M3 · Tehnologic⏱ 2 sesiuni
M3·A

Teorie înainte de exerciții

Asimptote verticale, orizontale și oblice · nivel M3

Lecția M3 construiește temeinic metoda: domeniul, limitele la capete, criteriul naturilor și ecuațiile celor trei tipuri de asimptote.

Regulă utilă la funcții raționale: dacă gradul numărătorului este mai mic, asimptota orizontală este mereu y = 0.
1

Unde se caută asimptotele

Asimptotele nu se caută oriunde, ci doar la capetele intervalelor deschise din domeniul de definiție. Pentru o funcție definită pe ℝ fără un punct, asta înseamnă patru locuri: la −∞, în punctul scos din domeniu pe stânga, același punct pe dreapta, și la +∞. În fiecare dintre ele se calculează câte o limită.

De ținut minte

Domeniu ℝ \ {a}: se cercetează −∞, a la stânga, a la dreapta și +∞
Domeniu [a, ∞): se cercetează doar +∞
Domeniu (0, ∞): se cercetează 0 la dreapta și +∞
Într-un punct de acumulare există cel mult o asimptotă
  • Scrie întâi domeniul; el îți spune exact câte limite ai de calculat.
  • Un punct finit se cercetează separat pe fiecare parte.
  • Capetele închise ale domeniului nu se cercetează.
2

Criteriul naturilor diferite

Există un singur criteriu de reținut, iar el înlocuiește memorarea a trei cazuri separate: o limită determină o asimptotă exact atunci când punctul de acumulare și limita sunt de naturi diferite — unul număr finit, celălalt infinit. Restul este doar citirea ecuației.

De ținut minte

Punct infinit și limită finită ⇒ asimptotă orizontală y = limita
Punct finit și limită infinită ⇒ asimptotă verticală x = punctul
Punct infinit și limită infinită ⇒ nu există orizontală, se caută oblică
Punct finit și limită finită ⇒ nicio asimptotă
  • Compară natura punctului cu natura limitei: asta decide totul.
  • Înainte de a declara o verticală, verifică dacă fracția nu se simplifică.
  • Dacă limitele la +∞ și −∞ sunt egale, este o singură dreaptă, nu două.
3

Asimptota oblică

Formulele cu m și n se folosesc doar când asimptota orizontală a fost exclusă. Motivul este că într-un punct de acumulare asimptota este unică: dacă limita funcției este finită, avem orizontală și oblica nici nu mai are cum să existe. Se caută oblică exact când limita este infinită într-un punct infinit.

De ținut minte

m = limx→±∞ f(x)x, care trebuie să fie finit și nenul
n = limx→±∞ (f(x) − mx), care trebuie să fie finit
Ecuația: y = mx + n
La funcții raționale, împărțirea cu rest arată direct asimptota oblică
Grad numărător = grad numitor + 1 ⇒ există oblică
  • Dacă m iese 0 sau infinit, oprește-te: nu există asimptotă oblică.
  • Dacă m este bun dar n iese infinit, tot nu există asimptotă.
  • Verifică ambele direcții: pantele pot diferi la funcțiile cu modul sau radical.
4

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · toate asimptotele unei funcții raționale

Determinați asimptotele funcției f : ℝ \ {1} → ℝ, f(x) = x2 + 3x + 2x − 1.

  1. 1Pasul 1 — domeniul este (−∞, 1) ∪ (1, ∞), deci cercetăm patru puncte: −∞, 1 la stânga, 1 la dreapta și +∞.
  2. 2Pasul 2 — la −∞: limita este −∞, pentru că gradul numărătorului este mai mare. Punct infinit, limită infinită, aceeași natură, deci nu există orizontală.
  3. 3Pasul 3 — fiind exclusă orizontala, căutăm oblică: m = lim (x2 + 3x + 2)x2 − x = 1, valoare finită și nenulă, deci continuăm.
  4. 4Pasul 4 — calculăm n = lim [x2 + 3x + 2x − 1 − x] = lim (4x + 2)x − 1 = 4, valoare finită, deci asimptota se confirmă: y = x + 4 spre −∞.
  5. 5Pasul 5 — în x = 1 verificăm întâi numărătorul: 1 + 3 + 2 = 6, diferit de zero, deci fracția nu se simplifică.
  6. 6Pasul 6 — la stânga lui 1 numitorul tinde la 0 prin valori negative, deci limita este −∞; la dreapta este +∞. Punct finit și limite infinite: avem asimptota verticală x = 1.
  7. 7Pasul 7 — la +∞ repetăm calculul de la pașii 3 și 4 și obținem aceleași valori, deci y = x + 4 este asimptotă și spre +∞.
  8. 8Concluzie: graficul are două asimptote distincte, verticala x = 1 și oblica y = x + 4.
5

