 + 27 ≥ 10x + k pentru orice x real?

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 10x + 27 = (x − 5)2 + 2.
    2. Minimul este 2 la x = 5; toate celelalte valori sunt cel puțin 2.
    3. k trebuie să fie cel mult 2; valoarea maximă posibilă este 2.

    Răspuns: 2

  41. Exercițiul 41

    Care este cel mai mare k pentru care x2 + 38 ≥ 12x + k pentru orice x real?

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 12x + 38 = (x − 6)2 + 2.
    2. Minimul este 2 la x = 6; toate celelalte valori sunt cel puțin 2.
    3. k trebuie să fie cel mult 2; valoarea maximă posibilă este 2.

    Răspuns: 2

Fișa de aplicații · exercițiile 76–98 pentru profilul Științe (20)

  1. 76. Valoarea derivatei

    Fie f(x) = x2 − 3x + 2. Calculați f′(2).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 2x − 3, deci f′(2) = 1.

  2. 77. Valoarea derivatei

    Fie f(x) = 1x2 + 1. Calculați f′(1).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −2x(x2 + 1)2, deci f′(1) = −12.

  3. 78. Valoarea derivatei

    Fie f(x) = (x − 1)·ex. Calculați f′(0).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = xex, deci f′(0) = 0.

  4. 79. Tangentă

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x2 în punctul de abscisă 1.

    Vezi răspunsul

    y = 2x − 1

  5. 80. Tangentă

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.

    Vezi răspunsul

    f(0) = 1, f′(0) = −1: y = −x + 1.

  6. 81. Tangentă

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = ln x în punctul de abscisă 1.

    Vezi răspunsul

    y = x − 1

  7. 82. Tangentă orizontală

    Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x3 − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x2 − 3 = 0 dă x = ±1: (−1, 2); (1, −2)

  8. 84. Tangentă paralelă

    Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x2 − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.

    Vezi răspunsul

    2x − 1 = 3, deci x = 2: punctul (2, 2).

  9. 85. Tangentă

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x·ex în punctul de abscisă 0.

    Vezi răspunsul

    f(0) = 0, f′(0) = 1: y = x.

  10. 86. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x2 − 4x + 1 și determinați extremul ei. Scrieți valoarea extremului.

    Vezi răspunsul

    Descrescătoare pe (−∞, 2], crescătoare pe [2, +∞); minimul este f(2) = −3.

  11. 87. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x3 − 3x2. Scrieți punctele critice separate prin virgulă.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x(x − 2): 0,2 (crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, 2], crescătoare pe [2, +∞)).

  12. 88. Extreme

    Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x3 − 3x. Scrieți valoarea maximului local.

    Vezi răspunsul

    Maxim local în x = −1, cu valoarea 2; minim local în x = 1, cu valoarea −2.

  13. 89. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = 1x2 + 4x + 5 și determinați valoarea sa maximă.

    Vezi răspunsul

    Crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); valoarea maximă este f(−2) = 1.

  14. 90. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = (x − 1)·ex. Scrieți valoarea minimului.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = xex: descrescătoare pe (−∞, 0], crescătoare pe [0, +∞); minimul este f(0) = −1.

  15. 91. Extrem

    Arătați că funcția f(x) = ln x − x, x > 0, are o valoare maximă și determinați-o.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1x − 1: crescătoare pe (0, 1], descrescătoare pe [1, +∞); maximul este f(1) = −1.

  16. 92. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x + 1x, x > 0, și determinați valoarea minimă.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1 − 1x2: descrescătoare pe (0, 1], crescătoare pe [1, +∞); minimul este f(1) = 2.

  17. 95. Inegalitate

    Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.

    Vezi răspunsul

    g′(x) = 1 − 1x, deci minimul este g(1) = 0; atunci g ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1.

  18. 96. Inegalitate

    Folosind derivate, demonstrați că ex ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = ex − x − 1.

    Vezi răspunsul

    g′(x) = ex − 1, deci minimul este g(0) = 0; atunci ex ≥ x + 1.

  19. 97. Soluție unică

    Demonstrați că ecuația ex + x − 3 = 0 are o singură soluție reală. Câte soluții are ecuația?

    Vezi răspunsul

    1: f′(x) = ex + 1 > 0, deci f este strict crescătoare, iar f(0) = −2 < 0 < f(1) = e − 2.

  20. 98. Inegalitate

    Demonstrați că ex + 3·(x2 + x − 1) ≤ 5 pentru orice x ≤ 0. Scrieți valoarea maximă a expresiei.

    Vezi răspunsul

    g′(x) = ex + 3 · x(x + 3): pe (−∞, 0], maximul este g(−3) = 5.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.