Derivate, extreme și inegalități · nivel M1

Exerciții rezolvate din lecție (47)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Fie f(x) = x² − 3x + 2. Calculați f′(2).

   Vezi rezolvarea

   1. Derivăm întâi: f′(x) = 2x − 3.
   2. Înlocuim x = 2: 2·2 − 3.
   3. Răspuns final: f′(2) = 1.

   Răspuns: 1

2. Exercițiul 2

   Fie f(x) = 1x² + 1. Calculați f′(1).

   Vezi rezolvarea

   1. Scriem f(x) = (x² + 1)⁻¹ și aplicăm regula lanțului.
   2. f′(x) = −2x(x² + 1)².
   3. Înlocuim x = 1: −2(1 + 1)² = −24.
   4. Răspuns final: f′(1) = −12.

   Răspuns: −12

3. Exercițiul 3

   Fie f(x) = (x − 1)·e^x. Calculați f′(0).

   Vezi rezolvarea

   1. Aplicăm regula produsului: f′(x) = e^x + (x − 1)e^x = x·e^x.
   2. Observă cât de mult simplifică factorul comun.
   3. Înlocuim x = 0: 0·e⁰ = 0.
   4. Răspuns final: f′(0) = 0.

   Răspuns: 0

4. Exercițiul 4

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x² în punctul de abscisă 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Calculăm punctul: f(1) = 1, deci A(1, 1).
   2. Derivăm: f′(x) = 2x, deci panta este f′(1) = 2.
   3. Aplicăm y − f(a) = f′(a)(x − a): y − 1 = 2(x − 1).
   4. Rezultă y = 2x − 1.

   Răspuns: y = 2x − 1

5. Exercițiul 5

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.

   Vezi rezolvarea

   1. Calculăm punctul: f(0) = 1, deci A(0, 1).
   2. Derivăm: f′(x) = −1(x + 1)², deci f′(0) = −1.
   3. Aplicăm formula: y − 1 = −1(x − 0).
   4. Rezultă y = −x + 1.

   Răspuns: y = −x + 1

6. Exercițiul 6

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = ln x în punctul de abscisă 1.

   Vezi rezolvarea

   1. Calculăm punctul: f(1) = ln 1 = 0, deci A(1, 0).
   2. Derivăm: f′(x) = 1x, deci f′(1) = 1.
   3. Aplicăm formula: y − 0 = 1·(x − 1).
   4. Rezultă y = x − 1. Aceasta este chiar tangenta din inegalitatea ln x ≤ x − 1.

   Răspuns: y = x − 1

7. Exercițiul 7

   Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x³ − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.

   Vezi rezolvarea

   1. Tangenta paralelă cu Ox are panta 0, deci rezolvăm f′(x) = 0.
   2. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), deci x = −1 sau x = 1.
   3. Calculăm ordonatele: f(−1) = −1 + 3 = 2 și f(1) = 1 − 3 = −2.
   4. Punctele sunt (−1, 2) și (1, −2).

   Răspuns: (−1, 2); (1, −2)

8. Exercițiul 8

   Fie f(x) = x + (ln x)² − x·ln x, x > 0. Determinați abscisele punctelor în care tangenta este paralelă cu axa Ox. Scrieți-le separate prin virgulă.

   Vezi rezolvarea

   1. Derivăm: f′(x) = 1 + 2ln xx − (ln x + 1).
   2. Reducem 1 − 1 și aducem la numitorul x: f′(x) = (2 − x)ln xx.
   3. Tangenta este paralelă cu Ox când f′(x) = 0.
   4. Pe domeniul x > 0 numitorul nu se anulează, deci 2 − x = 0 sau ln x = 0.
   5. Rezultă x = 2 sau x = 1.

   Răspuns: 1,2

9. Exercițiul 9

   Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x² − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.

   Vezi rezolvarea

   1. Două drepte paralele au aceeași pantă, deci cerem f′(x) = 3.
   2. f′(x) = 2x − 1, deci 2x − 1 = 3 și x = 2.
   3. Calculăm ordonata: f(2) = 4 − 2 = 2.
   4. Punctul cerut este (2, 2).