Algoritmul universal în 5 pași

  • Scrie domeniul și listează capetele intervalelor deschise.
  • Calculează limita în fiecare dintre aceste puncte, luând separat stânga și dreapta.
  • Compară natura punctului cu natura limitei și decide dacă există asimptotă.
  • Dacă într-un punct infinit limita este tot infinită, calculează m, apoi n.
  • Numără la final dreptele distincte, nu limitele calculate.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic · 24 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Unde căutămM3 · Tehnologic

    Pentru f : ℝ \ {1} → ℝ, câte limite laterale sau la infinit cercetăm pentru asimptote?

    Vezi răspunsul

    4 limite: la −∞, la 1 din stânga, la 1 din dreapta și la +∞. Sunt trei valori distincte, dar la 1 analizăm ambele părți.

  2. Ex. 2Criteriul naturilorM3 · Tehnologic

    Într-un punct de acumulare limita este 3. Determină acest lucru o asimptotă? Răspundeți cu da sau nu, presupunând că punctul este −∞.

    Vezi răspunsul

    Da: y = 3 este asimptotă orizontală spre −∞.

  3. Ex. 3Asimptotă orizontalăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    y = 3

  4. Ex. 4Asimptotă verticalăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    x = 1

  5. Ex. 5Verificarea numărătoruluiM3 · Tehnologic

    La f(x) = 3x + 2x − 1, se simplifică fracția în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: numărătorul în 1 este 5 ≠ 0.

  6. Ex. 6Orizontală negativăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

    Vezi răspunsul

    y = −1

  7. Ex. 7VerticalăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

    Vezi răspunsul

    x = 2

  8. Ex. 8Când căutăm oblicaM3 · Tehnologic

    Dacă limx→∞ f(x) = +∞, are sens să căutăm asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  9. Ex. 9Panta asimptotei obliceM3 · Tehnologic

    Pentru f(x) = x2 + 3x + 2x − 1, calculați m = limx→∞ f(x)x.

    Vezi răspunsul

    m = 1

  10. Ex. 10Ordonata asimptotei obliceM3 · Tehnologic

    Pentru f(x) = x2 + 3x + 2x − 1 și m = 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − mx).

    Vezi răspunsul

    n = lim (4x + 2)x − 1 = 4

  11. Ex. 11Ecuația obliceiM3 · Tehnologic

    Scrieți ecuația asimptotei oblice a funcției f(x) = x2 + 3x + 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    y = x + 4

  12. Ex. 12Oblică cu pantă negativăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = 4 − x2x + 1.

    Vezi răspunsul

    m = −1, iar n = lim (x + 4)x + 1 = 1: asimptota oblică este y = −x + 1.

  13. Ex. 13Funcție cu două verticaleM3 · Tehnologic

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = 2x2 + 1x2 − 4?

    Vezi răspunsul

    2: x = −2 și x = 2.

  14. Ex. 14Orizontală la grade egaleM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x2 + 1x2 − 4.

    Vezi răspunsul

    y = 2

  15. Ex. 15SimplificareM3 · Tehnologic

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x2 − 1x − 1, definită pe ℝ \ {1}?

    Vezi răspunsul

    0: f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, iar limita în 1 este 2, finită.

  16. Ex. 16Oblică simplăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x2 + 1x.

    Vezi răspunsul

    y = x

  17. Ex. 17Verticală simplăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 1x − 3.

    Vezi răspunsul

    x = 3

  18. Ex. 18Orizontală zeroM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 1x − 3.

    Vezi răspunsul

    y = 0

  19. Ex. 19Grad mai mic la numărătorM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = x + 2x2 + 1.

    Vezi răspunsul

    y = 0 (gradul numărătorului este mai mic)

  20. Ex. 20Fără verticalăM3 · Tehnologic

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x + 2x2 + 1?

