Derivate, extreme și inegalități · nivel M1

Lecția M1 folosește derivata pentru cerințele complete de Bac: tangente, tabel de variație, inegalități, unicitatea soluției și derivabilitate pe ramuri.

Pentru unicitatea unei soluții ai nevoie de două idei separate: existența, din continuitate și schimbarea de semn, și unicitatea, din monotonia strictă.

Ce măsoară derivata

Derivata arată cât de repede se schimbă valoarea funcției când x se modifică foarte puțin. Geometric, f′(a) este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă a. De aici vine toată puterea ei: semnul derivatei traduce forma graficului într-un calcul.

f′(a) = limh→0 f(a + h) − f(a)h

f′(a) > 0: graficul urcă lângă a

f′(a) < 0: graficul coboară lângă a

f′(a) = 0: tangentă orizontală, posibil extrem

f′(a) este un număr, iar f′(x) este o funcție.
Derivabilitatea implică continuitatea, dar nu și invers: |x| este continuă în 0, fără să fie derivabilă acolo.
Scrie domeniul înainte de a deriva.

Formulele elementare și regulile de calcul

(c)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹

(1x)′ = −1x², (√x)′ = 12√x

(e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1x

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

(f·g)′ = f′g + fg′ și (fg)′ = f′g − fg′g²

Derivata produsului NU este f′·g′, iar derivata câtului NU este f′g′.
La cos x nu uita semnul minus.
Uneori simplificarea prealabilă, ca la √xx = x^(−12), scurtează mult calculul.

Regula lanțului

Când o formulă este aplicată unei expresii u(x), derivezi forma exterioară și înmulțești cu u′(x). Factorul din interior este cel mai des uitat.

(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

(uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′

(√u)′ = u′2√u

(e^u)′ = e^u·u′ și (ln u)′ = u′u

(sin u)′ = cos u·u′ și (cos u)′ = −sin u·u′

Întreabă-te mereu: care este funcția din exterior și care este expresia din interior?
sin(x²) nu este același lucru cu (sin x)².
La ln(√u) folosește întâi proprietatea logaritmului: ln(√u) = (12)ln u.

Ecuația tangentei

y − f(a) = f′(a)·(x − a)

Tangentă paralelă cu Ox: f′(a) = 0

Tangentă paralelă cu y = mx + n: f′(a) = m

Calculează atât panta f′(a), cât și ordonata f(a).
Punctul de tangență este A(a, f(a)), nu doar abscisa.
La tangentă paralelă cu o dreaptă dată, egalezi derivata cu panta acelei drepte.

Monotonie și puncte de extrem

Derivata transformă studiul graficului într-un studiu de semn. Algoritmul este mereu același: domeniu, derivată, puncte critice, tabel de semn, concluzie.

f′ > 0 pe un interval ⇒ f este strict crescătoare acolo

f′ < 0 pe un interval ⇒ f este strict descrescătoare acolo

Schimbare + spre − ⇒ maxim local

Schimbare − spre + ⇒ minim local

Condiția f′(a) = 0 singură nu garantează un extrem: verifică schimbarea semnului.
Factorii mereu pozitivi, ca e^x sau un pătrat, nu influențează semnul.
Simplifică derivata până când semnul se citește ușor.

Inegalități și ecuații cu soluție unică

Pentru o inegalitate, construiește o funcție auxiliară și găsește-i extremul. Pentru unicitatea unei soluții, separă existența de unicitate.

Inegalitate: scrie g(x) ≥ 0, studiază semnul lui g′ și calculează extremul

ln x ≤ x − 1 pentru x > 0, cu egalitate în x = 1

e^x ≥ x + 1 pentru x ∈ ℝ, cu egalitate în x = 0

Existență: continuitate și schimbare de semn; unicitate: monotonie strictă

Alege funcția auxiliară astfel încât inegalitatea să devină g ≥ 0.
Valoarea extremă trebuie calculată explicit, nu doar localizată.
Pentru unicitate nu este suficientă existența: ai nevoie de monotonie strictă pe intervalul respectiv.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · inegalitate demonstrată cu derivate

Demonstrați că ln x ≤ x − 1, pentru orice x > 0.