   Răspuns: (2, 2)

10. Exercițiul 10

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x·e^x în punctul de abscisă 0.

    Vezi rezolvarea

    1. Calculăm punctul: f(0) = 0·e⁰ = 0, deci A(0, 0).
    2. Derivăm: f′(x) = e^x(x + 1), deci f′(0) = 1.
    3. Aplicăm formula: y − 0 = 1·(x − 0).
    4. Rezultă y = x.

    Răspuns: y = x

11. Exercițiul 11

    Studiați monotonia funcției f(x) = x² − 4x + 1 și determinați extremul ei. Scrieți valoarea extremului.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm: f′(x) = 2x − 4 = 2(x − 2).
    2. f′ < 0 pe (−∞, 2), deci funcția este strict descrescătoare.
    3. f′ > 0 pe (2, +∞), deci funcția este strict crescătoare.
    4. Schimbarea − spre + arată un minim în x = 2.
    5. Valoarea minimă este f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.

    Răspuns: −3

12. Exercițiul 12

    Studiați monotonia funcției f(x) = x³ − 3x². Scrieți punctele critice separate prin virgulă.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm: f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2).
    2. Punctele critice sunt soluțiile ecuației f′(x) = 0, adică x = 0 și x = 2.
    3. Pe (−∞, 0) și (2, +∞) produsul este pozitiv, deci funcția crește.
    4. Pe (0, 2) produsul este negativ, deci funcția descrește.
    5. În x = 0 avem maxim local f(0) = 0, iar în x = 2 minim local f(2) = −4.

    Răspuns: 0,2

13. Exercițiul 13

    Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x³ − 3x. Scrieți valoarea maximului local.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
    2. Punctele critice sunt x = −1 și x = 1.
    3. Semnul lui f′ este + pe (−∞, −1), − pe (−1, 1) și + pe (1, +∞).
    4. Schimbarea + spre − în x = −1 dă maxim local: f(−1) = −1 + 3 = 2.
    5. Schimbarea − spre + în x = 1 dă minim local: f(1) = −2.

    Răspuns: 2

14. Exercițiul 14

    Studiați monotonia funcției f(x) = 1x² + 4x + 5 și determinați valoarea sa maximă.

    Vezi rezolvarea

    1. Numitorul este x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 > 0, deci domeniul este ℝ.
    2. Derivăm: f′(x) = −2(x + 2)(x² + 4x + 5)².
    3. Numitorul este strict pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui −(x + 2).
    4. f′ > 0 pentru x < −2 și f′ < 0 pentru x > −2, deci maxim în x = −2.
    5. Valoarea maximă este f(−2) = 14 − 8 + 5 = 1.

    Răspuns: 1

15. Exercițiul 15

    Studiați monotonia funcției f(x) = (x − 1)·e^x. Scrieți valoarea minimului.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm cu regula produsului: f′(x) = e^x + (x − 1)e^x = x·e^x.
    2. Factorul e^x este strict pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui x.
    3. f′ < 0 pentru x < 0 și f′ > 0 pentru x > 0.
    4. Funcția descrește, apoi crește, deci are minim în x = 0.
    5. Valoarea minimă este f(0) = (0 − 1)·1 = −1.

    Răspuns: −1

16. Exercițiul 16

    Arătați că funcția f(x) = ln x − x, x > 0, are o valoare maximă și determinați-o.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm: f′(x) = 1x − 1 = 1 − xx.
    2. Pe domeniul x > 0 numitorul este pozitiv, deci semnul îl dă 1 − x.
    3. f′ > 0 pe (0, 1) și f′ < 0 pe (1, +∞).
    4. Schimbarea + spre − arată un maxim în x = 1.
    5. Valoarea maximă este f(1) = ln 1 − 1 = −1.

    Răspuns: −1

17. Exercițiul 17

    Studiați monotonia funcției f(x) = x + 1x, x > 0, și determinați valoarea minimă.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm: f′(x) = 1 − 1x² = x² − 1x².
    2. Pe x > 0 numitorul este pozitiv, deci semnul îl dă x² − 1.
    3. f′ < 0 pe (0, 1) și f′ > 0 pe (1, +∞).
    4. Funcția are minim în x = 1.
    5. Valoarea minimă este f(1) = 1 + 1 = 2.