    Vezi răspunsul

    0: numitorul x2 + 1 nu se anulează.

  21. Ex. 21Oblică la funcție raționalăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x2 − 4x.

    Vezi răspunsul

    y = x (f(x) = x − 4x)

  22. Ex. 22Numărul total de asimptoteM3 · Tehnologic

    Câte asimptote în total are graficul funcției f(x) = 1x − 3?

    Vezi răspunsul

    2: verticala x = 3 și orizontala y = 0.

  23. Ex. 23LogaritmM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota verticală a funcției f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = ln x.

    Vezi răspunsul

    x = 0 (lim ln x = −∞ când x → 0, x > 0)

  24. Ex. 24ExponențialăM3 · Tehnologic

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = ex spre −∞.

    Vezi răspunsul

    y = 0

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Asimptote verticale, orizontale și oblice · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lecția M3 construiește temeinic metoda: domeniul, limitele la capete, criteriul naturilor și ecuațiile celor trei tipuri de asimptote.

Unde se caută asimptotele

Asimptotele nu se caută oriunde, ci doar la capetele intervalelor deschise din domeniul de definiție. Pentru o funcție definită pe ℝ fără un punct, asta înseamnă patru locuri: la −∞, în punctul scos din domeniu pe stânga, același punct pe dreapta, și la +∞. În fiecare dintre ele se calculează câte o limită.

  • Domeniu ℝ \ {a}: se cercetează −∞, a la stânga, a la dreapta și +∞
  • Domeniu [a, ∞): se cercetează doar +∞
  • Domeniu (0, ∞): se cercetează 0 la dreapta și +∞
  • Într-un punct de acumulare există cel mult o asimptotă
  • Scrie întâi domeniul; el îți spune exact câte limite ai de calculat.
  • Un punct finit se cercetează separat pe fiecare parte.
  • Capetele închise ale domeniului nu se cercetează.

Criteriul naturilor diferite

Există un singur criteriu de reținut, iar el înlocuiește memorarea a trei cazuri separate: o limită determină o asimptotă exact atunci când punctul de acumulare și limita sunt de naturi diferite — unul număr finit, celălalt infinit. Restul este doar citirea ecuației.

  • Punct infinit și limită finită ⇒ asimptotă orizontală y = limita
  • Punct finit și limită infinită ⇒ asimptotă verticală x = punctul
  • Punct infinit și limită infinită ⇒ nu există orizontală, se caută oblică
  • Punct finit și limită finită ⇒ nicio asimptotă
  • Compară natura punctului cu natura limitei: asta decide totul.
  • Înainte de a declara o verticală, verifică dacă fracția nu se simplifică.
  • Dacă limitele la +∞ și −∞ sunt egale, este o singură dreaptă, nu două.

Asimptota oblică

Formulele cu m și n se folosesc doar când asimptota orizontală a fost exclusă. Motivul este că într-un punct de acumulare asimptota este unică: dacă limita funcției este finită, avem orizontală și oblica nici nu mai are cum să existe. Se caută oblică exact când limita este infinită într-un punct infinit.

  • m = limx→±∞ f(x)x, care trebuie să fie finit și nenul
  • n = limx→±∞ (f(x) − mx), care trebuie să fie finit
  • Ecuația: y = mx + n
  • La funcții raționale, împărțirea cu rest arată direct asimptota oblică
  • Grad numărător = grad numitor + 1 ⇒ există oblică
  • Dacă m iese 0 sau infinit, oprește-te: nu există asimptotă oblică.
  • Dacă m este bun dar n iese infinit, tot nu există asimptotă.
  • Verifică ambele direcții: pantele pot diferi la funcțiile cu modul sau radical.

Exemplu de nivel Bac · rezolvat complet

Model rezolvat pas cu pas · toate asimptotele unei funcții raționale

Determinați asimptotele funcției f : ℝ \ {1} → ℝ, f(x) = x2 + 3x + 2x − 1.