1.Pasul 1 — mutăm toți termenii într-un membru și definim g(x) = x − 1 − ln x, pe (0, +∞).
2.Pasul 2 — inegalitatea cerută devine echivalentă cu g(x) ≥ 0.
3.Pasul 3 — derivăm: g′(x) = 1 − 1x = x − 1x.
4.Pasul 4 — studiem semnul: pe (0, 1) avem g′ < 0, iar pe (1, +∞) avem g′ > 0.
5.Pasul 5 — funcția descrește, apoi crește, deci are minim global în x = 1.
6.Pasul 6 — calculăm g(1) = 1 − 1 − ln 1 = 0. Cum minimul este 0, rezultă g ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1, cu egalitate numai în x = 1.

Algoritmul universal de derivare

Domeniul: stabilește unde este definită funcția și unde poate exista derivata.
Structura: recunoaște suma, produsul, câtul și eventual funcția compusă.
Formula: scrie regula înainte de a înlocui expresiile concrete.
Derivarea: derivează fiecare componentă și nu uita funcția interioară.
Simplificarea: scoate factor comun sau adu la același numitor numai dacă ajută.
Concluzia: precizează formula finală și intervalul pe care este valabilă.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa de aplicații · exercițiile 76–100 · 25 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 76Valoarea derivateiM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x² − 3x + 2. Calculați f′(2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 2x − 3, deci f′(2) = 1.
Ex. 77Valoarea derivateiM1 · Mate-Info
Fie f(x) = 1x² + 1. Calculați f′(1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = −2x(x² + 1)², deci f′(1) = −12.
Ex. 78Valoarea derivateiM1 · Mate-Info
Fie f(x) = (x − 1)·e^x. Calculați f′(0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = xe^x, deci f′(0) = 0.
Ex. 79TangentăM1 · Mate-Info
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x² în punctul de abscisă 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = 2x − 1
Ex. 80TangentăM1 · Mate-Info
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = 1x + 1 în punctul de abscisă 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 1, f′(0) = −1: y = −x + 1.
Ex. 81TangentăM1 · Mate-Info
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = ln x în punctul de abscisă 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = x − 1
Ex. 82Tangentă orizontalăM1 · Mate-Info
Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției f(x) = x³ − 3x este paralelă cu axa Ox. Scrieți punctele separate prin punct și virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x² − 3 = 0 dă x = ±1: (−1, 2); (1, −2)
Ex. 83Tangentă orizontalăM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x + (ln x)² − x·ln x, x > 0. Determinați abscisele punctelor în care tangenta este paralelă cu axa Ox. Scrieți-le separate prin virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = ln x · 2 − xx = 0: 1,2
Ex. 84Tangentă paralelăM1 · Mate-Info
Determinați punctul de pe graficul funcției f(x) = x² − x în care tangenta este paralelă cu dreapta y = 3x − 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x − 1 = 3, deci x = 2: punctul (2, 2).
Ex. 85TangentăM1 · Mate-Info
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x·e^x în punctul de abscisă 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 0, f′(0) = 1: y = x.
Ex. 86MonotonieM1 · Mate-Info
Studiați monotonia funcției f(x) = x² − 4x + 1 și determinați extremul ei. Scrieți valoarea extremului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Descrescătoare pe (−∞, 2], crescătoare pe [2, +∞); minimul este f(2) = −3.
Ex. 87MonotonieM1 · Mate-Info
Studiați monotonia funcției f(x) = x³ − 3x². Scrieți punctele critice separate prin virgulă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3x(x − 2): 0,2 (crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, 2], crescătoare pe [2, +∞)).