    Răspuns: 2

18. Exercițiul 18

    Studiați monotonia și extremele funcției f(x) = x⁴ − 4x². Scrieți valoarea minimului.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm: f′(x) = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2).
    2. Punctele critice sunt x = 0 și x = ±√2.
    3. Semnul lui f′ este − pe (−∞, −√2), + pe (−√2, 0), − pe (0, √2) și + pe (√2, +∞).
    4. În x = ±√2 avem minime, iar în x = 0 un maxim local.
    5. Valoarea minimă este f(±√2) = 4 − 8 = −4, iar f(0) = 0.

    Răspuns: −4

19. Exercițiul 19

    Exercițiul 94 semi-ghidat · Pentru f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1, calculați f′(x) factorizat.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivăm: f′(x) = 3x² − 6x − 9.
    2. Dăm factor comun 3: 3(x² − 2x − 3).
    3. Rădăcinile trinomului sunt −1 și 3, deci x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3).
    4. Rezultă f′(x) = 3(x + 1)(x − 3).

    Răspuns: 3(x + 1)(x − 3)

20. Exercițiul 20

    Acum scrieți valorile extreme, în ordinea maxim,minim.

    Vezi rezolvarea

    1. Punctele critice sunt x = −1 și x = 3.
    2. Semnul lui f′ este + pe (−∞, −1), − pe (−1, 3) și + pe (3, +∞).
    3. Maxim local în x = −1: f(−1) = −1 − 3 + 9 + 1 = 6.
    4. Minim local în x = 3: f(3) = 27 − 27 − 27 + 1 = −26.

    Răspuns: 6,−26

21. Exercițiul 21

    Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.

    Vezi rezolvarea

    1. Definim g(x) = x − 1 − ln x pe (0, +∞) și arătăm că g ≥ 0.
    2. Derivăm: g′(x) = 1 − 1x = x − 1x.
    3. Pe (0, 1) avem g′ < 0, iar pe (1, +∞) avem g′ > 0.
    4. Funcția are minim global în x = 1, iar g(1) = 1 − 1 − ln 1 = 0.
    5. Cum minimul este 0, rezultă g(x) ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1, cu egalitate doar pentru x = 1.

    Răspuns: 0

22. Exercițiul 22

    Folosind derivate, demonstrați că e^x ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = e^x − x − 1.

    Vezi rezolvarea

    1. Definim g(x) = e^x − x − 1 pe ℝ.
    2. Derivăm: g′(x) = e^x − 1, care se anulează pentru x = 0.
    3. Pe (−∞, 0) avem e^x < 1, deci g′ < 0; pe (0, +∞) avem g′ > 0.
    4. Funcția are minim global în x = 0, iar g(0) = 1 − 0 − 1 = 0.
    5. Cum minimul este 0, rezultă e^x ≥ x + 1, cu egalitate doar pentru x = 0.

    Răspuns: 0

23. Exercițiul 23

    Demonstrați că ecuația e^x + x − 3 = 0 are o singură soluție reală. Câte soluții are ecuația?

    Vezi rezolvarea

    1. Definim g(x) = e^x + x − 3, funcție continuă pe ℝ.
    2. Derivăm: g′(x) = e^x + 1 > 0 pentru orice x, deci g este strict crescătoare.
    3. Strict monotonă înseamnă că ecuația nu poate avea două soluții.
    4. Pentru existență: g(0) = 1 − 3 = −2 < 0, iar g(1) = e − 2 ≈ 0,72 > 0.
    5. Schimbarea de semn și continuitatea garantează o soluție în (0, 1). Deci exact una.

    Răspuns: 1

24. Exercițiul 24

    Demonstrați că e^{x + 3}·(x² + x − 1) ≤ 5 pentru orice x ≤ 0. Scrieți valoarea maximă a expresiei.