  1. Pasul 1 — domeniul este (−∞, 1) ∪ (1, ∞), deci cercetăm patru puncte: −∞, 1 la stânga, 1 la dreapta și +∞.
  2. Pasul 2 — la −∞: limita este −∞, pentru că gradul numărătorului este mai mare. Punct infinit, limită infinită, aceeași natură, deci nu există orizontală.
  3. Pasul 3 — fiind exclusă orizontala, căutăm oblică: m = lim (x2 + 3x + 2)x2 − x = 1, valoare finită și nenulă, deci continuăm.
  4. Pasul 4 — calculăm n = lim [x2 + 3x + 2x − 1 − x] = lim (4x + 2)x − 1 = 4, valoare finită, deci asimptota se confirmă: y = x + 4 spre −∞.
  5. Pasul 5 — în x = 1 verificăm întâi numărătorul: 1 + 3 + 2 = 6, diferit de zero, deci fracția nu se simplifică.
  6. Pasul 6 — la stânga lui 1 numitorul tinde la 0 prin valori negative, deci limita este −∞; la dreapta este +∞. Punct finit și limite infinite: avem asimptota verticală x = 1.
  7. Pasul 7 — la +∞ repetăm calculul de la pașii 3 și 4 și obținem aceleași valori, deci y = x + 4 este asimptotă și spre +∞.
  8. Concluzie: graficul are două asimptote distincte, verticala x = 1 și oblica y = x + 4.

Algoritmul universal în 5 pași

  • Scrie domeniul și listează capetele intervalelor deschise.
  • Calculează limita în fiecare dintre aceste puncte, luând separat stânga și dreapta.
  • Compară natura punctului cu natura limitei și decide dacă există asimptotă.
  • Dacă într-un punct infinit limita este tot infinită, calculează m, apoi n.
  • Numără la final dreptele distincte, nu limitele calculate.

Exerciții rezolvate din lecție (31)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru f : ℝ \ {1} → ℝ, câte limite laterale sau la infinit cercetăm pentru asimptote?

    Vezi rezolvarea
    1. Cercetăm comportamentul la −∞, la 1 din stânga, la 1 din dreapta și la +∞.
    2. Sunt trei valori distincte de analizat: −∞, 1 și +∞, dar patru limite.
    3. La 1 calculăm două limite laterale, deoarece rezultatele pot diferi.
    4. Răspuns final: 4 limite; nu le confundăm cu trei valori distincte.

    Răspuns: 4

  2. Exercițiul 2

    Într-un punct de acumulare limita este 3. Determină acest lucru o asimptotă? Răspundeți cu da sau nu, presupunând că punctul este −∞.

    Vezi rezolvarea
    1. Criteriul este simplu: apare asimptotă exact când punctul de acumulare și limita au naturi diferite.
    2. Aici punctul este −∞, adică infinit, iar limita este 3, adică un număr finit.
    3. Naturile fiind diferite, avem asimptotă.
    4. Răspuns final: da, iar ecuația ei este y = 3, asimptotă orizontală spre −∞.

    Răspuns: da

  3. Exercițiul 3

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm limita la ±∞, unde raportul este dominat de termenii de grad maxim.
    2. lim (3x + 2)x − 1 = lim (3x)x = 3, atât spre +∞ cât și spre −∞.
    3. Punctul este infinit, limita este finită: naturi diferite, deci avem asimptotă.
    4. Răspuns final: y = 3, asimptotă orizontală în ambele direcții.

    Răspuns: y=3

  4. Exercițiul 4

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Punctul suspect este cel care anulează numitorul: x = 1.
    2. La stânga: numărătorul tinde la 5, numitorul la 0 prin valori negative, deci limita este −∞.
    3. La dreapta: numitorul tinde la 0 prin valori pozitive, deci limita este +∞.
    4. Punct finit și limită infinită: naturi diferite. Răspuns final: x = 1.