Ex. 88ExtremeM1 · Mate-Info
Determinați punctele de extrem ale funcției f(x) = x³ − 3x. Scrieți valoarea maximului local.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Maxim local în x = −1, cu valoarea 2; minim local în x = 1, cu valoarea −2.
Ex. 89MonotonieM1 · Mate-Info
Studiați monotonia funcției f(x) = 1x² + 4x + 5 și determinați valoarea sa maximă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, +∞); valoarea maximă este f(−2) = 1.
Ex. 90MonotonieM1 · Mate-Info
Studiați monotonia funcției f(x) = (x − 1)·e^x. Scrieți valoarea minimului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = xe^x: descrescătoare pe (−∞, 0], crescătoare pe [0, +∞); minimul este f(0) = −1.
Ex. 91ExtremM1 · Mate-Info
Arătați că funcția f(x) = ln x − x, x > 0, are o valoare maximă și determinați-o.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1x − 1: crescătoare pe (0, 1], descrescătoare pe [1, +∞); maximul este f(1) = −1.
Ex. 92MonotonieM1 · Mate-Info
Studiați monotonia funcției f(x) = x + 1x, x > 0, și determinați valoarea minimă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 1 − 1x²: descrescătoare pe (0, 1], crescătoare pe [1, +∞); minimul este f(1) = 2.
Ex. 93Monotonie și extremeM1 · Mate-Info
Studiați monotonia și extremele funcției f(x) = x⁴ − 4x². Scrieți valoarea minimului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 4x(x² − 2): minime în ±√2, cu valoarea −4, și maxim local în 0, cu valoarea 0. Minimul este −4.
Ex. 94Tabel de variațieM1 · Mate-Info
Realizați tabelul de variație al funcției f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1. Scrieți valorile extreme, în ordinea maxim,minim.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f′(x) = 3(x + 1)(x − 3): maxim f(−1) = 6, minim f(3) = −26: 6,−26
Ex. 95InegalitateM1 · Mate-Info
Folosind derivate, demonstrați că ln x ≤ x − 1 pentru orice x > 0. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = x − 1 − ln x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
g′(x) = 1 − 1x, deci minimul este g(1) = 0; atunci g ≥ 0, adică ln x ≤ x − 1.
Ex. 96InegalitateM1 · Mate-Info
Folosind derivate, demonstrați că e^x ≥ x + 1 pentru orice x ∈ ℝ. Scrieți valoarea minimă a funcției auxiliare g(x) = e^x − x − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
g′(x) = e^x − 1, deci minimul este g(0) = 0; atunci e^x ≥ x + 1.
Ex. 97Soluție unicăM1 · Mate-Info
Demonstrați că ecuația e^x + x − 3 = 0 are o singură soluție reală. Câte soluții are ecuația?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1: f′(x) = e^x + 1 > 0, deci f este strict crescătoare, iar f(0) = −2 < 0 < f(1) = e − 2.
Ex. 98InegalitateM1 · Mate-Info
Demonstrați că e^(x + 3)·(x² + x − 1) ≤ 5 pentru orice x ≤ 0. Scrieți valoarea maximă a expresiei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
g′(x) = e^(x + 3) · x(x + 3): pe (−∞, 0], maximul este g(−3) = 5.
Ex. 99DerivabilitateM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x² pentru x ≤ 1 și f(x) = ax + b pentru x > 1. Determinați a și b astfel încât f să fie derivabilă în x = 1. Scrieți răspunsul sub forma a,b.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Continuitate: a + b = 1; derivabilitate: a = 2. Deci 2,−1.
Ex. 100Soluție unicăM1 · Mate-Info
Fie f(x) = x + (ln x)² − x·ln x, x > 0. Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are exact o soluție. Câte soluții are ecuația?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1: f′(x) = ln x · 2 − xx. f scade pe (0, 1] de la +∞ la f(1) = 1, crește pe [1, 2] până la f(2) > 0, apoi scade spre −∞, deci taie axa o singură dată.