    Vezi rezolvarea

    1. Definim h(x) = e^{x + 3}(x² + x − 1) pe (−∞, 0].
    2. Aplicăm regula produsului: h′(x) = e^{x + 3}(x² + x − 1) + e^{x + 3}(2x + 1).
    3. Dăm factor comun: h′(x) = e^{x + 3}(x² + 3x) = e^{x + 3}·x(x + 3).
    4. Factorul exponențial este pozitiv, deci h′ > 0 pe (−∞, −3) și h′ < 0 pe (−3, 0).
    5. Maximul pe (−∞, 0] este în x = −3: h(−3) = e⁰(9 − 3 − 1) = 5, deci h(x) ≤ 5.

    Răspuns: 5

25. Exercițiul 25

    Exercițiul 99 semi-ghidat · Pentru f(x) = x² dacă x ≤ 1 și f(x) = ax + b dacă x > 1, ce condiție dă continuitatea în 1?

    Vezi rezolvarea

    1. Derivabilitatea într-un punct implică întâi continuitatea acolo.
    2. Valoarea din stânga și în punct este f(1) = 1² = 1.
    3. Limita din dreapta este a·1 + b = a + b.
    4. Egalitatea dă a + b = 1.

    Răspuns: a + b = 1

26. Exercițiul 26

    Acum determinați a și b, scriind răspunsul sub forma a,b.

    Vezi rezolvarea

    1. Derivata din stânga este (x²)′ = 2x, care în 1 dă 2.
    2. Derivata din dreapta este (ax + b)′ = a.
    3. Pentru derivabilitate cele două trebuie să coincidă: a = 2.
    4. Din a + b = 1 rezultă 2 + b = 1, deci b = −1.

    Răspuns: 2,−1

27. Exercițiul 27

    Exercițiul 100 ghidat · Pentru f(x) = x + (ln x)² − x·ln x, x > 0. Pasul 1: calculați f′(x) și simplificați.

    Vezi rezolvarea

    1. (x)′ = 1.
    2. ((ln x)²)′ = 2ln x·(1x) = 2ln xx, prin regula lanțului.
    3. (x·ln x)′ = ln x + 1, prin regula produsului.
    4. f′(x) = 1 + 2ln xx − ln x − 1; termenii 1 și −1 se reduc.
    5. Aducem la numitorul x: 2ln x − x·ln xx = (2 − x)ln xx.

    Răspuns: (2 − x)ln xx

28. Exercițiul 28

    Pasul 2: pe intervalul (0, 1), ce semn are f′(x)?

    Vezi rezolvarea

    1. Pe (0, 1) avem ln x < 0, pentru că argumentul este subunitar.
    2. Tot acolo 2 − x > 0, iar numitorul x > 0.
    3. Produsul unui factor negativ cu doi pozitivi este negativ, deci f′ < 0.
    4. Funcția este strict descrescătoare pe (0, 1).

    Răspuns: Negativ, pentru că ln x < 0 și 2 − x > 0

29. Exercițiul 29

    Pasul 3: pe intervalul (2, +∞), ce se întâmplă cu funcția?

    Vezi rezolvarea

    1. Pentru x > 2 avem 2 − x < 0, iar ln x > 0 și x > 0.
    2. Produsul are semn negativ, deci f′ < 0.
    3. Funcția este strict descrescătoare pe (2, +∞).
    4. Această monotonie strictă va garanta unicitatea soluției.

    Răspuns: Este strict descrescătoare, pentru că f′ < 0

30. Exercițiul 30

    Pasul 4: câte soluții are ecuația f(x) = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. Pe (0, 1] funcția descrește, dar rămâne peste f(1) = 1 > 0, deci nu se anulează.
    2. Pe [1, 2] funcția crește de la 1, deci rămâne pozitivă.
    3. Pe (2, +∞) funcția este strict descrescătoare, cu f(2) = 1 + (ln 2 − 1)² > 0 și limx→+∞ f(x) = −∞.
    4. Continuitatea garantează existența unei rădăcini, iar monotonia strictă exclude o a doua.
    5. Ecuația are exact o soluție, situată în (2, +∞).