    Răspuns: x=1

  5. Exercițiul 5

    La f(x) = 3x + 2x − 1, se simplifică fracția în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Verificăm dacă x = 1 anulează și numărătorul: 3·1 + 2 = 5, diferit de 0.
    2. Cum numărătorul nu se anulează, fracția nu se simplifică.
    3. Deci limita chiar este infinită și asimptota verticală există.
    4. Răspuns final: nu. Dacă s-ar fi simplificat, în acel punct nu ar fi fost asimptotă.

    Răspuns: nu

  6. Exercițiul 6

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. La ±∞ raportul este dominat de termenii de grad maxim: −x la numărător și x la numitor.
    2. lim (10 − x)x − 2 = −xx = −1.
    3. Limita este finită într-un punct infinit, deci avem asimptotă.
    4. Răspuns final: y = −1.

    Răspuns: y=−1

  7. Exercițiul 7

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul se anulează în x = 2.
    2. Numărătorul în acel punct este 10 − 2 = 8, diferit de zero, deci nu se simplifică.
    3. Limitele laterale sunt +∞ și −∞, deci de natură diferită față de punctul finit 2.
    4. Răspuns final: x = 2.

    Răspuns: x=2

  8. Exercițiul 8

    Dacă limx→∞ f(x) = +∞, are sens să căutăm asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi rezolvarea
    1. Într-un punct de acumulare, o funcție poate avea cel mult o asimptotă: dacă există una, este unică.
    2. Limita fiind infinită într-un punct infinit, naturile coincid, deci nu există asimptotă orizontală.
    3. Abia atunci are rost să căutăm oblică, cu formulele pentru m și n.
    4. Răspuns final: da. Dacă limita ar fi fost finită, oblica nici nu ar mai fi fost posibilă.

    Răspuns: da

  9. Exercițiul 9

    Pentru f(x) = x2 + 3x + 2x − 1, calculați m = limx→∞ f(x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Panta se obține din raportul dintre funcție și x.
    2. f(x)x = x2 + 3x + 2x2 − x, un raport de polinoame de același grad.
    3. Limita este raportul coeficienților dominanți: 11.
    4. Răspuns final: m = 1. Fiind finit și nenul, continuăm cu al doilea pas.

    Răspuns: 1

  10. Exercițiul 10

    Pentru f(x) = x2 + 3x + 2x − 1 și m = 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − mx).

    Vezi rezolvarea
    1. Scădem mx din funcție și aducem la același numitor.
    2. x2 + 3x + 2x − 1 − x = x2 + 3x + 2 − x2 + xx − 1 = 4x + 2x − 1.
    3. Limita acestui raport la infinit este 4.
    4. Răspuns final: n = 4. Fiind finit, asimptota oblică se confirmă.

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Scrieți ecuația asimptotei oblice a funcției f(x) = x2 + 3x + 2x − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Din pașii anteriori avem m = 1 și n = 4.
    2. Ecuația asimptotei oblice este y = mx + n.
    3. Înlocuim valorile găsite.
    4. Răspuns final: y = x + 4, asimptotă oblică atât spre +∞, cât și spre −∞.

    Răspuns: y=x+4

  12. Exercițiul 12

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = 4 − x2x + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. La ±∞ limita este infinită, deci nu există asimptotă orizontală și căutăm oblică.
    2. m = lim (4 − x2)x2 + x = −1, raportul coeficienților dominanți.
    3. n = lim [4 − x2x + 1 + x] = lim (x + 4)x + 1 = 1.
    4. Răspuns final: y = −x + 1.

    Răspuns: y=−x+1

  13. Exercițiul 13

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = 2x2 + 1x2 − 4?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul se anulează unde x2 = 4, adică în x = −2 și x = 2.
    2. Verificăm numărătorul în aceste puncte: 2·4 + 1 = 9, diferit de zero în ambele.
    3. Cum nu se simplifică nicăieri, ambele dau asimptote verticale.
    4. Răspuns final: 2 asimptote verticale, x = −2 și x = 2.

    Răspuns: 2

  14. Exercițiul 14

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x2 + 1x2 − 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita la infinit este raportul coeficienților dominanți.
    2. lim (2x2 + 1)x2 − 4 = 21 = 2.
    3. Valoarea este aceeași spre +∞ și spre −∞.
    4. Răspuns final: y = 2.