    Răspuns: 1

31. Exercițiul 31

    Derivează f(x)=x²+1x+1, pentru x≠−1.

    Vezi rezolvarea

    1. u=x²+1, u′=2x; v=x+1, v′=1. Derivata unei constante este 0, iar derivata lui x este 1.
    2. f′(x)=2x(x+1)−(x²+1)(x+1)². Formula este u′v−uv′v². Numitorul se ridică la pătrat.
    3. f′(x)=x²+2x−1(x+1)². 2x²+2x−x²−1=x²+2x−1. Minusul se aplică întregii paranteze.

    Răspuns: f′(x)=x²+2x−1(x+1)²

32. Exercițiul 32

    Folosește derivata pentru a afla minimul lui f(x)=x²−4x+7 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=2x−4=0 ⇔ x=2. Derivăm polinomul și rezolvăm ecuația derivatei nule.
    2. f descrește pe (−∞,2) și crește pe (2,∞). 2x−4 este negativ pentru x<2 și pozitiv pentru x>2.
    3. f(2)=3, deci f(x)≥3. 4−8+7=3. Trecerea de la descreștere la creștere confirmă minimul global.

    Răspuns: f(2)=3, deci f(x)≥3

33. Exercițiul 33

    Pentru f(x)=x²+2x, scrie tangenta la grafic în punctul cu abscisa 1.

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x)=2x+2, deci f′(1)=4. Derivăm termen cu termen: derivata lui x² este 2x, iar a lui 2x este 2.
    2. f(1)=3; y−3=4(x−1). Tangenta trece prin (1,3) și are panta 4. Formula este y−f(a)=f′(a)(x−a).
    3. y=4x−1. y−3=4x−4, deci y=4x−1. La x=1 obținem y=3.

    Răspuns: y=4x−1

34. Exercițiul 34

    Pentru f(x) = 5x³ + 7, calculează f′(1).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 15x²; constanta 7 dispare.
    2. Înlocuim x = 1, deci x² = 1.
    3. f′(1) = 15.

    Răspuns: 15

35. Exercițiul 35

    Pentru f(x) = 6x³ + 7, calculează f′(1).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 18x²; constanta 7 dispare.
    2. Înlocuim x = 1, deci x² = 1.
    3. f′(1) = 18.

    Răspuns: 18

36. Exercițiul 36

    f(x) = 6x + 2, x ≠ −2. Calculează 4f′(0).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = −6(x + 2)².
    2. f′(0) = −64.
    3. 4f′(0) = −6.

    Răspuns: -6

37. Exercițiul 37

    Pentru f(x) = (5x + 1)e^x, calculează f′(0).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 5e^x + (5x + 1)e^x.
    2. În 0: 5·1 + 1·1.
    3. f′(0) = 6.

    Răspuns: 6

38. Exercițiul 38

    Pentru f(x) = (6x + 1)e^x, calculează f′(0).

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 6e^x + (6x + 1)e^x.
    2. În 0: 6·1 + 1·1.
    3. f′(0) = 7.

    Răspuns: 7

39. Exercițiul 39

    Tangenta la f(x) = 6x² în a = 2 are ecuația y = mx + b. Cât este m?

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 12x.
    2. m = f′(2) = 12·2.
    3. m = 24; punctul de contact este (2, 24).

    Răspuns: 24

40. Exercițiul 40

    Află valoarea minimă a lui f(x) = (x − 5)² + 7 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 2(x − 5).
    2. Semnul se schimbă din minus în plus la x = 5.
    3. f(5) = 7, valoarea minimă.

    Răspuns: 7

41. Exercițiul 41

    Află valoarea minimă a lui f(x) = (x − 6)² + 8 pe ℝ.

    Vezi rezolvarea

    1. f′(x) = 2(x − 6).
    2. Semnul se schimbă din minus în plus la x = 6.
    3. f(6) = 8, valoarea minimă.

    Răspuns: 8

42. Exercițiul 42

    f(x) = x² pentru x ≤ 5 și f(x) = ax + b pentru x > 5. Pentru derivabilitate în 5, cât trebuie să fie a?