    Răspuns: y=2

  15. Exercițiul 15

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x2 − 1x − 1, definită pe ℝ \ {1}?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul se anulează în x = 1, deci acolo căutăm.
    2. Dar numărătorul se anulează și el: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
    3. Simplificăm: f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, deci limita în 1 este 2, un număr finit.
    4. Punct finit și limită finită: aceeași natură, deci nu există asimptotă. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  16. Exercițiul 16

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x2 + 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim termen cu termen: f(x) = x + 1x.
    2. La infinit termenul 1x tinde la 0, deci graficul se lipește de dreapta y = x.
    3. Formal: m = lim (f(x))x = 1, iar n = lim (f(x) − x) = lim (1)x = 0.
    4. Răspuns final: y = x.

    Răspuns: y=x

  17. Exercițiul 17

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 1x − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul se anulează în x = 3, iar numărătorul este 1, deci nu se simplifică.
    2. La stânga limita este −∞, la dreapta +∞.
    3. Punct finit, limită infinită: naturi diferite.
    4. Răspuns final: x = 3.

    Răspuns: x=3

  18. Exercițiul 18

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 1x − 3.

    Vezi rezolvarea
    1. La ±∞ numitorul crește nemărginit, iar numărătorul rămâne 1.
    2. Un raport cu numărător constant și numitor care tinde la infinit are limita 0.
    3. Punct infinit, limită finită: naturi diferite, deci avem asimptotă.
    4. Răspuns final: y = 0, adică chiar axa Ox.

    Răspuns: y=0

  19. Exercițiul 19

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = x + 2x2 + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Gradul numitorului este mai mare decât al numărătorului.
    2. Împărțind ambii termeni la x2, numărătorul tinde la 0, iar numitorul la 1.
    3. Deci limita la ±∞ este 0.
    4. Răspuns final: y = 0. Regulă utilă: grad numărător mai mic dă mereu asimptota y = 0.

    Răspuns: y=0

  20. Exercițiul 20

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x + 2x2 + 1?

    Vezi rezolvarea
    1. Asimptotele verticale apar unde numitorul se anulează.
    2. Ecuația x2 + 1 = 0 nu are soluții reale, pentru că x2 ≥ 0 pentru orice x real.
    3. Domeniul este tot ℝ, deci nu există puncte finite de acumulare din afara domeniului.
    4. Răspuns final: 0.

    Răspuns: 0

  21. Exercițiul 21

    Exercițiul 21 semi-ghidat · Pentru o funcție cu limita infinită la +∞, care este primul pas către asimptota oblică?

    Vezi rezolvarea
    1. Asimptota oblică are ecuația y = mx + n, deci avem nevoie de două numere.
    2. Panta se obține din raportul dintre funcție și x, la infinit.
    3. Dacă m iese 0 sau infinit, ne oprim: nu există asimptotă oblică.
    4. Abia dacă m este finit și nenul trecem la calculul lui n.

    Răspuns: Calculăm m = lim (f(x))x

  22. Exercițiul 22

    Pentru f(x) = x2 + 3x + 2x − 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − x), știind că m = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Scădem x din funcție și aducem la același numitor.
    2. x2 + 3x + 2x − 1 − x = x2 + 3x + 2 − x2 + xx − 1.
    3. Numărătorul devine 4x + 2, deci raportul este 4x + 2x − 1, cu limita 4.
    4. Răspuns final: n = 4, deci asimptota este y = x + 4.

    Răspuns: 4

  23. Exercițiul 23

    La f(x) = x − 2x2 − 4, de ce nu avem asimptotă verticală în x = 2?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul se descompune: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
    2. Numărătorul este chiar x − 2, deci se simplifică.
    3. Rămâne f(x) = 1x + 2, cu limita 14 în x = 2, valoare finită.
    4. Punct finit și limită finită înseamnă aceeași natură, deci nu există asimptotă.

    Răspuns: Pentru că fracția se simplifică și limita este finită

  24. Exercițiul 24

    Atunci câte asimptote verticale are funcția f(x) = x − 2x2 − 4?