    Vezi rezolvarea

    1. Continuitatea cere 25 = 5a + b.
    2. Panta din stânga este 2·5, iar cea din dreapta este a.
    3. a = 10; atunci b = −25.

    Răspuns: 10

43. Exercițiul 43

    f(x) = x² pentru x ≤ 6 și f(x) = ax + b pentru x > 6. Pentru derivabilitate în 6, cât trebuie să fie a?

    Vezi rezolvarea

    1. Continuitatea cere 36 = 6a + b.
    2. Panta din stânga este 2·6, iar cea din dreapta este a.
    3. a = 12; atunci b = −36.

    Răspuns: 12

44. Exercițiul 44

    Câte soluții reale are ecuația x³ + x − 6 = 0?

    Vezi rezolvarea

    1. f(0) = −6, iar f(6) = 216 > 0; polinomul este continuu.
    2. f′(x) = 3x² + 1 > 0 pe ℝ: f este strict crescătoare.
    3. Schimbarea de semn dă existența, iar monotonia dă unicitatea: o soluție.

    Răspuns: 1

45. Exercițiul 45

    Care este cel mai mare k pentru care x² + 18 ≥ 8x + k pentru orice x real?

    Vezi rezolvarea

    1. x² − 8x + 18 = (x − 4)² + 2.
    2. Minimul este 2 la x = 4; toate celelalte valori sunt cel puțin 2.
    3. k trebuie să fie cel mult 2; valoarea maximă posibilă este 2.

    Răspuns: 2

46. Exercițiul 46

    Care este cel mai mare k pentru care x² + 27 ≥ 10x + k pentru orice x real?

    Vezi rezolvarea

    1. x² − 10x + 27 = (x − 5)² + 2.
    2. Minimul este 2 la x = 5; toate celelalte valori sunt cel puțin 2.
    3. k trebuie să fie cel mult 2; valoarea maximă posibilă este 2.

    Răspuns: 2

47. Exercițiul 47

    Care este cel mai mare k pentru care x² + 38 ≥ 12x + k pentru orice x real?

    Vezi rezolvarea

    1. x² − 12x + 38 = (x − 6)² + 2.
    2. Minimul este 2 la x = 6; toate celelalte valori sunt cel puțin 2.
    3. k trebuie să fie cel mult 2; valoarea maximă posibilă este 2.

    Răspuns: 2

Fișa de aplicații · exercițiile 76–100 (25)

1. 76. Valoarea derivatei

   Fie f(x) = x² − 3x + 2. Calculați f′(2).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 2x − 3, deci f′(2) = 1.

2. 77. Valoarea derivatei

   Fie f(x) = 1x² + 1. Calculați f′(1).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = −2x(x² + 1)², deci f′(1) = −12.

3. 78. Valoarea derivatei

   Fie f(x) = (x − 1)·e^x. Calculați f′(0).

   Vezi răspunsul

   f′(x) = xe^x, deci f′(0) = 0.

4. 79. Tangentă

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x² în punctul de abscisă 1.

   Vezi răspunsul

   y = 2x − 1

5. 80. Tangentă

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.

   Vezi răspunsul

   f(0) = 1, f′(0) = −1: y = −x + 1.

6. 81. Tangentă

   Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = ln x în punctul de abscisă 1.

   Vezi răspunsul

   y = x − 1

7. 82. Tangentă orizontală

   Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x³ − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.

   Vezi răspunsul

   f′(x) = 3x² − 3 = 0 dă x = ±1: (−1, 2); (1, −2)

8. 83. Tangentă orizontală

   Fie f(x) = x + (ln x)² − x·ln x, x > 0. Determinați abscisele punctelor în care tangenta este paralelă cu axa Ox. Scrieți-le separate prin virgulă.

   Vezi răspunsul

   f′(x) = ln x · 2 − xx = 0: 1,2

9. 84. Tangentă paralelă

   Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x² − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.

   Vezi răspunsul

   2x − 1 = 3, deci x = 2: punctul (2, 2).