    Vezi rezolvarea
    1. În x = 2 am arătat că limita este finită, deci nu avem asimptotă.
    2. În x = −2 numărătorul este −4, diferit de zero, deci fracția nu se simplifică.
    3. Acolo limitele laterale sunt infinite, deci avem asimptotă verticală.
    4. Răspuns final: o singură asimptotă verticală, x = −2.

    Răspuns: 1

  25. Exercițiul 25

    Exercițiul 22 ghidat · Vrem toate asimptotele funcției f(x) = x2 + 1x2 − 1. Pasul 1: unde căutăm?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul se anulează în x = −1 și x = 1, deci acestea ies din domeniu.
    2. Domeniul devine (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞).
    3. Asimptotele se caută doar la capetele intervalelor deschise.
    4. Punctele finite se cercetează pe fiecare parte separat.

    Răspuns: La capetele intervalelor deschise din domeniu: −∞, −1, 1 și +∞

  26. Exercițiul 26

    Pasul 2: calculați limita la +∞ și spuneți ce fel de asimptotă obțineți.

    Vezi rezolvarea
    1. Ambele polinoame au gradul 2, deci limita este raportul coeficienților dominanți.
    2. lim (x2 + 1)x2 − 1 = 11 = 1.
    3. Punctul este infinit, limita este finită: naturi diferite, deci avem asimptotă.
    4. Ecuația este y = 1, iar valoarea fiind aceeași spre −∞, este o singură dreaptă.

    Răspuns: Limita este 1, deci asimptotă orizontală y = 1

  27. Exercițiul 27

    Pasul 3: verificați dacă în x = 1 fracția se simplifică.

    Vezi rezolvarea
    1. Numărătorul în x = 1 este 12 + 1 = 2.
    2. Numitorul se anulează, dar numărătorul nu, deci fracția nu se poate simplifica.
    3. Prin urmare limitele laterale sunt infinite.
    4. La fel se întâmplă și în x = −1, unde numărătorul este tot 2.

    Răspuns: Nu se simplifică: numărătorul este 2, diferit de zero

  28. Exercițiul 28

    Pasul 4: câte asimptote distincte are graficul în total?

    Vezi rezolvarea
    1. Verticalele sunt x = −1 și x = 1, două drepte.
    2. Orizontala y = 1 este aceeași în ambele direcții, deci se numără o singură dată.
    3. Oblica este exclusă: acolo unde există orizontală, oblica nu poate exista.
    4. Răspuns final: 3 asimptote distincte.

    Răspuns: 3

  29. Exercițiul 29

    Determinați asimptota verticală a funcției f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = ln x.

    Vezi rezolvarea
    1. Domeniul este (0, ∞), deci singurele capete de cercetat sunt 0 la dreapta și +∞.
    2. limx→0, x > 0 ln x = −∞, iar punctul 0 este finit: naturi diferite.
    3. Deci x = 0 este asimptotă verticală la dreapta.
    4. Răspuns final: x = 0. La +∞ limita este tot +∞, deci acolo nu există asimptotă.

    Răspuns: x=0

  30. Exercițiul 30

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = ex spre −∞.

    Vezi rezolvarea
    1. Studiem comportarea la −∞, unde exponentul devine foarte negativ.
    2. limx→−∞ ex = 0, pentru că ex = 1e−x iar numitorul crește nemărginit.
    3. Punct infinit, limită finită: naturi diferite.
    4. Răspuns final: y = 0, asimptotă orizontală doar spre −∞. Spre +∞ limita este +∞, deci acolo nu există.

    Răspuns: y=0

  31. Exercițiul 31

    Află asimptota oblică la +∞ a lui f(x)=x2+1x−1.

    Vezi rezolvarea
    1. f(x)=x+1+2x−1. (x−1)(x+1)=x2−1, deci restul este 2.
    2. f(x)−(x+1)=2x−1→0. Numărătorul rămâne constant, iar numitorul crește nemărginit.
    3. y=x+1. O dreaptă este asimptotă oblică dacă diferența dintre funcție și expresia ei tinde la zero.

    Răspuns: y=x+1

Fișa integrală · nucleu comun și profil Tehnologic (24)

  1. 1. Unde căutăm

    Pentru f : ℝ \ {1} → ℝ, câte limite laterale sau la infinit cercetăm pentru asimptote?

    Vezi răspunsul

    4 limite: la −∞, la 1 din stânga, la 1 din dreapta și la +∞. Sunt trei valori distincte, dar la 1 analizăm ambele părți.

  2. 2. Criteriul naturilor

    Într-un punct de acumulare limita este 3. Determină acest lucru o asimptotă? Răspundeți cu da sau nu, presupunând că punctul este −∞.

    Vezi răspunsul

    Da: y = 3 este asimptotă orizontală spre −∞.

  3. 3. Asimptotă orizontală

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    y = 3

  4. 4. Asimptotă verticală

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 3x + 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    x = 1

  5. 5. Verificarea numărătorului

    La f(x) = 3x + 2x − 1, se simplifică fracția în x = 1? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Nu: numărătorul în 1 este 5 ≠ 0.

  6. 6. Orizontală negativă

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

    Vezi răspunsul

    y = −1

  7. 7. Verticală

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 10 − xx − 2.

    Vezi răspunsul

    x = 2

  8. 8. Când căutăm oblica

    Dacă limx→∞ f(x) = +∞, are sens să căutăm asimptotă oblică? Răspundeți cu da sau nu.

    Vezi răspunsul

    Da.

  9. 9. Panta asimptotei oblice

    Pentru f(x) = x2 + 3x + 2x − 1, calculați m = limx→∞ f(x)x.

    Vezi răspunsul

    m = 1

  10. 10. Ordonata asimptotei oblice

    Pentru f(x) = x2 + 3x + 2x − 1 și m = 1, calculați n = limx→∞ (f(x) − mx).

    Vezi răspunsul

    n = lim (4x + 2)x − 1 = 4

  11. 11. Ecuația oblicei

    Scrieți ecuația asimptotei oblice a funcției f(x) = x2 + 3x + 2x − 1.

    Vezi răspunsul

    y = x + 4

  12. 12. Oblică cu pantă negativă

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = 4 − x2x + 1.

    Vezi răspunsul

    m = −1, iar n = lim (x + 4)x + 1 = 1: asimptota oblică este y = −x + 1.

  13. 13. Funcție cu două verticale

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = 2x2 + 1x2 − 4?

    Vezi răspunsul

    2: x = −2 și x = 2.

  14. 14. Orizontală la grade egale

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 2x2 + 1x2 − 4.

    Vezi răspunsul

    y = 2

  15. 15. Simplificare

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x2 − 1x − 1, definită pe ℝ \ {1}?

    Vezi răspunsul

    0: f(x) = x + 1 pentru x ≠ 1, iar limita în 1 este 2, finită.

  16. 16. Oblică simplă

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x2 + 1x.

    Vezi răspunsul

    y = x

  17. 17. Verticală simplă

    Determinați asimptota verticală a funcției f(x) = 1x − 3.

    Vezi răspunsul

    x = 3

  18. 18. Orizontală zero

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = 1x − 3.

    Vezi răspunsul

    y = 0

  19. 19. Grad mai mic la numărător

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = x + 2x2 + 1.

    Vezi răspunsul

    y = 0 (gradul numărătorului este mai mic)

  20. 20. Fără verticală

    Câte asimptote verticale are funcția f(x) = x + 2x2 + 1?

    Vezi răspunsul

    0: numitorul x2 + 1 nu se anulează.

  21. 21. Oblică la funcție rațională

    Determinați asimptota oblică a funcției f(x) = x2 − 4x.

    Vezi răspunsul

    y = x (f(x) = x − 4x)

  22. 22. Numărul total de asimptote

    Câte asimptote în total are graficul funcției f(x) = 1x − 3?

    Vezi răspunsul

    2: verticala x = 3 și orizontala y = 0.

  23. 23. Logaritm

    Determinați asimptota verticală a funcției f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = ln x.

    Vezi răspunsul

    x = 0 (lim ln x = −∞ când x → 0, x > 0)

  24. 24. Exponențială

    Determinați asimptota orizontală a funcției f(x) = ex spre −∞.

    Vezi răspunsul

    y = 0

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.