10. 85. Tangentă

    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x·e^x în punctul de abscisă 0.

    Vezi răspunsul

    f(0) = 0, f′(0) = 1: y = x.

11. 86. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x² − 4x + 1 și determinați extremul ei. Scrieți valoarea extremului.

    Vezi răspunsul

    Descrescătoare pe (−∞, 2], crescătoare pe [2, +∞); minimul este f(2) = −3.

12. 87. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x³ − 3x². Scrieți punctele critice separate prin virgulă.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3x(x − 2): 0,2 (crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, 2], crescătoare pe [2, +∞)).

13. 88. Extreme

    Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x³ − 3x. Scrieți valoarea maximului local.

    Vezi răspunsul

    Maxim local în x = −1, cu valoarea 2; minim local în x = 1, cu valoarea −2.

14. 89. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = 1x² + 4x + 5 și determinați valoarea sa maximă.

    Vezi răspunsul

    Crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); valoarea maximă este f(−2) = 1.

15. 90. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = (x − 1)·e^x. Scrieți valoarea minimului.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = xe^x: descrescătoare pe (−∞, 0], crescătoare pe [0, +∞); minimul este f(0) = −1.

16. 91. Extrem

    Arătați că funcția f(x) = ln x − x, x > 0, are o valoare maximă și determinați-o.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1x − 1: crescătoare pe (0, 1], descrescătoare pe [1, +∞); maximul este f(1) = −1.

17. 92. Monotonie

    Studiați monotonia funcției f(x) = x + 1x, x > 0, și determinați valoarea minimă.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 1 − 1x²: descrescătoare pe (0, 1], crescătoare pe [1, +∞); minimul este f(1) = 2.

18. 93. Monotonie și extreme

    Studiați monotonia și extremele funcției f(x) = x⁴ − 4x². Scrieți valoarea minimului.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 4x(x² − 2): minime în ±√2, cu valoarea −4, și maxim local în 0, cu valoarea 0. Minimul este −4.

19. 94. Tabel de variație

    Realizați tabelul de variație al funcției f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1. Scrieți valorile extreme, în ordinea maxim,minim.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = 3(x + 1)(x − 3): maxim f(−1) = 6, minim f(3) = −26: 6,−26

20. 95. Inegalitate

    Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.

    Vezi răspunsul

    g′(x) = 1 − 1x, deci minimul este g(1) = 0; atunci g ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1.

21. 96. Inegalitate

    Folosind derivate, demonstrați că e^x ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = e^x − x − 1.

    Vezi răspunsul

    g′(x) = e^x − 1, deci minimul este g(0) = 0; atunci e^x ≥ x + 1.

22. 97. Soluție unică

    Demonstrați că ecuația e^x + x − 3 = 0 are o singură soluție reală. Câte soluții are ecuația?

    Vezi răspunsul

    1: f′(x) = e^x + 1 > 0, deci f este strict crescătoare, iar f(0) = −2 < 0 < f(1) = e − 2.

23. 98. Inegalitate

    Demonstrați că e^{x + 3}·(x² + x − 1) ≤ 5 pentru orice x ≤ 0. Scrieți valoarea maximă a expresiei.

    Vezi răspunsul

    g′(x) = e^{x + 3} · x(x + 3): pe (−∞, 0], maximul este g(−3) = 5.

24. 99. Derivabilitate

    Fie f(x) = x² pentru x ≤ 1 și f(x) = ax + b pentru x > 1. Determinați a și b astfel încât f să fie derivabilă în x = 1. Scrieți răspunsul sub forma a,b.

    Vezi răspunsul

    Continuitate: a + b = 1; derivabilitate: a = 2. Deci 2,−1.

25. 100. Soluție unică

    Fie f(x) = x + (ln x)² − x·ln x, x > 0. Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are exact o soluție. Câte soluții are ecuația?

    Vezi răspunsul

    1: f′(x) = ln x · 2 − xx. f scade pe (0, 1] de la +∞ la f(1) = 1, crește pe [1, 2] până la f(2) > 0, apoi scade spre −∞, deci taie axa o singură dată.